Axe ou Centre de symétrie d`une courbe

Comment montrer qu’une courbe admet un axe
symétrie ou un centre de symétrie ?
de
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle Df centré en zéro
et Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal
On ne peut répondre à cette question qu’en ayant déjà une idée de la réponse
On trace la courbe de la fonction sur la calculatrice et on réfléchit à ce qu’il va
falloir montrer
La courbe admet un axe de symétrie
Si la courbe possède un axe de symétrie, celui-ci est obligatoirement vertical
Cet axe est l’axe des ordonnées du repère, dans ce cas il faudra montrer que la fonction est paire :
pour tout x de Df,
f (- x) = f (x)
Cet axe n’est pas l’axe des ordonnées, équation du type x = a, a réel non nul, dans ce cas il faudra montrer
que :
pour tout t ,
f (a – t) = f (a + t)
On peut remarquer que si on remplace a par zéro, on obtient la même égalité
La courbe admet un centre de symétrie
Si la courbe possède un centre de symétrie
Ce centre est l’origine du repère, dans ce cas il faudra montrer que la fonction est impaire :
pour tout x de Df,
f (- x) = - f (x)
Ce centre n’est pas l’origine du repère, soit I de coordonnées (a ; b), a et b non nul ensemble, dans ce cas il
f (a – t) + f (a + t)
faudra montrer que :
pour tout t ,
=b
2
On peut remarquer que si on remplace a par zéro et b par zéro, on obtient la même égalité
Exemple : Dans chaque cas f est définie sur J et C sa courbe représentative
10
a) f est définie sur IR* par f (x) = x² x²
On montre que f est paire
10
10
Pour tout réel x non nul, f (- x) = (-x)² = x² - = f (x)
(-x)²
x²
x² + 4x
x² + 4x +9
Il semblerait que C admette la droite d’équation x = - 2 comme axe de
symétrie
Dans ce cas montrons que pour tout réel t, f (-2 –t) = f (-2 + t)
b) f est définie sur IR par f (x) =
f (-2 –t) =
CQFD
t² - 4
(-2 –t)² + 4(-2 –t)
=
(-2 –t)² +4(-2 –t) +9 t² +5
et f (-2 +t) =
t² - 4
t² +5
c) f est définie sur IR* par f (x) =
1
x
-( )3
x 10
On montre que f est impaire
Pour tout réel x non nul, f (-x) =
1 -x 3
1
x
- ( ) = - + ( ) 3 = - f (x)
-x 10
x 10
x² - 7x +17
x-3
Il semblerait que la courbe admette le point I de coordonnées (3 ; -1)
comme centre de symétrie
f (3-t) + f (3+t)
Montrons dans ce cas que pour tout réel t non nul,
= -1
2
d) f est définie sur IR \ {3} par f (x) =
(3-t)² -7 (3-t) + 17 t² + t + 5 - t² - t – 5
=
=
3-t+3
-t
t
t² - t + 5
f (3+t) =
t
f (3-t) =
-2t
f (3-t) + f (3+t) t
=
= -1
Par conséquent, après simplification :
2
2
CQFD