Étude de la fonction f définie sur par f (x) = sin 2 x. • Parité Pour tout

Étude de la fonction f définie sur  par f (x) = sin 2x.
•
Parité
Pour tout réel x, f (– x) = sin (– 2x)
= – sin 2x car la fonction sin est impaire
= f (x)
La fonction f est donc impaire.
•
Périodicité
Pour tout réel x : f (x + π ) = sin [ 2 (x + π) ]
= sin ( 2x + 2π )
= sin ( 2x) car la fonction sin est 2π-périodique
= f (x)
La fonction f est donc π-périodique.
•
Variations sur l’intervalle [ 0 ; π/2 ]
La dérivée de la fonction x ⟼ u ( a x + b ) est la fonction x ⟼ a × u’ ( a x + b ) donc
f ′ (x) = 2 sin’ (2x) = 2 (cos 2x).
On pouvait également écrire : f (x) = 2 sin x cos x et utiliser la formule (uv)’ = u’v + uv’
f ′ (x) = 2 sin’ (x) cos x + 2 sin x cos’ (x)
= 2 cos ² x – 2 sin ² x
= 2 (cos 2x).
π
π
π
⇒ 0 £ 2 x £ ⇒ cos 2x ≥ 0 La fonction f est donc croissante sur [ 0 ; ].
4
2
4
π £ x £ π ⇒ π £ 2 x £ π ⇒ cos 2x £ 0 La fonction f est donc décroissante sur [ π ; π ].
2
2
4 2
4
0
x
π/4
π/2
0£x£
f ′ (x)
f (x)
+
0
1
–
0
0
y
1
-π
-3π/4
-π/2
-π/4
0
-1
π/4
π/2
3π/4
π
5π/4 x