DEVOIR SURVEILLE N°9 - A Exercice 1 ( Bac Amérique du Nord
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DEVOIR SURVEILLE N°9 - A Exercice 1 ( Bac Amérique du Nord
Tale ES 2 Lundi 26 Mai 2008 DEVOIR SURVEILLE N°9 - A Calculatrices autorisées – Durée : 1 h 30 Exercice 1 ( Bac Amérique du Nord, Juin 2006 ) Soit une fonction r définie sur [ 0 ; 12 ] par r (x) = 900 x e – 0,1 ( x – 2 ) 1] Considère la fonction f définie sur ] 0 ; 12 ] par f (x) = ln ( r (x) ). Démontrer que : f (x) = ln ( 900 ) + ln x – 0,1 ( x – 2 ) 2] On note f ’ la fonction dérivée de f. Démontrer que : 10 – x f ’(x) = . 10 x 3] Etudier le sens de variation de f sur ] 0 ; 12 ]. 4] On désigne par r ’ la fonction dérivée de r. Exprimer f ’ en fonction de r ’ et de r . Justifier que r’ (x) et f ’(x) ont le même signe sur ] 0 ; 12 ]. 1] Parmi les propositions suivantes, quelle a) lim ex = + ∞ x → +∞ est celle qui permet d’affirmer que la fonction ex = 0 exponentielle admet pour asymptote la droite b) x lim →–∞ d’équation y = 0 ex =+∞ c) lim x → +∞ x 2] Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d’affirmer que l’inéquation ln ( 2 x + 1 ) ≥ ln ( x + 3 ) admet l’intervalle [ 2 ; + ∞ [ comme ensemble de solution ? 7] Démontrer que la fonction R définie par : R (x) = – 9000 ( x + 10 ) e – 0,1 ( x – 2 ) est une primitive de la fonction r sur [ 0 ; 12 ]. 7] Calculer la valeur moyenne rm de la fonction r sur [ 0 ; 12 ] définie par : 1 12 rm = ⌠ r (x) dx 12 ⌡0 Exercice 2 ( Bac Antilles-Guyane, juin 2006 ) Consignes : Pour chacune des questions, une seule proposition est exacte. Indiquez laquelle en recopiant sur votre copie le numéro de la question suivi de a , b ou c. On ne demande pas de justifier. Barème : Une bonne réponse rapporte 0,75 points. Une réponse inexacte enlève la moitié des points. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à zéro. La note est ensuite arrondie au demi-point près. x → +∞ c) La fonction ln est croissante sur ] 0; + ∞ [ a) Pour tout réel x , f ’(x) = g (x) b) Pour tout réel x , g ’(x) = f (x) c) Pour tout réel x , g(x) = f ’(x) + k , k réel quelconque. a) { 1 ; 1 } 2 2x x 4] L’équation 2 e – 3 e + 1 = 0 admet b) { 0 ; ln 1 } pour ensemble de solution : 2 c) { 0 ; ln 2 } 3] Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d’affirmer qu’une primitive de la fonction f définie sur IR par x ⎯⎯→ ( x + 1 ) ex est la fonction g : x ⎯⎯→ x ex ⏐ 5] En déduire les variations de r sur [ 0 ; 12 ]. 6] Déterminer pour quelle valeur x0 la fonction r admet un maximum. Calculer x0 arrondi à l’unité près. a) La fonction ln est positive sur [ 1; + ∞ [ b) lim ln x = + ∞ ⏐ ex n =1 x → +∞ x ex b) lim n = + ∞ x → +∞ x ex c) lim n = 0 x → +∞ x a) lim 5] Pour tout n ∈ IN, 6] Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f (x) = 2 ln x – 3 x + 4 . Dans un repère , a) y = – x + 2 une équation de la tangente à la courbe b) y = x + 2 représentative de f au point d’abscisse 1 c) y = – x – 2 est : 50 a) 3 7] La valeur moyenne sur [ 1 ; 3 ] de la 25 b) fonction f définie par f (x) = x2 + 2 x est : 3 c) 6 a) IR 8] exp ( ln x ) = x pour tout x appartenant b) ] 0 ; + ∞ [ à: c) [ 0 ; + ∞ [ Exercice 3 ( Bac Antilles-Guyane, Septembre 2005 ) Un médicament est injecté par voie intraveineuse. Dans les heures qui suivent, la substance est éliminée par les reins. La quantité qi présente dans le sang ( qi en milligrammes ) à l’instant ti ( ti en heures ) a été mesurée par les prises de sang toute les deux heures : ti en h qi en mg 0 9,9 2 7,5 4 5,5 6 3,9 8 3 Le nuage de points associé à la série statistique ( ti ; qi ) est représenté dans un repère orthogonal sur la figure ci-dessous : 1] Un ajus tem ent affi ne estil pos sibl e? Just ifie r. 2] Dét erm iner les coordonnées du point moyen G du nuage. 3] Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite D d’ajustement affine de q en t par la méthode des moindres carrés ( coefficients arrondis à 10– 2 près ) et tracer la droite D sur la figure précédente. 4] En supposant que ce modèle reste valable pendant 12 heures, quelle estimation obtient-on de la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12 heures ? Qu’en pensez-vous ? Tale ES 2 Lundi 26 Mai 2008 DEVOIR SURVEILLE N°9 - B Calculatrices autorisées – Durée : 1 h 30 1] Parmi les propositions suivantes, quelle ex =+∞ est celle qui permet d’affirmer que la fonction a) x lim → +∞ x exponentielle admet pour asymptote la droite b) lim ex = + ∞ x → +∞ d’équation y = 0 c) lim ex = 0 x→–∞ Exercice 1 ( Bac Amérique du Nord, Juin 2006 ) Soit une fonction r définie sur [ 0 ; 12 ] par r (x) = 900 x e – 0,1 ( x – 2 ) 1] Considère la fonction f définie sur ] 0 ; 12 ] par f (x) = ln ( r (x) ). Démontrer que : f (x) = ln ( 900 ) + ln x – 0,1 ( x – 2 ) 2] On note f ’ la fonction dérivée de f. Démontrer que : 10 – x f ’(x) = . 10 x 3] Etudier le sens de variation de f sur ] 0 ; 12 ]. 4] On désigne par r ’ la fonction dérivée de r. Exprimer f ’ en fonction de r ’ et de r . Justifier que r’ (x) et f ’(x) ont le même signe sur ] 0 ; 12 ]. 2] Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d’affirmer que l’inéquation ln ( 2 x + 1 ) ≥ ln ( x + 3 ) admet l’intervalle [ 2 ; + ∞ [ comme ensemble de solution ? 7] Démontrer que la fonction R définie par : R (x) = – 9000 ( x + 10 ) e – 0,1 ( x – 2 ) est une primitive de la fonction r sur [ 0 ; 12 ]. 7] Calculer la valeur moyenne rm de la fonction r sur [ 0 ; 12 ] définie par : 1 12 rm = ⌠ r (x) dx 12 ⌡0 Exercice 2 ( Bac Antilles-Guyane, juin 2006 ) Consignes : Pour chacune des questions, une seule proposition est exacte. Indiquez laquelle en recopiant sur votre copie le numéro de la question suivi de a , b ou c. On ne demande pas de justifier. Barème : Une bonne réponse rapporte 0,75 points. Une réponse inexacte enlève la moitié des points. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à zéro. La note est ensuite arrondie au demi-point près. x → +∞ c) La fonction ln est positive sur [ 1; + ∞ [ a) Pour tout réel x , g ’(x) = f (x) b) Pour tout réel x , f ’(x) = g (x) c) Pour tout réel x , g(x) = f ’(x) + k , k réel quelconque. a) { 0 ; ln 1 } 2 2x x 4] L’équation 2 e – 3 e + 1 = 0 admet b) { 0 ; ln 2 } pour ensemble de solution : c) { 1 ; 1 } 2 3] Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d’affirmer qu’une primitive de la fonction f définie sur IR par x ⎯⎯→ ( x + 1 ) ex est la fonction g : x ⎯⎯→ x ex ⏐ 5] En déduire les variations de r sur [ 0 ; 12 ]. 6] Déterminer pour quelle valeur x0 la fonction r admet un maximum. Calculer x0 arrondi à l’unité près. a) La fonction ln est croissante sur ] 0; + ∞ [ b) lim ln x = + ∞ ⏐ ex n =0 x → +∞ x ex b) lim n = 1 x → +∞ x ex c) lim n = + ∞ x → +∞ x a) lim 5] Pour tout n ∈ IN, 6] Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f (x) = 2 ln x – 3 x + 4 . Dans un repère , a) y = – x – 2 une équation de la tangente à la courbe b) y = – x + 2 représentative de f au point d’abscisse 1 c) y = x + 2 est : a) 6 50 7] La valeur moyenne sur [ 1 ; 3 ] de la b) 3 fonction f définie par f (x) = x2 + 2 x est : 25 c) 3 a) ] 0 ; + ∞ [ 8] exp ( ln x ) = x pour tout x appartenant b) [ 0 ; + ∞ [ à: c) IR