CPGE.D`AGADIR MP :1

A.H .2014-2015.C PGE
.D’A GADIR .FA
D EVOIR LIBRE
MP :1
Problématique et notations
On se propose d’établir quelques résultats sur l’ensemble des sommes des n carrés dans un corps commutatif
ou dans certains anneaux non nécessairement commutatif
Soient A un anneau et S une partie non vide de A .On dit que la partie S est multiplicatif si le produit de deux
éléments de S est un élément de S.
Pour tout entier naturel n ≥ 1 , on note Cn ( A) l’ensemble des éléments x de l’anneau A qui peuvent s’écrire
sous la forme
x = x12 + . . . + xn2 = ∑nk=1 xk2 , avec x1 , . . . , xn sont des éléments de A .Les xk pouvant être éventuellement nuls,
on a donc
∀ n ≥ 1 , C n ( A ) ⊂ C n +1 ( A )
Si x ∈ C1 ( A) , alors tout élément x1 ∈ A vérifiant x = x12 est appelé une racine carrée de x.
Si K = R ou C , la notation désigne K[ X ] désigne la K-algèbre des polynômes à coefficients dans K , si
P ∈ K[ X ] , deg P désigne le degré de P .Pour N ∈ N , K N [ X ] désigne le sous espace vectoriel de K[ X ] des
polynomes à coefficients dans K et de degré inférieur ou égale à N .
Dans ce problème on identifié un polynôme à sa fonction polynomiale
Partie(I)
Soit ϕ l’application qui à tout polynome P de R[ X ] associé la fonction ϕ( P) de R dans R définie par :
∀ x ∈ R , ϕ ( P) ( x ) =
¬
Z 1
0
P( x + t)dt
¬ Calculer ϕ(1) , ϕ( X ) et ϕ( X 2 )
­ Soit P ∈ R[ X ] un polynome de degré inférieur ou égal à q ∈ N .Montrer en appliquant une formule
de Taylor à P que l’on a :
Z
q
x k 1 (k)
∀ x ∈ R , ϕ( P)( x ) = ∑
P (t)dt
k! 0
k =0
Ou P(0) = P et si k ≥ 1 , P(k) désigne la dérivé kieme du polynome P
® Montrer que ϕ est un endomorphisme de R[ X ]
­ Soit N un entier naturel
¬ Montrer que ϕ induit sur R N [ X ] un endomorphisme qu’on note dans la suite par ϕ N
­ On note M = (mij )1≤i,j≤ N +1 la matrice de ϕ N relativement à la base canonique (1, X, . . . , X N ) de
R N [ X ].Déterminer l’élément générique mij de la matrice M , en précisant en particulier les éléments
diagonaux mii .Expliciter la matrice M dans le cas N = 3
® Montrer que ϕ N est automorphime de R N [ X ]
¯ En déduire que ϕ est un automorphisme de R[ X ]
Partie(II) : Etude de Cn ( A)
Dans cette partie A désigne un anneau commutatif
¬
¬ Déterminer les ensembles C1 (C) , Cn (C) pour n ≥ 2
­ Déterminer les ensembles C1 (R) , Cn (R) pour n ≥ 2
­ Soit ( a, b, c, d) ∈ Z4 .Montrer l’existence de deux entiers relatifs e et f tels que
( a2 + b2 )(c2 + d2 ) = e2 + f 2
En déduire que C2 (Z) est multiplicatif.
Plus généralement , si A est un anneau commutatif , il est immédiat que la formule précédemment
démontrée est encore valable , ce qui permet d’affirmer que C2 ( A) est un ensemble multiplicatif.
® On se propose dans cette question de prouver que le résultat de la question précédente ne s’étend pas à
C3 ( A ).
¬ On suppose l’existence de ( a, b, c) ∈ N3 tel que 15 = a2 + b2 + c2 .
Montrer que les trois entiers a , b et c sont des entiers impairs
En déduire une contradiction , ce qui entriane alors que 15 ∈
/ C3 (Z)
­ Montrer que C3 (Z) n’est pas un ensemble multiplicatif
¯ Dans cette question , on étudie C2 ( A) avec A = R[ X ].
a Donner la définition d’un polynôme irréductible de K[ X ]
A.H .2014-2015.C PGE
.D’A GADIR .FA
D EVOIR LIBRE
MP :1
b Décrire les polynomes irréductibles de R[ X ]
c Soit Q = X 2 + bX + c un polynôme de R[ X ].Montrer que si Q est irréductible dans R[ X ], alors
Q ∈ C2 (R[ X ])
d Soit P ∈ R[ X ] tel que ∀ x ∈ R , P( x ) ≥ 0 .
Montrer que toutes les racines réelles de P sont de multiplicité pair , en déduire que P ∈ C2 (R[ X ])
e Conclure que C2 (R[ X ]) = { P ∈ R[ X ] / ∀ x ∈ R , P( x ) ≥ 0}
5 Si S est une partie de R[ X ], on dit qu’un endomorphisme de φ de R[ X ] stabilise S si , et seulement si,
φ(S) ⊂ S
a Montrer que si ϕ ∈ L (R[ X ]) stabilise C1 (R[ X ]) , alors il stabilise C2 (R[ X ])
b Soit φ l’endomorphisme étudié dans la partie (I).Montrer que φ stabilise C2 (R[ X ]) mais ne stabilise
pas C1 (R[ X ])
Partie(III) : Racines carrés de matrices
Dans cette partie on fixe un entier
naturel
supérieur ou égale à 2.
1 0
On considère une matrice S =
de M2 (R)
0 −1
¬
¬ Montrer que S ∈ C1 (M2 (C)) , en exhibant une racine carrée de S dans M2 (C)
­ En utilisant le déterminant , montrer que S n’admet pas de racine carrée dans M2 (R) , c’est à dire
que S ∈
/ C1 (M1 (R))
® Montrer que toute racine carrée de S dans M2 (C) est diagonale
¯ En déduire l’ensemble des racines carrées de S dans M2 (C)
­ Soit A une matrice de Mn (R) .On dit que A est orthogonale si ,et seulement si, t AA = In .L’ensemble des
matrice orthogonales se note On (R)
® Montrer que si A est orthogonale , alors A est inversible et que | det A| = 1.
L’ensemble des matrices orthogonale de déterminant égale à 1 (resp −1) est noté On+ (R) (resp O − (R))
¬ L’espace Rn est muni de son produit scalaire canonique. Montrer que A est orthogonale si, et seulement si,
la famille des vecteurs colonnes (resp lignes) forme une base orthonormale de Rn
cos θ − sin θ
­ Montrer que O2+ (R) =
/ θ∈R
sin θ
cos θ
® Montrer que toute matrice de O2+ (R) admet une racine carrée dans O2+ (R)
¯ Montrer que toute matrice de O3+ (R) admet une racine carrée dans O3+ (R)
° Décrire O3+ (R) ∩ C1 (M3 (R))
± Dans cette question on considère la matrice :

0
1

0


=  ...

.
 ..
0
..
.
0
...
..
.
..
.

0
.. 
.


∈ M n (R)
0


1
1
.
..
Jn = δi+1,j 1≤i,j≤n
..
. 0
0 ... ... 0 0
On note u l’endomorphisme de Rn associe canoniquement à Jn et
B = (e1 , . . . , en ) la base canonique de Rn
¬ Calculer Jnk , pour tout k ∈ N∗
­ Donner pour k ∈ N∗ une base et la dimension de ker uk .Dans la suite , on suppose l’existence d’un
endomorphisme v de Rn tel que v2 = u
® Montrer que ker v = ker u
¯ En déduire que ∀k ∈ N∗ , ker vk = ker vk+1
° Obtenir une contradiction .La matrice Jn appartient-elle à C1 (Mn (R)) ?
A.H .2014-2015.C PGE
.D’A GADIR .FA
D EVOIR LIBRE
MP :1
Partie (IV) : Ou l’on montre que ϕ N appartient à C1 (L (R N [ X ]))
Dans cette partie , si E est un R-espace vectoriel , pour les calculs dans L( E), on omettra le symbole o de
composition , on notant uv pour désigner la composé uov des endomorphismes u et v, lorsque cela n’engendre
pas de confusion .
k
Si P = ∑m
k =0 ak X ∈ R[ X ] et si u est un endomorphisme d’un R-espace vectoriel E , on note P ( u ) l’endomorphisme de E défini par :
m
P(u) =
∑ ak uk
k =0
Avec u0 = id E et ∀k ≥ 0 , uk+1 = uk u = uuk .Les propriétés des lois sur R[ X ] et sur L( E) garantissent les
identités :
∀ (λ, ( P, Q)) ∈ R × R[ X ]2 , (λP + Q) (u) = λP(u) + Q(u)
Et
( PQ)(u) = P(u) Q(u) et 1R[X ] (u) = id E
Dans cette partie N désigne un entier supérieur ou égale 2 , E est le R-espace vectoriel R N [ X ] et u = ϕ N est
l’endomorphisme de E définie dans la partie I
¬ Soit v = u − id E .Montrer que v N +1 est l’endomorphisme nul
√
­ Montrer que f : t 7−→ 1 + t définie sur [−1, +∞[ admet un développement limité à l’ordre N , dans la
suite PN (t) désigne la partie régulière du développement de f en 0
® Montrer qu’il existe un polynome H dans R[ X ] tel qu’on ait l’égalité polynomiale :
2
PN
= 1 + X + X N +1 H
¯ En déduire que l’endomorphisme ϕ N appartient à C1 (L (R N [ X ]))