Isométries euclidiennes du plan et de l`espace

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2012-2013
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Résumé de cours sur les Isométries euclidiennes
Dans tout ce chapitre, (E, < ·, · >) désigne un espace euclidien et k · k la norme
euclidienne associée. Les abréviations BON et BOND désignent respectivement une base
orthonormée et une une base orthonormée directe.
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Notion d’isométrie
Définition 1 Un endomorphisme f de E est appelée isométrie (vectorielle) de E si elle
conserve la norme des vecteurs de E, c’est à dire si pour tout x ∈ E, kf (x)k = kxk.
Proposition 2 (Caractérisations d’une isométrie) Soit f un endomorphisme de E.
Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
– f est une isométrie
– f conserve le produit scalaire, c’est à dire ∀(x, y) ∈ E2 , < f (x), f (y) >=< x, y >.
– f transforme une BON de E en une BON de E.
Une isométrie porte aussi le nom d’endomorphisme orthogonal. On appelle groupe
orthogonal de E l’ensemble des isométries de E, noté O(E).
Proposition 3 Soit f ∈ O(E). Alors
1. f est bijective, donc f est un automorphisme de E.
2. det f = ±1 et la réciproque est fausse (si dim E > 2).
Ce dernier résultat se devine bien géométriquement 1 . Pour le moment nous l’admettons, ce sera une conséquence du dictionnaire de la deuxième section.
Exemple 1 (d’isométries)
1. Une isométrie de E de déterminant 1 est appelée une rotation de E.
2. une symétrie s de E est une isométrie de E ssi c’est une symétrie orthogonale
c’est à dire si Ker(s − id)⊥ Ker(s + id).
3. une réflexion r de E est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan de
E, c’est une isométrie négative (det r = −1)
La composée de deux isométries est une isométrie et la composée de deux rotations
une rotation, ce qui se formalise en :
Proposition 4
– L’ensemble (O(E), ◦) est un sous-groupe du groupe (GL(E), ◦) des
automorphismes de E.
– L’ensemble des rotations de E est un sous-groupe de O(E).
1. Si f conserve les «longueurs», il semble naturel qu’elle conserve les «volumes» et donc que | det f | =
±1. La réciproque est fausse puisque par exemple si E = R2 , l’affinité g : (x, y) 7→ (2x, y2 ) multiplie les
«largeurs» par 2 et divise les «longueurs» par 2, au final, elle conserve bien les volumes (confirmé par
det g = 1) mais n’est pas une isométrie puisque qu’elle ne conserve pas les normes.
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Matrices orthogonales et dictionnaire
Définition 5 Une matrice A de Mn (R) est dite orthogonale si t AA = In ou At A = In .
En particulier une matrice orthogonale est inversible et son inverse est sa transposée.
Proposition 6 (Une caractérisation) Une matrice de Mn (R) est orthogonale ssi ses
vecteurs colonnes (ou lignes) forment une BON pour le produit scalaire canonique de Rn .
Proposition 7 Le déterminant d’une matrice orthogonale vaut ±1. La réciproque est
fausse (à partir de la taille 2).
La proposition suivante est fondamentale est va permettre d’établir un véritable dictionnaire entre les isométries et les matrices orthogonales à condition de fixer une BON
de E.
Proposition 8 (Dictionnaire) Soit f un endomorphisme de E et B une BON de E.
Alors on a :
l’endomorphisme f est une isométrie ssi la matrice de f dans B est orthogonale.
On en déduit donc que le déterminant d’une isométrie vaut ±1 et la réciproque est
fausse.
On en déduit aussi que l’ensemble On (R) des matrices orthogonales de Mn (R) est un
groupe, c’est la version matricielle de O(E).
Proposition 9 (Matrice de passage entre deux BON) Si B et B ′ sont deux BON
de E, alors la matrice de passage de B à B ′ est une matrice orthogonale.
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Orientation, produit mixte
Orienter un espace E c’est chosir une base B de E que l’on décrète directe. Une autre
base B ′ sera dite directe si detB′ (B ′ ) > 0 et indirecte sinon. On montre que deux bases B
et B ′ ont même orientation ssi detB (B ′ ) > 0.
Proposition 10 Soit f un endomorphisme de E euclidien orienté. Alors f est une rotation ssi f transforme une BOND en BOND.
Corollaire 11
1. Le déterminant d’une famille de vecteurs ne dépend pas de la BOND
choisie. On appelle alors produit mixte ce déterminant, noté [x1 , . . . , xn ].
2. Si dim E = 3, pour tout vecteur u et v de E, il existe un unique vecteur a de E tel
que
∀x ∈ E, [u, v, x] =< a, x > .
Ce vecteur a de E est le produit vectoriel de u par v.
Remarque : en début d’année, on avait commencé par définir le produit scalaire et
le produit vectoriel, pour obtenir «un» déterminant celui dans la base canonique de R3 .
Nous avons maintenant une définition plus générale.
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Isométries du plan
Théorème 12 Il y a deux types de matrices dans
! O2 (R) :
cos θ − sin θ
– les matrices du type R(θ) =
dont le déterminant vaut 1
sin θ cos θ
!
cos θ sin θ
– les matrices du type S(θ) =
dont le déterminant vaut −1
sin θ − cos θ
Proposition 13 On a pour tous réels θ et θ′ ,
1. R(θ)R(θ′ ) = R(θ + θ′ ). En particulier, R(θ) et R(θ′ ) commuttent.
2. S(θ)S(θ′ ) = R(θ′ − θ).
Par dictionnaire, on en déduit les différentes isométries du plan euclidien :
Théorème 14 Soit f une isométrie de E un espace euclidien orienté de dimension 2.
– si det f = 1, alors f est une rotation d’axe la droite Ker(f − id). De plus, il existe
un réel θ tel que dans toute BOND de E, la matrice de f soit R(θ). On dit que θ
est l’angle de la rotation f .
– si det f = −1, alors f est une réflexion d’axe la droite D = Ker(f − id). D
De plus si la matrice de u dans une BOND de E est de la forme S(θ), alors l’axe
D de u, a pour angle polaire 2θ dans la base B.
Les deux dernières propositions montrent que
Corollaire 15 La composée de deux réflexions d’axe D et D′ dirigés respectivement par
−
→
→
ˆ−
−
→
→
u et u′ est une rotation d’angle 2(−
u , u′ ).
En particulier, toute rotation plane est la composée de deux réflexions.
Remarque : ceci montre que si dim E = 2, le groupe orthogonal est engendré par les
réflexions, résultat qui reste vrai pour dim E > 2.
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Isométries de l’espace
Au programme de MPSI, les étudiants doivent uniquement savoir reconnaître et étudier
les rotations et les réflexions (pas de composée de réflexion par une rotation).
Théorème 16 Soit f une isométrie de E un espace euclidien orienté de dimension 3.
Si det f = 1, alors f est une rotation d’axe la droite D = Ker(f − id). De plus, dans
une BOND adaptée à la somme directe E = D ⊕ D⊥ , la matrice de f est de la forme


1
0
0


0 cos θ − sin θ  .
0 sin θ cos θ
On dit alors que f est la rotation d’axe D et d’angle θ.
Pour trouver l’angle θ :
– on se souvient que deux matrices semblables ont même trace et donc tr(f ) = 2 cos θ+
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– il reste ensuite à déterminer le signe de sin
alors explicitement la
 θ. On construit 
1
0
0


BOND (i, j, k) dans laquelle la matrice est 0 cos θ − sin θ . Comme (i, j, k) est
0 sin θ cos θ
orthonormée, on a alors par exemple sin θ =< u(j), k >.
Proposition 17 Soit A une matrice orthogonale de O3 (R) avec det A = −1 et f l’endomorphisme de R3 euclidien canoniquement associé. Si A est symétrique, alors f est une
réflexion par rapport au plan P = Ker(f − id) ou une symétrie centrale (lorsque f = − id).
Preuve :
1. A est orthogonale, la base canonique est une BON donc par dictionnaire, f est une
isométrie.
2. on a t AA = I3 et A symétrique donc A2 = I3 . Donc par dictionnaire f 2 = id et f
est une symétrie.
3. Puisque f est une symétrie qui est une isométrie, c’est forcément une symétrie orthogonale. Dans une base adaptée à à la somme directe E = Ker(f − id) ⊕ Ker(f + id) la
matrice de f est de la forme D = diag(±1, ±1, ±1). Comme det f = −1, det D = −1
et donc D est de la forme diag(1, 1, −1) ou diag(−1, −1, −1). Dans le premier cas,
dim Ker(f − id) = 2 et donc f est une symétrie orthogonale par rapport à un plan
de R3 , donc une réflexion. Dans le deuxième cas, D = −I3 et donc f = − id, et f
est une symétrie centrale de centre 0.
Remarquons à ce sujet que dans l’espace une symétrie othogonale par rapport à une
droite D, est en fait une rotation d’axe D et d’angle ±π, on dit que c’est un retournement.