Série 3

Faculté des Sciences - Oujda
Département de Math & Info
Filière : SMA
Module : Algèbre 4
Année universitaire : 2014/2015
Semestre : 3
Série N˚ 3
Exercice 1. Soit T l’endomorphisme de
canonique B = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 } est

0
 0

A=
 0
 0
0
l’espace vectoriel R5 dont la matrice dans la base
−2
−2
−2
0
0
2 −3 3
2 −3 3
2 −3 3
0 4 −4
0 4 −4



.


1. Calculer rg(T ) et dim Ker(T ).
2. Déterminer Ker(T 2 ).
3. En déduire asc(T ) et MT .
4. Donner sans calcul le polynôme caractéristique de T .
5. Donner une décomposition de R5 comme somme directe de sous-espaces cycliques de T
en précisant leur dimension.
6. Donner la matrice réduite de Jordan J de T relativement à la décomposition précédente.
7. Trouver une base de R5 dans laquelle J soit la matrice de T .
8. Donner le tableau de Young.
Exercice 2. Soit T l’endomorphisme de l’espace vectoriel R5 dont la matrice dans la base
canonique B = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 } est


1 −1 1 0 1
 0 0 1 1 0 



A=
 0 −1 2 0 1  .
 0 0 0 1 −2 
0 0 0 2 −3
1. Calculer le polynôme caractéristique de T . En déduire que T admet une forme réduite de
Jordan.
2. Trouver les sous-espaces propres. L’endomorphisme T est-il diagonalisable ?
3. Déterminer asc(T − Id ) et asc(T + Id ). En déduire le polynôme minimal de T .
4. Montrer qu’il existe un vecteur f1 pour lequel Ker(T + I) = hf1 iT .
5. Quel est le nombre de matrices de Jordan relatives à λ = 1 et de tailles respectivement 1
et 2 dans une matrice réduite de Jordan de T .
6. Donner une matrice réduite de Jordan J pour T .
7. Donner une base de R5 dans laquelle la matrice de T est J.
Exercice 3. Soit

λ
1
..
.


Jk (λ) = 


0
un bloc de Jordan de Mk (C) d’ordre k ≥ 1.
1

..




..
. 1 
λ
.
1. Montrer que Jk (λ) est semblable à sa transposée.
2. En déduire que toute matrice A de Mn (C) est semblable à sa transposée.
Exercice 4. Soient E un espace vectoriel de dimension 7 et T un endomorphisme de E.
1. Donner le polynôme caractéristique de T .
Dans toute la suite, on suppose que rg(T ) = 4 et rg(T 2 ) = 1.
2. Quel l’indice de nilpotence de T . En déduire le polynôme minimal de T .
3. Déterminer la forme réduite de Jordan de T .
2