Classe de TSI2 - Exercices de mathématiques

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
I
Quelques exercices en guise d’introduction
I.A Réduction d’une symétrie . . . . . . . . . .
I.B Etude d’un système différentiel . . . . . . .
I.C Satisfaits ou mécontents ! . . . . . . . . . .
I.D Matrices particulières . . . . . . . . . . . .
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1
1
2
2
2
II Vecteurs propres et valeurs propres
II.A Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.B Spectre d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.C Sous-espace propre associé à une valeur propre . . . . . . . . . . . .
II.D Eléments propres d’une homothétie, d’un projecteur, d’une symétrie
II.E Vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes . . . . . .
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3
3
3
3
4
4
III Réduction d’un endomorphisme en dimension finie
III.A Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.B Calcul des valeurs propres à l’aide du polynôme caractéristique
III.C Ordre de multiplicité d’une valeur propre . . . . . . . . . . . .
III.D Endomorphisme diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.E Une caractérisation des endomorphismes diagonalisables . . . .
III.F Trigonalisation des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . .
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4
5
5
5
6
7
7
IV Réduction d’une matrice carrée
IV.A Matrice diagonalisable, matrice trigonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.B Technique de réduction d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
V Puissances d’une matrice carrée
9
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VI Suites récurrentes linéaires doubles
VI.A Structure de l’ensemble U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.B Etude de l’équation (1) si l’un des trois nombres a, b, c est nul
VI.C Etude directe de l’équation (2bis) dans le cas complexe . . . .
VI.D Etude directe de l’équation (2bis) dans le cas réel . . . . . . .
VI.E Etude matricielle de l’équation (2bis) . . . . . . . . . . . . . .
VI.F Retour à l’équation (1) et à l’ensemble U . . . . . . . . . . . .
Dans tout le chapitre, E est un espace vectoriel sur K = R ou C.
I
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10
10
11
11
12
13
13
Quelques exercices en guise d’introduction
I.A
Réduction d’une symétrie
Exercice 1
−
−
−
Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3, rapporté à une base E = (→
e1 , →
e2 , →
e3 ), et soit f ∈ L(E)
donné par sa matrice dans la base E :


0 −1 0
0 0 
A =  −1
−1 −1 1
1. Calculer A2 et en déduire la nature de f .
2. Trouver une base E 0 de E dans laquelle la matrice de f est diagonale.
3. Ecrire la matrice A0 de f dans la base E 0 .
4. Quelle relation y a-t-il entre A et A0 ?
[rem201]
1
Remarque 1. Dans cet exercice, on a diagonalisé l’endomorphisme f , c’est-à-dire qu’on a trouvé
un base de E dans laquelle sa matrice est diagonale.
I.B
Etude d’un système différentiel
Exercice 2
On donne le système différentiel :
(S)
x01 (t)
x02 (t)
=
=
13x1 (t) − 18x2 (t)
8x1 (t) − 11x2 (t)
1. Ecrire (S) sous forme matricielle : X 0 = AX, où X(t) =
x1 (t)
x2 (t)
et où A est une matrice
carrée.
2. On donne P =
3
2
1
1
. Calculer P −1 , puis B = P −1 AP .
3. On pose Y (t) = P −1 X(t).
Quelle est l’équation différentielle vérifiée par t 7→ Y (t) =
y1 (t)
y2 (t)
?
4. Résoudre ce système.
5. Résoudre enfin le système (S).
[rem202]
I.C
Satisfaits ou mécontents !
Exercice 3
Une chaîne de télévision fait chaque mois un sondage parmi ses téléspectateurs et évalue, pour le mois
n, le nombre sn de personnes satisfaites et le nombre mn de personnes mécontentes (qui toutefois
continuent à regarder la chaîne !). On observe que parmi les personnes satisfaites, 7 sur 10 le seront
encore le mois suivant et 3 sur 10 seront mécontentes. Et parmi les personnes mécontentes, 8 sur 10
le resteront mais 2 sur 10 seront satisfaites le mois suivant.
1. Trouver une matrice A telle que l’on ait, quel que soit n :
sn+1
sn
=A×
mn+1
mn
2. Si l’audience de la chaîne est de dix millions de personnes, est-il possible que le nombre de
satisfaits et le nombre de mécontents restent constants ?
n
2 −1
3. On pose P =
. Calculer P −1 , P −1 AP , P −1 AP , An , lim An .
3
1
n→+∞
4. Si la chaîne débute avec dix millions de personnes satisfaites et aucune mécontente, que deviennent ces nombres lorsque n tend vers ∞ ?
[rem203]
I.D
Matrices particulières
Exercice 4
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, et f ∈ L(E). Décrire la matrice de f dans la base E
dans chacun des cas suivants :
−
−
→
−
→
−
1. E = (→
e1 , →
e2 , . . . , −
e→
n ), et pour tout k ∈ 1, 2, . . . , n , f ( ek ) est colinéaire à ek .
−
−
→
−
→
− →
−
→
−
2. E = (→
e1 , →
e2 , . . . , −
e→
n ), et pour tout k ∈ 1, 2, . . . , n , f ( ek ) ∈ Vect( e1 , e2 , . . . , ek ).
2
3. E = F ⊕ G, F et G sont stables par f , et E est une base adaptée à la décomposition en somme
directe F ⊕ G.
4. E = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fp , les Fi sont stables par f , et la base E est adaptée à la décomposition
en somme directe.
[rem204]
II
Vecteurs propres et valeurs propres
II.A
Définitions
Définition 1.
Soit E un K-espace vectoriel, et soit f ∈ L(E).
−
−
−
On appelle vecteur propre de f tout vecteur →
x non nul tel que →
x et f (→
x ) soient colinéaires. Autrement dit :
−
−
∃λ ∈ K, f (→
x ) = λ→
x
−
Dans ces conditions, λ s’appelle valeur propre de f , associée au vecteur propre →
x.
Donc :
λ est valeur propre de f
⇐⇒
→
−
−
−
−
∃→
x 6= 0 , f (→
x ) = λ→
x
Exercice 5
E = R[X]. Soit f l’endomorphisme de E défini par :
f : P (X) 7→ (X 3 + X)P 0 (X) − (3X 2 − 1)P (X)
Trouver les éléments propres de f (indication : raisonner sur le degré de P ).
II.B
[rem205]
Spectre d’un endomorphisme
Définition 2.
Spec f est l’ensemble des valeurs propres de f .
Exercice 6
E = RN , espace vectoriel des suites réelles. On considère l’endomorphisme ϕ de E qui à toute suite
u : n 7→ un associe la suite v définie par :
∀n ∈ N, vn = un+1
Déterminer Spec ϕ.
II.C
[rem206]
Sous-espace propre associé à une valeur propre
Théorème 1 (et définition).
On a l’équivalence :
λ est valeur propre de f
⇐⇒
−
→
Ker(f − λIdE ) 6= 0E
Dans ces conditions, on note Eλ = Ker(f − λIdE ) ; c’est le sous-espace propre associé à λ ; il est au
moins de dimension 1.
3
II.D
Eléments propres d’une homothétie, d’un projecteur, d’une symétrie
Exercice 7
Soit E un K-espace vectoriel, et soit f ∈ L(E). Déterminer les valeurs propres de f et les sous-espaces
propres associés dans les cas suivants :
1. f est une homothétie de rapport α.
2. f est un projecteur, autre que l’application nulle ou l’identité (on pourra, par exemple, utiliser
f ◦f = f pour montrer que toute valeur propre de f vérifie λ2 = λ, et donc que Spec f ⊂ {0, 1}).
3. f est une symétrie, autre que IdE ou −IdE (montrer ici que Spec f ⊂ {−1, 1}).
[rem207]
II.E
Vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes
Théorème 2.
Soit f ∈ L(E). Toute famille finie de vecteurs propres de f associés à des valeurs propres distinctes
est libre.
Démonstration. On démontre le résultat par récurrence sur le nombre de vecteurs de la famille :
– Le résultat est évident pour une famille constituée d’un seul vecteur. En effet, puisqu’il s’agit d’un vecteur
propre, il est non nul et constitue donc une famille libre.
– Supposons le résultat établi pour toute famille de n vecteurs propres (c’est l’hypothèse de récurrence).
– Considérons alors une famille de n + 1 vecteurs propres :
→, −
→
−−−→
(−
u
1 u2 , . . . , un+1 )
associés à des valeurs propres λ1 , λ2 , . . . , λn+1 deux à deux différentes, et montrons que cette famille est libre.
Supposons donc :
→
→+α −
→
−−−→ −
α1 −
u
(1)
1
2 u2 + · · · + αn+1 un+1 = 0
On prend l’image par f :
c’est-à-dire :
−
→
→) + α f (−
→
−−−→
α1 f (−
u
1
2 u2 ) + · · · + αn+1 f (un+1 ) = 0
(2)
→
→+α λ −
→
−−−→ −
α 1 λ1 −
u
1
2 2 u2 + · · · + αn+1 λn+1 un+1 = 0
(3)
En multipliant l’équation (1) par λn+1 , et en retranchant l’équation (3), on obtient :
→
→ + α (λ
−
→
−
→ −
α1 (λn+1 − λ1 )−
u
1
2 n+1 − λ2 )u2 + · · · + αn (λn+1 − λn )un = 0
(4)
−
→, u
−
→, . . . , u
−
→ montre que les coefficients de cette combiL’hypothèse de récurrence, appliquée aux n vecteurs u
n
1
2
naison linéaire sont nuls. Comme les nombres λn+1 − λi sont non nuls (les valeurs propres sont deux à deux
différentes), il en résulte :
α1 = α2 = · · · = αn = 0
Si on reporte ces valeurs dans l’équation (1), on voit que αn+1 = 0, et finalement :
α1 = α2 = · · · = αn = αn+1 = 0
→, −
→
−−−→
ce qui prouve bien que la famille (−
u
1 u2 , . . . , un+1 ) est libre.
Cela achève la démonstration par récurrence.
III
Réduction d’un endomorphisme en dimension finie
Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie.
On dit qu’on diagonalise f lorsqu’on trouve une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale.
On va voir que ce n’est pas toujours possible.
On dit qu’on trigonalise (ou qu’on triangularise) f lorsqu’on trouve une base de E dans laquelle la
matrice de f est triangulaire supérieure. On verra que c’est toujours possible pour un espace vectoriel
sur C, mais pas toujours possible pour un espace vectoriel sur R.
4
III.A
Polynôme caractéristique
Définition 3.
Soient E un K-espace vectoriel de dimension n, et f ∈ L(E). Le polynôme caractéristique de f est,
par définition :
Pf (X) = det(f − XIdE )
Remarque 2. Si E est une base quelconque de E, et si A est la matrice de f dans la base E, on voit
que Pf (X) = det(A − XIn ). Il en résulte facilement que Pf est un polynôme de degré n, de coefficient
dominant (−1)n , et de terme constant det f .
Exercice 8
Quel est le coefficient de X n−1 ?
III.B
[rem208]
Calcul des valeurs propres à l’aide du polynôme caractéristique
Théorème 3.
λ est valeur propre de f
⇐⇒
Pf (λ) = 0
Démonstration. C’est évident avec le théorème II.C.
III.C
Ordre de multiplicité d’une valeur propre
Définition 4.
λ est dite valeur propre d’ordre k de f si λ est zéro d’ordre k du polynôme caractéristique.
Rappelons que cela signifie que (X − λ)k est en facteur dans Pf (X), mais pas (X − λ)k+1 , ou
encore qu’on a :
(k−1)
(k)
Pf (λ) = Pf0 (λ) = · · · = Pf
(λ) = 0 et Pf (λ) 6= 0
Théorème 4.
Si λ est valeur propre d’ordre k de f , on a :
1 6 dim Eλ 6 k
Démonstration. L’inégalité de gauche est évidente car, par la définition même d’une valeur propre, il existe au moins
→
→
→
un vecteur non nul −
x qui vérifie f (−
x ) = λ−
x , autrement dit qui appartient à Eλ .
→, −
→, . . . , −
Supposons dim E = p. Soit F un supplémentaire de E , et soit U = (−
u
u
u→) une base adaptée à la décompoλ
1
λ
n
2
sition en somme directe E = Eλ ⊕ F . Dans cette base, la matrice de f est de la forme :
 
 
 






A=










λIp



0














B
C








 


 
 




On voit que dans Pf (X), il y a au moins (λ − X)p en facteur, ce qui signifie que l’ordre k de λ en tant que zéro du
polynôme caractéristique est au moins p. On a bien k > p.
5
III.D
Endomorphisme diagonalisable
Définition 5.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit f ∈ L(E).
f est dit diagonalisable s’il existe une base de E qui diagonalise f (i.e. dans laquelle la matrice de f
est diagonale).
Exercice 9
Soit f un endomorphisme de E, K-espace vectoriel de dimension n. On suppose que f a n valeurs
propres λ1 , λ2 , . . . , λn deux à deux distinctes dans K. Montrer que f est diagonalisable (ce résultat
figure dans le programme).
[rem209]
Exercice 10
−
−
−
Soit E un R-espace vectoriel de dimension de dimension 3, de base E = (→
e1 , →
e2 , →
e3 ).


3
−3
−3
14
11 .
Soit f ∈ L(E) de matrice A =  −8
10 −16 −13
On demande de diagonaliser f , c’est-à-dire de trouver une base U de E dans laquelle la matrice de f
est une matrice diagonale D, et de donner les formules de changement de base.
[rem210]
Exercice 11

0 1
Même exercice, mais E est un C-espace vectoriel et A =  1 4
2 6

−1
−2 .
−3
[rem211]
Exercice 12

4
Cette fois, E est un R-espace vectoriel, et A = M atE (f ) =  −3
0
Exercice 13
E est un R-espace vectoriel, a et b sont des réels fixés

3b − 2a
A = M atE (f ) =  2(a − b)
4(b − a)

6
0
−5
0 .
0 −2
[rem212]
et :

3(a − b) 3(a − b)
4b − 3a 3(b − a) 
6(a − b) 6a − 5b
On demande de diagonaliser f .
[rem213]
Exercice 14
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit f un endomorphisme de E qui vérifie :
f 2 − 5f + 6IdE = 0
1. Montrer que cette condition équivaut à :
(f − 2IdE ) ◦ (f − 3IdE ) = 0
2. On pose F = Ker(f − 2IdE ) et G = Ker(f − 3IdE ). Montrer que E = F ⊕ G.
Indication : pour montrer que E = F + G, remarquer qu’on a : (f − 2IdE ) − (f − 3IdE ) = IdE .
3. En déduire que f est diagonalisable.
[rem214]
6
III.E
Une caractérisation des endomorphismes diagonalisables
Théorème 5.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, et soit f ∈ L(E) :
(i) Pf a toutes ses racines dans K.
f est diagonalisable ⇐⇒ (ii) ∀λ ∈ Spec f, dim Eλ = ordre de multiplicité de λ.
Dans ces conditions, une base de diagonalisation est obtenue par concaténation à partir de bases des
Eλ .
Ce théorème est admis. Un polynôme de K[X] qui a toutes ses racines dans K est dit scindé sur
K.
Exercice 15
Démontrer "=⇒".
Démontrer "⇐=" dans l’hypothèse où f a deux valeurs propres λ et µ, de multiplicités p et q avec
p + q = n.
[rem215]
Exercice 16
Lorsque Pf est scindé, que représentent det f et tr f vis-à-vis des valeurs propres ?
Exercice 17
−
−
−
Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3, de base E = (→
e1 , →
e2 , →
e3 ).


−10 −14
5
8
12 −4 . f est-il diagonalisable ?
Soit f ∈ L(E) de matrice A = 
−4 −3
2
III.F
[rem216]
[rem217]
Trigonalisation des endomorphismes
Définition 6.
Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et f ∈ L(E). On dit que f est trigonalisable s’il existe
une base de E dans laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure.
Théorème 6.
Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et f ∈ L(E) :
Pf est scindé ⇐⇒
f est trigonalisable
Ce théorème est admis.
Exercice 18
Que dire si K = R, si K = C ?
[rem218]
Exercice 19
Etablir l’implication "⇐=". Que dire des termes diagonaux de la matrice triangulaire de f ?
[rem219]
Remarque 3. Aucune méthode générale de trigonalisation n’est au progamme de TSI. Toutefois, il
y a trois situations qu’il paraît souhaitable de connaître (exercices suivants) :
7
Exercice 20
1. Soient E un K-espace vectoriel de dimension 2 et f ∈ L(E). On suppose que f a une valeur
propre double. Comment choisir une base de trigonalisation de f ?
5 −3
2. Soit A =
. Trouver P ∈ GL2 (R) telle que P −1 AP soit triangulaire supérieure.
3 −1
[rem220]
Exercice 21
Soient E un K-espace vectoriel de dimension 3 et f ∈ L(E). On suppose que f a dans K une valeur
propre simple λ et une valeur propre double µ.
→, −
→ −
→
−
→
−
→
1. On choisit dans E une base U = (−
u
1 u2 , u3 ) de sorte que u1 ∈ Eλ et u2 ∈ Eµ . Montrer que U
trigonalise f .


−10 −14
5
8
12 −4 .
2. Soit A = 
−4 −3
2
Trouver P ∈ GL3 (R) telle que P −1 AP soit triangulaire supérieure.
[rem221]
Exercice 22
−
−
−
Soient E un K-espace vectoriel
de dimension
3, E = (→
e1 , →
e2 , →
e3 ) une base de E, et f ∈ L(E), de


3 1 −1
1 .
matrice A = M atE (f ) =  1 1
2 0
2
1. Calculer Pf et vérifier que f a une valeur propre triple λ ∈ R. En déduire que f est trigonalisable.
→, −
→ −
→
2. Trouver une base U = (−
u
1 u2 , u3 ) dans laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure. Pour
−
→
cela, observer que u doit appartenir à E = Ker(f − λId ), et qu’on doit avoir :
1
λ
E
−
→ ∈ Ker(f − λId )2 et −
→∈
u
u
2
E
2 / Ker(f − λIdE ).
3. Trouver P ∈ GL3 (R) telle que P −1 AP soit triangulaire supérieure.
[rem222]
IV
IV.A
Réduction d’une matrice carrée
Matrice diagonalisable, matrice trigonalisable
Définition 7.
Soit A ∈ Mn (K). On définit :
IV.B
A est diagonalisable
⇐⇒
A est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
A est trigonalisable
⇐⇒
A est semblable à une matrice diagonale.
déf
déf
Technique de réduction d’une matrice carrée
Diagonaliser (respectivement trigonaliser) A, c’est trouver une matrice inversible P telle que
P −1 AP soit diagonale (respectivement triangulaire supérieure).
Soit un K-espace vectoriel E de dimension n rapporté à une base E. Soit f ∈ L(E) tel que A = M atE f .
Il est clair que la recherche d’une base qui diagonalise f (ou qui trigonalise f ) n’est rien d’autre que
la recherche d’une matrice P inversible telle que P −1 AP soit diagonale (respectivement triangulaire
8
supérieure).
Et les théorèmes qu’on a vus pour la réduction de f se traduisent en calcul matriciel :
P est scindé et pour chaque λ ∈ Spec A :
A est diagonalisable ⇐⇒ A
dim Eλ = multiplicité de λ
A est trigonalisable
⇐⇒
PA est scindé
Cas particulier important : l’exercice 9 se traduit en termes de matrices par le résultat suivant :
Si PA est scindé à racines simples, alors A est diagonalisable
Exercice 23

1 5
M = 0 2
0 0

6
1  est-elle diagonalisable ?
4
[rem223]
Exercice 24
Soit A ∈ Mn (K), triangulaire supérieure, non diagonale. On suppose également que tous les termes
diagonaux de A sont égaux. A est-elle diagonalisable ?
[rem224]
Exercice 25 [Matrice compagne]


0 ··· ··· 0
a0


..
 1 ...
.
a1 



.. 
Soit A =  0 . . . . . . ...
. 



 .
.
..
.. 
 ..
. 0
0 · · · · · · 1 an−1
Calculer le polynôme caractéristique de A.
[rem225]
Exercice 26
Trouver une matrice A telle que PA (X) = X 4 − 3X 3 + X 2 − 2X + 1.
[rem226]
Exercice 27

0
Soit a > 0. Diagonaliser A =  1/a
1/a2
V

a a2
0
a .
1/a 0
[rem227]
Puissances d’une matrice carrée
Les exercices suivants concernent le calcul de Ak , où A ∈ Mn (K)
Exercice 28 [Cas où A est diagonalisable]
On suppose qu’il existe une matrice diagonale D, et une matrice carrée inversible P , telles que
D = P −1 AP . Vérifier que le calcul de Dk est immédiat, et montrer que :
Ak = P Dk P −1
[rem228]
Exercice 29 [Utilisation d’un polynôme annulateur]
9
2
1. Que dire de la famille {In , A, A2 , . . . , An } dans l’espace vectoriel Mn (K) ?
2. En déduire qu’il existe au moins un polynôme P non nul tel que P (A) = matrice nulle.


−10 −14
5
8
12 −4 .
3. On pose A = 
−4 −3
2
On a vu dans l’exercice 17 que PA (X) = −X(X − 2)2 . Vérifier PA (A) = 0.1
4. Expliciter le reste de la division de X k par X(X − 2)2 . En déduire Ak en fonction de A, A2 , k.
[rem229]
Exercice 30 [Cas où A est trigonalisable avec une seule valeur propre λ]
? λ = 0 : A est alors semblable à une matrice triangulaire B, dont la diagonale est nulle. Expliquer
pourquoi on a B n = 0. Quelles sont les puissances successives de la matrice A ?
? λ 6= 0 : on reprend la matrice A de l’exercice 22. On a vu qu’il existe une matrice inversible P
et une matrice triangulaire supérieure T telles que T = P −1 AP .
Calculer T k en écrivant T sous la forme 2I3 + N . En déduire Ak .
Expliquer pourquoi cette méthode n’est pas applicable à toute matrice trigonalisable.
[rem230]
VI
Suites récurrentes linéaires doubles
K désigne R ou C. Le problème est le suivant : a, b, c, d ∈ K étant fixés, décrire l’ensemble U des
suites u = (un )n∈N qui vérifient :
∀n ∈ N, aun+2 + bun+1 + cun = d
(1)
On va d’abord exposer une méthode élémentaire, efficace mais parachutée. L’étude matricielle du
paragraphe VI.E donne lieu aux même calculs et paraît beaucoup plus naturelle.
VI.A
Structure de l’ensemble U
Si w : n 7→ wn est une suite qui vérifie (1), alors il est clair que :
u vérifie (1)
⇐⇒
v = u − w vérifie : ∀n ∈ N, avn+2 + bvn+1 + cvn = 0
(2)
Notons V l’ensemble des solutions de (2). Montrons le résultat suivant :
Théorème 7.
V est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel KN des suites de K.
Démonstration. V 6= ∅, car la suite nulle vérifie (2), donc elle appartient à V.
Soient u et v deux suites appartenant à V, et soit λ ∈ K. Si on note [λu + v]n le terme d’indice n de la suite λu + v,
on a, pour tout n ∈ N :
a[λu + v]n+2 + b[λu + v]n+1 + c[λu + v]n
=
a(λun+2 + vn+2 ) + b(λun+1 + vn+1 ) + c(λun + vn )
=
λ(aun+2 + bun+1 + cun ) + (avn+2 + bvn+1 + cvn )
=
0
Il est ainsi établi que la suite λu+v appartient à V, et on conclut que V est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel
KN .
De l’équivalence du début de ce paragraphe, on déduit alors :
L’ensemble des solutions de (1) est U = w + V, sous-espace affine de l’espace vectoriel KN
1 Le théorème de Cayley-Hamilton, hors-progamme en TSI, dit que si P est le polynôme caractéristique de A, alors
A
on a PA (A) = 0. Il arrive même qu’on puisse trouver un polynôme P , de degré strictement inférieur à celui de PA , tel
que P (A) = 0.
10
VI.B
Etude de l’équation (1) si l’un des trois nombres a, b, c est nul
? a = 0 : (1) se ramène à : ∀n ∈ N, un+1 = αun + β.
– Si α = 1, on a une suite arithmétique.
– Si α 6= 1 et β = 0, on a une suite géométrique.
– Si α =
6 1 et β 6= 0, on a une suite arithmético-géométrique (voir l’exercice 31).
? b = 0 : (1) se ramène à : ∀n ∈ N, un+2 = λun + µ. On pose vn = u2n et wn = u2n+1 et l’on a :
∀n ∈ N, vn+1 = λvn + µ
et
∀n ∈ N, wn+1 = λwn + µ
? c = 0 : c’est comme a = 0, avec un décalage d’indices.
Exercice 31 [Suite arithmético-géométrique]
On considère une suite arithmético-géométrique, i.e. une suite u qui vérifie :
∀n ∈ N, un+1 = αun + β, avec α 6= 1 et β 6= 0.
Si γ est le point fixe de l’application x 7→ αx + β, étudier la suite v : n 7→ un − γ, et conclure quant
à la nature de la suite u.
[rem231]
Exercice 32
Soit la suite u définie par : ∀n ∈ N, 2un+1 − un = 2, u0 = 1. Exprimer un en fonction de n.
[rem232]
Exercice 33
Trouver toutes les fonctions f ∈ C(R, R), qui vérifient : ∀x ∈ R, f (2x + 1) = f (x).
[rem233]
VI.C
Etude directe de l’équation (2bis) dans le cas complexe
∀n ∈ N, un+2 = αun+1 + βun
(2bis)
C’est à cette forme 2bis que se ramène l’équation (2) lorsque a est non nul. On suppose aussi b et
c non nuls, c’est-à-dire : α 6= 0, β 6= 0. On note toujours V l’espace vectoriel des solutions de (2bis)
(ou de (2)).
Exercice 34
V →
C2
est un isomorphisme d’espaces vectoriels, et en
u 7→ (u0 , u1 )
déduire que V est un C-espace vectoriel de dimension 2.
[rem234]
Montrer que l’application : ϕ :
L’espace vectoriel V sera donc connu dès lors qu’on aura déterminé deux suites linéairement
indépendantes (i.e. non proportionnelles) solutions de (2bis).
Exercice 35
Déterminer r ∈ C tel que la suite géométrique n 7→ rn appartienne à V. L’équation obtenue s’appelle
équation caractéristique de V. En général, elle fournit deux valeurs distinctes de r, donc deux suites
qui forment une base de V :
n 7→ r1n et n 7→ r2n
Lorsque cette équation ne fournit qu’une seule valeur de r, vérifier que la suite n 7→ nrn appartient
aussi à V, et qu’ainsi une base de V est constituée par les deux suites n 7→ rn et n 7→ nrn . [rem235]
Notre étude peut être résumée dans le théorème suivant :
11
Théorème 8.
α et β étant des nombres complexes non nuls donnés, notons V l’ensemble des suites complexes u qui
vérifient :
∀n ∈ N, un+2 = αun+1 + βun
? V est un C-espace vectoriel de dimension 2.
? Si l’équation caractéristique r2 = αr + β a deux racines distinctes r1 et r2 , alors les suites
n 7→ r1n et n 7→ r2n constituent une base de V. En d’autres termes, les suites de V sont les suites
de la forme :
n 7→ λ1 r1n + λ2 r2n
où λ1 et λ2 sont deux constantes complexes.
? Si l’équation caractéristique a une racine double r, alors les suites n 7→ rn et n 7→ nrn constituent une base de V, et les suites de V sont les suites de la forme :
n 7→ λ1 rn + λ2 nrn
où λ1 et λ2 sont deux constantes complexes.
? Si on se donne de plus deux nombres complexes a et b, il existe une et une seule suite complexe
u qui vérifie :
∀n ∈ N, un+2 = αun+1 + βun , u0 = a, u1 = b
Remarque 4. Les constantes λ1 et λ2 sont déterminées par les valeurs initiales a et b.
VI.D
Etude directe de l’équation (2bis) dans le cas réel
α, β, a, b étant des réels fixés (α et β non nuls), il existe d’après le théorème précédent une et une
seule suite u qui vérifie :
∀n ∈ N, un+2 = αun+1 + βun , u0 = a, u1 = b
De proche en proche, on voit que cette suite est réelle.
Lorsque l’équation caractéristique a deux racines réelles ou une racine réelle double, on peut utiliser le
résultat du théorème précédent avec des constantes λ1 et λ2 a priori réelles, qu’on calcule à l’aide de
u0 = a et u1 = b. Lorsque l’équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées, on applique
strictement le théorème précédent avec des constantes λ1 et λ2 complexes. Les valeurs initiales font
que la suite trouvée sera réelle, commme prévu !
Exercice 36
un+2 = 2un+1 − 2un , u0 = 0, u1 = 1 ; exprimer un en fonction de n.
[rem236]
Exercice 37
Déterminer le nombre an de manières de monter n marches en montant tantôt une marche, tantôt
deux marches (exemple pour 4 marches : 1111, 112, 121, 211, 22. On a donc a4 = 5).
n
X
Vérifier qu’on a pour tout n : an an+1 =
a2i , et interpréter géométriquement ce résultat. [rem237]
i=0
Exercice 38
un+2 = 4un+1 − 4un , u0 = a, u1 = b ; exprimer un en fonction de n.
12
[rem238]
VI.E
Etude matricielle de l’équation (2bis)
∀n ∈ N, un+2 = αun+1 + βun (2bis)
un+2
un+1
α β
On écrit :
=A×
, où A =
.
un+1
un
1 0
un+1
u1
On a donc :
= An ×
, et le problème revient à calculer An .
un
u0
On cherche donc les valeurs propres de A, et on retombe sur l’équation caractéristique. Le cas d’une
valeur propre double est éclairant : on comprend très bien d’où sort la fameuse suite n 7→ nrn !
Exercice 39
Appliquer cette méthode à la suite de l’exercice 38
VI.F
[rem239]
Retour à l’équation (1) et à l’ensemble U
(1) est équivalente à (1bis) : ∀n ∈ N, un+2 = αun+1 + βun + γ
Le problème qui reste est de trouver une suite particulière w solution : on cherche une suite constante,
ce qui fonctionne si α + β 6= 1. Si α + β = 1, on cherche w sous la forme n 7→ λn, et ça marche sauf
si α = 2 (et donc β = −1). Quant au dernier cas . . . à vous d’être astucieux !
Exercice 40
un+2 = 2un+1 − un + γ, u0 = a, u1 = b ; exprimer un en fonction de n.
13
[rem240]