Exercices de révision 1 Calcul de déterminants, compléments

Université Paris Est Créteil
L2 – Espaces Vectoriels
2010—2011
Feuille 6
Exercices de révision
NB: Les exercices suivants portent sur des notions abordées en cours et TD de L1
Algèbre linéaire dans Rn . Vous devez ^
etre capables de les tra^
ıter sans problème ! Si
ce n’est pas le cas, révisez impérativement le polycopié et les exercices de ce cours.
Exercice 1 Reprendre la méthode de calcul de l’inverse d’une matrice A consistant à réaliser
les opérations du pivot simultanément sur les lignes de A et sur In . Sur des exemples, vérifier
que lorsqu’on réduit A à une matrice triangulaire T = P A, la matrice de passage P est aussi
triangulaire. Calculer det A = det T / det P .
Exercice 2 Calculer les déterminants suivants :
1
1 1 0 1 ∆1 = −1
−1 −1 0 0 1 1
∆2 = 1 0 1
1 1 0
∆3 = 3
1
1
1
1
3
1
1
1
1
3
1
1
1
1
3

1 α α2
Exercice 3 Soient α, β, γ ∈ C ; calculer le déterminant de A =  1 β β 2  et, dans le cas
1 γ γ2
−1
où A est inversible, déterminer A .



α−2
2
−1
α
2 .
Exercice 4 Soit α ∈ C et Aα =  2
2α
2(α + 1) α + 1
1. Calculer det(Aα ).
2. Déterminer l’ensemble Λ = {α ∈ C ; Aα inversible}. Calculer A−1
α , pour α ∈ Λ.
3. Déterminer, suivant les valeurs de α, le rang Aα .
1
Calcul de déterminants, compléments
Exercice 5 En développant selon la première colonne, exprimer ∆n en fonction de ∆n−1 et
∆n−2 :
2
1
0 . . . . . . 0 1
2
1
0 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . ... ∆n = . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 0 ..
.. .. ..
.
.
.
. 1 0 ... ...
0
1 2 1
En déduire ∆n − ∆n−1 puis ∆n .
Exercice 6 Calculer les déterminants suivants :
0
1
1
1
a
∆1 = b + c c + a a + b ∆2 = bc
b
ca
ab c
a
0
c
b
Exercice 7 Exprimer le déterminant ∆n d’ordre n en
ligne aux précédentes) :
1 + a1
1
1
1
1 + a2 1
..
.
1
1
∆n = ..
..
.
..
.
.
1
1
...
b
c
0
a
c
b
a
0
∆3 = a
b
b
a
0
b
a
b
b
0
0
0
a
a
b
a
fonction de ∆n−1 (soustraire la dernière
...
1
...
1
..
..
.
.
..
.
1
1 1 + an
où les ai sont des réels non nuls. Calculer ∆1 et ∆2 puis ∆n par récurrence.
2
Formes linéaires, dualité
Exercice 8 Hyperplans E est un K-espace vectoriel et H est un sous-espace de E.
1. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes:
(a) H est supplémentaire d’une droite vectorielle (on dit que H est de codimension 1).
(b) Il existe φ ∈ E ∗ − 0 telle que H = Kerφ.
On dit alors que H est un hyperplan.
2. Dans ce cas montrer que pour toute droite vectorielle ∆ non incluse dans H, E = H ⊕ ∆.
3. Montrer que pour toutes formes linéaires non nulles φ et ψ, Kerφ = Kerψ ↔ ilexisteλ 6= 0
tel que ψ = λφ.
Exercice 9 Dans K3 calculer la base duale associée aux bases suivantes:
• la base canonique (e1 , e2 , e3 )
• {(1, 0, 0), (1, 2, 0), (1, 1, 1)}
Exercice 10 Dans K3 on considère les formes linéaires suivantes: f1 (x, y, z) = x + y − z,
f2 (x, y, z) = x − y + z, f3 (x, y, z) = x + y + z.
1. Montrer que (f1 , f2 , f3 ) est une base de (K3 )∗ .
2. Trouver la base duale.
2
Exercice 11 M^
emes questions avec f1 (x, y, z) = x + 2y + 3z, f2 (x, y, z) = 2x + 3y + 4z,
f3 (x, y, z) = 3x + 4y + 6z.
−
−
−
Exercice 12 Pour →
x = (x1 , ..., xn ) ∈ Kn on pose fi (→
x ) = xi + xi+1 si i ≤ n − 1 et fn (→
x) =
xn + x1 . Déterminer si F = (f1 , ..., fn ) est une base de (Kn )∗ et, le cas échéant, déterminer la
base duale.
Exercice 13 Soit E = Kn [X]. Montrer que la famille F = (f0 , ..., fn ) est une base de E ∗ et
donner la base duale lorsque:
1. fi (P ) = P (ai ) où a0 , ..., an sont des scalaires distincts.
2. fi (P ) = P (i) (0).
3. fi (P ) = P (i) (ai ) où a0 , ..., an sont des scalaires quelconques (ne pas chercher la base duale
pour cet exemple).
Exercice 14 Soient f1 , ...fn des formes linéaires sur Kn telles qu’il existe un vecteur non nul
→
−
−
x ∈ Kn tel que fi (→
x ) = 0 pour tout i ∈ {1, ..., n}. Montrer que la famille (f1 , ...fn ) est liée.
Exercice 15 Soit E = Kn [X]. On considère les formes linéaires fi : P −→ P 0 (i). Montrer que
(f0 , ..., fn ) est liée.
Exercice 16 E est un espace vectoriel et f1 , ..., fs sont des formes linéaires sur E.
1. On introduit l’application suivante:
ρ : E → Rs
.
v 7→ (f1 (v), ..., fs (v))
2. Déterminer le noyau de ρ.
3. Montrer que cette famille est libre si, et seulement si, ∀(x1 , ..., xs ) ∈ Ks , ∃v ∈ E tel que:
f1 (v) = x1 , ..., fs (v) = xs .
4. Déterminer le rang de ρ.
5. E est maintenant de dimension finie. Notons B = (e1 , ..., en ) une base de E et B 0 =
(χ1 , ..., χn ) sa duale. Donner la matrice de ρ dans ces bases. Retrouver le rang de ρ.
6. Prouver que f ∈ E ∗ est combinaison linéaire de (f1 , ...fs ) si, et seulement si, f s’annule sur
Kerf1 ∩ ... ∩ Kerfs . On pourra introduire l’application:
ρ0 : E → Rs+1
.
v 7→ (f1 (v), ..., fs (v), f (v))
Exercice 17 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. On considère deux bases de E,
notées B et B 0 . Si l’on note P la matrice de passage entre ces deux bases, quelle est la matrice
de passage entre leurs bases duales?
3
3
Applications bilinéaires
On considère deux K-espaces vectoriels E et F et une application bilinéaire b : E × E → F .
Soit A ⊂ E, on pose A⊥ = {x ∈ E; ∀y ∈ A, b(x, y) = 0}. On dit que b est non dégénérée
si E ⊥ = {0}. On dit que b est positive si b(x, x) ≥ 0 et définie positive si de plus b(x, x) = 0
entra^ıne x=0. Plus généralement, on dit qu’un vecteur x est isotrope si b(x, x) = 0.
Exercice 18 Soit E un R-espace vectoriel muni d’une forme bilinéaire b : E × E → R.
1. Soit x = (xi )i∈I une famille orthogonale de vecteurs non isotropes de E (c.a.d. b(xi , xj ) = 0
si i 6= j et b(xi , xi ) 6= 0). Montrer que x est libre.
2. Montrer que, si 0 est le seul vecteur isotrope de E, alors b est non dégénérée.
3. Soit e = (ei )i∈I une base orthogonale de E. Montrer que si ∀i ∈ I, b(ei , ei ) ≥ 0, alors b est
positive (c.a.d. ∀x ∈ E, b(x, x) ≥ 0).
Exercice 19 On munit R3 de son produit scalaire usuel et on note e la base standard. Soient
x1 = (−β, α, 0), x2 = (0, −γ, β), x3 = (α, β, γ) avec β 6= 0.
1. Comparer x1 ∧ x2 et x3 . En déduire que (x1 , x2 , x3 ) est une base de R3 .
2. Montrer que (x1 , x2 , x3 ) a m^
eme orientation que e si et seulement si β > 0.
3. Monter que x est orthogonale si, et seulement si, α = 0 ou γ = 0. Déterminer, dans ce cas,
les triplets (λ1 , λ2 , λ3 ) ∈ R3 tels que x0 = (λ1 x1 , λ2 x2 , λ3 x3 ) soit orthonormée.
Exercice 20 Soit b : E × E → F une application bilinéaire et A, B des parties de E.
1. Montrer que B ⊥ est un sous-espace vectoriel de E. Montrer que : (A ⊂ B) ⇒ (B ⊥ ⊂ A⊥ ).
Montrer que A⊥ = (Vect(A))⊥ .
2. A tout x ∈ E on associe ux ∈ L(E, F ) définie par ux (y) = b(x, y). Montrer que l’application
bb : E → L(E, F ) définie par bb(x) = ux est linéaire. Montrer que ker bb = E ⊥ . Dans le cas
où F = K et E est de dimension finie, montrer que b est non dégénérée si, et seulement si,
bb est bijective.
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