Examen Juin corrigé

Université Joseph Fourier – L2 MAT231 – 2008-2009
Examen du 15 juin 2009
13 heures – 15 heures
Documents et calculatrices interdits
Le barême est donné à titre indicatif.
Exercice-Question de cours (4 points)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension 2, de base E = {e1 , e2 }. On considère l’endomorphisme u ∈ LK (E) donné par u(e1 ) = e2 et u(e2 ) = −e1 .
1. Rappeler la définition de valeur propre. Montrer que u2 = −iE et en déduire que si
λ est une valeur propre de u alors λ2 = −1. L’endomorphisme u admet-il des valeurs
propres lorsque K = R ?
2. Dans toute la suite de cette question, on suppose que K = C.
(a) On pose v1 = e1 − ie2 et v2 = e1 + ie2 . Montrer que V = {v1 , v2 } est une base de
E. Rappeler la définition d’une matrice de passage et déterminer les matrices de
passage PEV et PVE .
(b) Rappeler la définition de la matrice d’un endomorphisme relativement à une
base et déterminer les matrices MEE (u) et MVV (u). Que peut-on en conclure pour
l’endomorphisme u ?
Exercices (16 points)
Tous les calculs doivent figurer sur la copie.
Exercice 1 (4 points) On se place sur C[X]. Soient les polynômes
P (X) := X 4 − 3X 3 + 3X 2 − 6X + 2 et Qa (X) := X 2 + aX + 1 ,
avec a ∈ C.
1. Déterminer (en fonction de a) le reste Ra de la division euclidienne de P par Qa .
2. Dans cette question, on suppose que a = −3. Montrer que le polynôme P est divisible
par Q−3 . En déduire la factorisation de P sur R et sur C.
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MAT 231
2008-2009
2
Exercice 2 (5 points) Dans l’espace vectoriel R3 , on considère l’endomorphisme U dont
la matrice dans la base canonique C est la matrice A ci-après,


−1 1
1
A :=  1 −1 1 
1
1 −1
1. Calculer le polynôme caractéristique de l’endomorphisme U (c’est-à-dire de la matrice
A).
2. Montrer que 1 est valeur propre de l’endomorphisme U . En déduire les autres valeurs
propres.
3. Déterminer les espaces propres de l’endomorphisme U .
4. Diagonaliser U , c’est-à-dire : donner une base B de vecteurs propres de U , les matrices
de passage de la base C à la base B et de la base B à la base C, la matrice MBB (U )
(calcul et expression en fonction de A et des matrices de passage précédentes).
Exercice 3 (3 points) On se place dans Z.
1. L’équation 65 x + 35 y = 3 a-t-elle des solutions dans Z ? Dans l’affirmative, donner
l’ensemble des solutions.
2. L’équation 65 u + 35 v = 10 a-t-elle des solutions dans Z ? Dans l’affirmative,
donner l’ensemble des solutions.
Exercice 4 (4 points) On considère la matrice


0 0 1
A := 0 0 0 .
1 0 0
1. Déterminer les valeurs propres de la matrice A.
2. Déterminer les espaces propres correspondants.
3. Diagonaliser la matrice A (c’est-à-dire, déterminer les matrices de passage entre la
base canonique de R3 et la base de vecteurs propres ainsi que la matrice diagonale
correspondante).
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mat231-exam-juin09.tex (13 juin 2009)
MAT231 2008/2009 -- Examen Juin 2009 -- Elements de corrigé
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exam-juin09 [MAT231 - examen juin 2009]
-------------------------------------------------------------------------------------------Exercice 1
>
> restart:
> P:=X^4-3*X^3+3*X^2-6*X+2;
P := X4 − 3 X3 + 3 X2 − 6 X + 2
> Qa:=X^2+a*X+1;
Qa := X2 + a X + 1
> rem(P,Qa,X);
( − 3 − a − 3 a2 − a 3 ) X − 3 a − a 2
> a:=-3;
a := -3
> rem(P,Qa,X);
0
> factor(P);
( X2 + 2 ) ( X2 − 3 X + 1 )
> factor(P,complex);
( X + 1.414213562 I ) ( X − 1.414213562 I ) ( X − 0.3819660113 ) ( X − 2.618033989 )
> factor(P,sqrt(5));
( X2 + 2 ) ( 2 X − 3 + 5 ) ( 2 X − 3 − 5 )
4
>
-------------------------------------------------------------------------------------------Exercice 2
> with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and
unprotected
> A:=matrix([[-1,1,1],[1,-1,1],[1,1,-1]]);
-1

A :=  1

1
1
-1
1
1

1

-1
> p:=charpoly(A,X);
p := X3 + 3 X2 − 4
> solve(p=0);
1, -2, -2
> eigenvectors(A);
[ 1, 1, { [ 1, 1, 1 ] } ], [ -2, 2, { [ 0, 1, -1 ], [ 1, 0, -1 ] } ]
> P := matrix([[1,0,1], [1,1, 0], [1, -1,-1]]);
1

P := 1

1
0
1
-1
1

0

-1
> Q:=inverse(P);





Q := 





1
1
3
-1
3
2
3
2
3
-1
3
3
1 

3 
-1 

3 

-1 

3 
> DA:= evalm(Q&*A&*P);
1 0 0


DA := 0 -2 0


0 0 -2
-------------------------------------------------------------------------------------------Exercice 3
> isolve(65*x+35*y=10);
{ x = 5 + 7 _Z1, y = −9 − 13 _Z1 }
> isolve(65*x+35*y=3);
-------------------------------------------------------------------------------------------Exercice 4
> B:=matrix([[0,0,1],[0,0,0],[1,0,0]]);
0

B :=  0

1
1

0

0
0
0
0
> charpoly(B,x);
x3 − x
> eigenvectors(B);
[ 0, 1, { [ 0, 1, 0 ] } ], [ -1, 1, { [ -1, 0, 1 ] } ], [ 1, 1, { [ 1, 0, 1 ] } ]
> P2:=matrix([[0,-1,1],[1,0,0],[0,1,1]]);
0

P2 := 1

0
1

0

1
-1
0
1
> Q2:=inverse(P2);




Q2 := 




0
-1
2
1
2
1
0
0
0 

1 

2 
1 

2 
> DB:=evalm(Q2&*B&*P2);
0

DB := 0

0
0 0

-1 0

0 1
>
--------------------------------------------------------------------------------------------