Exemples de QCM déjà posé

Transcription

Tous les Q.C.M posés au Bac S de Juin 2002 à Novembre 2006
Exercice 1 Nouvelle Calédonie Novembre 2006

→
− −
→ →
−
L'espace est rapporté à un repère orthonormal O, ı ,  , k .On considère :
les points A(0 ; 0 ; 3), B(2 ; 0 ; 4), C(−1 ; 1 ; 2) et D(1 ; −4 ; 0)
les plans (P1 ) : 7x + 4y − 3z + 9 = 0 et (P2 ) : x − 2y = 0.
les droites (∆1 ) et (∆2 ) dénies par leurs systèmes d'équations paramétriques respectifs
8
>
<
>
:
8
>
<
x = −1 + t
y = −8 + 2t t ∈ R
z = −10 + 5t
>
:
x = 7 + 2t0
y = 8 + 4t0 t0 ∈ R
z = 8 − t0
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera
sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune
justication n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l'absence de
réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
1. Le plan (P1 )
est
2. La droite (∆1 )
contient
3. Position relative de (P1 ) et de
(∆2 )
4. Position relative de (∆1 ) et
de (∆2 )
a.
Le plan (ABC)
b.
Le plan (BCD)
c
Le plan (ACD)
d.
Le plan (ABD)
Le point A
Le point B
Le point C
Le point D
(∆1 ) est strictement parallèle à
(P1 )
(∆1 ) est strictement parallèle à
(∆
)
8 2
>
x = t
>
<
1
5. L'intersection > y = −2 + t
2
de (P1 ) et de >
:
z = 3t
(P2 ) est une
droite dont une
représentation
paramétrique
est
(∆1 ) est incluse (∆1 ) coupe (P1 )
dans (P1 )
(∆1 ) est orthogonale à (P1 )
(∆1 ) et (∆2 ) (∆1 ) et (∆2 ) (∆1 ) et (∆2 )
sont confondues sont sécantes
sont non coplanaires.
8
>
<
>
:
x = 2t
y = t
z = 3 + 6t
1
8
>
<
>
:
x = 5t
y = 1 − 2t
z = t
8
>
<
>
:
x = −1 + t
y = 2+t
z = −3t
Exercice 2 France métropolitaine Juin 2006

→
− −
→ →
−
Soit O, ı ,  , k
un repère orthonormal de l'espace.
On considère les points
3
9
A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ; −3), C(3 ; 1 ; −3), D(1 ; 0 ; −2), E(3 ; 2 ; −1), I
; 4; −
5
5
Pour chacune des cinq armations suivantes, dire, sans le justier, si elle est vraie ou si elle
est fausse. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon.
1) Une équation du plan (ABC) est : 2x + 2y − z − 11 = 0.
2) Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
3) Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
4) La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :
(CD)
8
>
<
>
:
x = −1 + 2t
y = −1 + t
z = 1−t
5) Le point I est sur la droite (AB).
2
(t ∈ R ).
Exercice 3 Amérique du Nord Juin 2006
Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justication n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes :
4 sont marqués oui , 3 sont marqués non et 3 sont marqués blanc .
Lors d'un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d'euro. Il tire ensuite un
bulletin de l'urne et l'y remet après l'avoir lu. Si le bulletin tiré est marqué oui , le joueur
reçoit 60 centimes d'euro, s'il est marqué non , il ne reçoit rien. Si le bulletin tiré est marqué
blanc , il reçoit 20 centimes d'euro.
Question 1 Le jeu est :
A : favorable au joueur
B : défavorable au joueur
C : équitable
Question 2 Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres.
La probabilité qu'il tire au moins une fois un bulletin marqué oui est égale à
216
544
2
B:
C:
625
625
5
Lors d'un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l'urne.
A:
Question 3 : la probabilité qu'il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes diérentes est égale à :
A:
4
15
B:
3
11
30
C:
11
15
Exercice 4 Antilles-Guyane Juin 2006
QCM : pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justication
n'est demandée. Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point, chaque erreur enlève 0,25 point,
l'absence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est
ramenée à 0.
Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondant
à votre réponse.
1) L'équation e2x − 3ex − 4 = 0 admet dans R :
a. 0 solution
b. 1 solution
c. 2 solutions d. plus de 2
solutions
2) L'expression −e−x
a.
n'est b. est tou- c. n'est néga- d. n'est néjamais néga- jours néga- tive que si x gative que si
tive
tive
est positif
x est négatif
2ex − 1
=
x→+∞ ex + 2
3) lim
1
b. 1
c. 2
d. +∞
2
4) L'équation diérentielle y = 2y 0 − 1 a pour ensemble de solutions :
a. −
a.
x 7→ k e2x − 1
avec k ∈ R
b.
1
x 7→ k e 2 x +1
avec k ∈ R
4
c.
1
x 7→ k e 2 x −1
avec k ∈ R
d.
1
x 7→ k e2x +
2
avec k ∈ R
Exercice 5 Polynésie Juin 2006
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une
démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

−
→ −
→ −
→
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal O, ı ,  , k , on donne les points A(0 ; 0 ;
2) B(0 ; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0).
On désigne par I le milieu du segment [BC], par G l'isobarycentre des points A, B et C, et par
H le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).
−−→ −−→
Proposition 1 : l'ensemble des points M de l'espace tels que AM · BC = 0 est le plan (AlO) .
−−→
−−→ −−→ −−→
Proposition 2 : l'ensemble des points M de l'espace tels que MB + MC = MB − MC est la
sphère de diamètre [BC] .
Proposition 3 : le volume du tétraèdre OABC est égal à 4 .
Proposition 4 : le plan (ABC) a pour
équation cartésienne 2x + y + 2z = 4 et le point H a pour
8 4 8
;
;
9 9 9
Proposition 58 : la droite (AG) admet pour représentation paramétrique
>
< x = t
y = 2t
(t ∈ R ) .
>
: z = 2 − 2t
coordonnées
Exercice 6 Polynésie Juin 2006 Spécialité
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une
démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Proposition 1 : pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 22n − 1 .
Proposition 2 : Si un entier relatif x est solution de l'équation x2 + x ≡ 0 (modulo 6) alors
x ≡ 0 (modulo 3) .
Proposition 3 : l'ensemble des couples d'entiers relatifs (x ; y) solutions de l'équation 12x − 5y = 3
est l'ensemble des couples (4 + 10k ; 9 + 24k) où k ∈ Z .
Proposition 4 : il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et
PPCM(a, b) − PGCD(a, b) = 1 .
Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix et N a pour
écriture bca en base dix.
Proposition 5 : Si l'entier M est divisible par 27 alors l'entier M − N est aussi divisible par 27 .
5
Exercice 7 La Réunion Juin 2006
Pour chacune des questions 1, 2, 3 et 4, parmi les quatre armations proposées, deux
sont exactes et deux sont fausses. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la
question et les deux armations qu'il pense exactes. Aucune justication n'est demandée. Les
quatre questions sont indépendantes et sont notées sur 1 point. Toute réponse juste rapporte
0,5 point. Donner plus de 2 réponses à une question entraîne la nullité de la question.

→
− −
→ →
−
L'espace est rapporté à un repère orthonormal O, ı ,  , k .
1) Soit P le plan d'équation 2x + 3y + 4z − 1 = 0.
a. La distance du point O au plan P est égale à 1.
1
b. La distance du point O au plan P est égale à √ .
29
−
→
3
c. Le vecteur n 1 ;
; 2 est un vecteur normal au plan P.
2
d. Le plan Q d'équation −5x + 2y + z = 0 est parallèle au plan P.
2) On désigne par P le plan d'équation 2x + y − z = 0, et par D la droite passant par le
−
→
point A(1 ; 1 ; 1) et de vecteur directeur u (1 ; −4 ; −2).
a. La droite D est parallèle au plan P.
b. La droite D est orthogonale au plan P.
c. La droite D est sécante avec le plan P.
d. Un système d'équations paramétriques de D est
8
>
<
>
:
x = 1+t
y = 1 − 4t
z = 1 − 2t
(t ∈ R ).
3) On désigne par E l'ensemble des points M(x ; y ; z) tels que : x + y + z = 3 et 2x − z = 1.
Soit le point A(1 ; 1 ; 1).
a. L'ensemble E contient un seul point, le point A.
b. L'ensemble E est une droite passant par A.
c. L'ensemble E est un plan passant par A.
−
→
d. L'ensemble E est une droite de vecteur directeur u (1 ; −3 ; 2).
4) ABCD est un tétraèdre quelconque. Soit P le plan passant par A et orthogonal à la droite
(BC).
a. Le plan P contient toujours le point D.
b. Le plan P contient toujours la hauteur (AH) du triangle ABC.
c. Le plan P est toujours l'ensemble des points M de l'espace tels que :
−−→ −−→ −−→ −−→
BM · BC = BA · BC .
d. Le plan P est toujours le plan médiateur du segment [BC].
6
Exercice 8 Pondichery avril 2006
Dix armations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a à 3. d sont proposées ci-dessous.
Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l'armation, et avec le plus grand
soin, la mention VRAI ou FAUX.
Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il
n'est pas tenu compte de l'absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à0.
1) Pour tout réel x, ex désigne l'image de x par la fonction exponentielle.
b
Pour tous les réels a et b : (ea )b = e(a ) .
ea
Armation 1. b Pour tous les réels a et b : ea−b = b .
e
Armation 1. c La droite d'équation y = x + 1 est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1.
Armation 1. a
2) Soit f une fonction numérique dénie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I.
Armation 2. a Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Armation 2. b Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.
f (a + h) − f (a)
Armation 2. c Si f est dérivable en a, alors la fonction h 7→
h
admet une limite nie en 0.
3) On considère deux suites (un ) et (vn ) dénies sur N .
Armation 3. a Si lim un = +∞ et si lim vn = −∞ alors lim (un + vn ) = 0.
Armation 3. b Si (un ) converge vers un réel non nul et si lim vn = +∞,
alors la suite (un, × vn ) ne converge pas.
Armation 3. c Si (un ) converge vers un réel
non
nul, si (vn ) est positive et
un
si lim vn = 0, alors la suite
ne converge pas.
vn
un
Armation 3. d Si (un ) et (vn ) convergent alors la suite
converge.
vn
7
Exercice 9 Antilles-Guyane septembre 2005
Pour cet exercice, vous recopierez pour chaque question, votre réponse.
Chaque réponse juste rapporte I point. Une absence de réponse n'est pas sanctionnée. Il sera
retiré 0, 5 point par réponse fausse.
La note nale de l'exercice ne pourra pas être inférieure à zéro.

→
− −
→ →
−
Soit O, ı ,  , k
un repère orthonormal.
1) La droite passant par A(1 ; 82 ; −4)
>
< x =
et la droite représentée par > y =
: z =
¤ sécantes
¤ strictement parallèles
¤ confondues
¤ non coplanaires
et B(−3 ; 4 ; 1),
−11 − 4t
8 + 2t
t ∈ R sont :
11 + 5t
2) Soient le plan P d'équation 2x + 3y − z + 4 = 0 et la droite D représentée par
8
>
<
>
:
¤
¤
¤
¤
x = t
y = t
z = 8+t
t∈R
P et D sont sécants.
P et D sont strictement parallèles.
D est incluse dans P .
Aucune de ces possibilités n'est vraie.
3) La distance du point A(1 ; 2 ; −4) au plan d'équation 2x + 3y − z + 4 = 0 est :
√
8 14
¤
7
¤ 16√
¤ 8 14
8
¤
7
4) Soient le point B(−3 ; 4 ; 1) et la sphère S d'équation x2 + y 2 + z 2 = 16 .
¤
B est à l'intérieur de S .
¤
B est à l'extérieur de S
¤
B est sur S .
¤
On ne sait pas.
8
Exercice 10 France métropolitaine septembre 2005 obligatoire
Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera
sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence
de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Aucune justication n'est demandée.
√
π
1) Soit z le nombre complexe de module 2 et d'argument . On a alors :
3
√
14
A : z = −128 3 − 128i
B : z 14 = 64 − 64i √
C : z 14 = −64 + 64i 3√
D : z 14 = −128 + 128i 3
2) On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, le point S d'axe 3
et le point T d'axe 4i. Soit (E) l'ensemble des points M d'axe z tels que |z−3| = |3−4i|.
A : (E) est la médiatrice du segment [ST].
B : (E) est la droite (ST).
C : (E) est le cercle de centre Ω d'axe 3 − 4i, et de rayon 3.
D : (E) est le cercle de centre S et de rayon 5.
3) On considère un hexagone régulier ABCDEF, dont les côtés sont de longueur 1. Le produit
−−→ −−→
scalaire AC · CF est égal à :
A :
√
3
√
C : − 3
B : −3
D;
√
4) Une fonction g est dénie sur l'intervalle ]−∞ ; 0] par g(x) =
représentative dans un repère du plan.
A : Γ admet une asymptote d'équation y = −1.
B : Γ n'admet pas d'asymptote.
C : Γ admet une asymptote d'équation y = x.
D : Γ admet une asymptote d'équation y = 1.
3
.
2
x2 − 2x
; soit Γ sa courbe
x−3
5) Soit la fonction f dénie sur R par
f (x) =
Z x
0
2
e−t dt
La fonction f 00Z, dérivée seconde de la fonction f sur R , est dénie par :
x
2
A : f 00 (x) =
−2te−t dt.
B : f 00 (x) =
00
Z 0x
0
2
−2xe−x dx.
2
C : f (x) = −2xe−x .
2
D : f 00 (x) = e−x .
9
Exercice 11 France métropolitaine septembre 2005 spécialité
Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité Pour chaque question, une seule
des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la
question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence
de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justication n'est demandée.
1) On considère dans l'ensemble des entiers relatifs l'équation : x2 − x + 4 ≡ 0 (modulo 6).
A : toutes les solutions sont des entiers pairs.
B : il n'y a aucune solution.
C : les solutions vérient x ≡ 2 (modulo 6).
D : les solutions vérient x ≡ 2 (modulo 6) ou x ≡ 5 (modulo 6).
2) On se propose de résoudre l'équation (E) : 24x + 34y = 2, où x et y sont des entiers
relatifs.
A : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (34k − 7 ; 5 − 24k), k ∈ Z .
B : L'équation (E) n'a aucune solution.
C : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (17k − 7 ; 5 − 12k), k ∈ Z .
D : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (−7k ; 5k), k ∈ Z .
3) On considère les deux nombres n = 1 789 et p = 1 7892 005 . On a alors :
A : n ≡ 4 (modulo 17) et p ≡ 0 (modulo 17).
B : p est un nombre premier.
C : p ≡ 4 (modulo 17).
D : p ≡ 1 (modulo 17).
4) On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et
B d'axes respectives a et b. Le triangle MAB est rectangle isocèle direct d'hypoténuse
[AB] si et seulement si le point M d'axe z est tel que :
b − ia
A:z=
.
1 − iπ
B : z − a = ei 4 (b − a).
C : a − z = i(b − z).
π
D : b − z = (a − z).
2
5) On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du
2π
segment [AB]. Soit f la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d'angle
; soit g
3
π
1
la similitude directe de centre A, de rapport et d'angle ; soit h la symétrie centrale
2
3
de centre 1.
A : h ◦ g ◦ f transforme A en B et c'est une rotation.
B : h ◦ g ◦ f est la réexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB].
C : h ◦ g ◦ f n'est pas une similitude.
−−→
D : h ◦ g ◦ f est la translation de vecteurAB .
10
Exercice 12 Polynésie septembre 2005
Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la
réponse choisie. Aucune justication n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l'absence de réponse
est comptée 0 point.
Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

−
→ →
−
Dans tout l'exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v .
√
1) Le point M est situé sur le cercle de centre A(−2 ; 5) et de rayon 3.
Son axe z vérie :
a. |z − 2 + 5i|2 = 3.
b. |z + 2 − 5i|2 = 3.
c. |z − 2 + 5i| = 3.
2) On considère trois points A, B et C d'axes respectives a, b et c, deux à deux distincts
et tels que le triangle ABC n'est pas équilatéral. Le point M est un point dont l'axe z
z−b
z−c
est telle que les nombres complexes
et
sont imaginaires purs.
c−a
b−a
a. M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC
b. M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AB] .
c. M est l'orthocentre du triangle ABC.
3) Soit A et B les points d'axes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de
diamètre [AB]. On appelle G l'isobarycentre des points A, B et C et on note zG son axe.
a. |zG − 3 − 2, 5i| =
5
.
6
1
b. zG − (1 + i) = (4 + 3i) .
3
1
c. zG − (3 + 2, 5i) = (4 + 3i).
3
11
Exercice 13 Nouvelle-Calèdonie novembre 2005
Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la
réponse choisie. Aucune justication n'est demandée. Une réponse exacte rapporte1 point. Une
réponse fausse enlève 0, 5 point. L'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total de cette
partie est négatif, la note correspondant est ramenée à zéro.
1) Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges indiscernables au toucher.
On extrait simultanément trois boules de l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir deux
boules noires et une boule rouge ?
75
13
A
B
512
56
15
15
C
D
64
28
2) Au cours d'une épidémie de grippe, on vaccine le tiers d'une population.
Parmi les grippés, un sur dix est vacciné. La probabilité qu'une personne choisie au hasard
dans la population soit grippée est 0, 25.
Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de cette population de contracter la
grippe ?
A
C
1
120
1
12
B
D
3
40
4
40
3) Un joueur lance une fois un dé bien équilibré.
Il gagne 10 euros si le dé marque 1. Il gagne 1 euro si le dé marque 2 ou 4. Il ne gagne
rien dans les autres cas. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur.
Quelle est la variance de X ?
A
C
2
16
B
D
13
17
4) La durée d'attente T, en minutes, à un péage d'autoroute avant le passage en caisse est
1
une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ = . On a donc pour
6
Z t
1
−λx
tout réel t > 0 : P(T < t) =
λe dx ( avec λ = )
0
6
où t désigne le temps exprimé en minutes.
Sachant qu'un automobiliste a déjà attendu 2 minutes, quelle est la probabilité (arrondie
à 10−4 près) que son temps total soit inférieur à 5 minutes ?
A
C
0, 2819
0, 5654
12
B
D
0, 3935
0, 6065
Exercice 14 Amérique du sud septembre 2005
Dans cet exercice, une réponse par VRAI ou FAUX , sans justication, est demandée
au candidat en regard d'une liste d'armations. Toute réponse conforme à la réalité mathématique donne 0,4 point. Toute réponse erronée enlève 0,1 point. L'absence de réponse n'est pas
comptabilisée. Le total ne saurait être négatif.
H
G
On donne le cube ABCDEFGH, d'arête de longueur 1, et les milieux I et J des arêtes [AB] et E
[CG]. Les éléments utiles de la gure sont donnés ci-contre.
Le candidat est appelé à juger chacune des 10
armations suivantes.
1.
2.
3.
4.
J
D
F
A
I
Armation
−−→ −→ 1
AC · AI =
2→ −−→
−−→ −→ −
AC · AI = AI · AB
−−→ −
→ −−→ −→
AB · IJ = AB · IC
−−→ −
→
π
AB · IJ = AB × IC × cos
3
C
B
VRAI ou FAUX

−−→ −−→ −−→
On utilise à présent le repère orthonormal A ; AB , AD , AE .
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Armation
VRAI ou FAUX
Une
représentation paramétrique de la droite (IJ) est :
8
>
< x = t+1
y = 2t
, le paramètre t décrivant R .
>
: z = t
Une
représentation paramétrique de la droite (IJ) est :
8
1
>
>
x =
t+1
>
<
2
y = t + 1 , le paramètre t décrivant R
>
>
1
1
>
: z =
t+
2
2
6x − 7y + 8z − 3 = 0 est une équation cartésienne
de la droite (IJ).
L'intersection des plans (FIJ) et (ABC) est la droite
passant par l et par le milieu
de l'ar
ête [DC].

−4
1
Le vecteur de coordonnées
est un vecteur
2
normal au plan (FIJ).
1
Le volume du tétraèdre EFIJ est égal à .
6
13
Exercice 15 Antilles-Guyane septembre 2004 spécialité
Pour chacune des six armations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justiant le choix
eectué.
1) Le PGCD de 2 004 et 4 002 est 6.
2) Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, 2pq − 1 est divisible par 2p − 1 et par 2q − 1.
3) Pour tout n de N ∗ , 2n − 1 n'est jamais divisible par 9.
4) L'ensemble des couples d'entiers solutions de l'équation :
24x + 35y = 9
est l'ensemble des couples :
(−144 + 70k ; 99 − 24k) où k ∈ Z .
5) Soient A et B deux points distincts du plan ; si on note f l'homothétie de centre A et de
1
rapport 3 et g l'homothétie de centre B et de rapport alors g ◦ f est la translation de
3
−−→
vecteur AB. .
6) Soit s la similitude d'écriture complexe z 0 = iz + (1 − i), l'ensemble des points invariants
de s est une droite.
14
Exercice 16 Antilles-Guyane septembre 2004
Pour chacune des trois questions, la totalité des points sera donnée si la réponse est correctement
justiée. Les trois questions sont indépendantes.
1) La probabilité pour un individu d'une population d'être atteint d'une maladie M est égale
à 0,003. Un test de dépistage, pour cette maladie, a été réalisé ; avec ce test, on peut dire
que
• si une personne est atteinte de la maladie M, le test est positif dans 50 % des cas ;
• le test est positif pour 3 % des personnes saines.
Quelle est à 0,01 près la probabilité d'avoir la maladie M lorsque le test est positif ?
¤ 0, 95 ¤ 0, 9 ¤ 0, 15 ¤ 0, 05
2) On considère une planche à clous de ce type :
B
0,3
R1
R2
0,7 clou
R3
R4
On lance une boule B du haut de la planche, elle tombe alors dans l'un des quatre
récipients notés R1 , R2 , R3 et R4 . À chaque étape, la bille a une probabilité de 0,3 d'aller
vers la gauche et 0,7 d'aller vers la droite (gauche et droite relatives à l'observateur).
On note p1 la probabilité que la bille tombe dans le bac R1 ou dans le bac R3 et p2 la
probabilité que la bille tombe dans le bac R2 ou dans le bac R4 .
Que valent p1 et p2 ?
¤
¤
p1 = p2 = 0, 5
p1 = 0, 468 et p2 = 0, 532
¤
¤
p1 = 0, 216 et p2 = 0, 784
p1 = 0, 468 et p2 = 0, 432.
3) Les 1 000 premières décimales de π sont données ici par un ordinateur :
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3233066470 9384460959 0582235725 3594085234
8111745028 4102701930 5211055596 4462294895 4930301964
4288109756 6593344612 8475648233 7867831652 7120190914
5648566923 4603486534 5432664825 3393607260 2491412737
2450700660 6315580574 8815209209 6282925409 1715364367
8925903600 1133053054 8820466525 3841469519 4151160943
3057270365 7595919530 9218611738 1932611793 1051185480
7446297996 2749567355 8857527240 9122793318 3011949129
8336733624 4065664308 6025394946 3952247371 9070217986
0943702770 5392171762 9317675238 4674818467 6691051320
0056812714 5263560827 7857753427 9778900917 3637178721
4684409012 2495343054 6549585371 0507922796 8925892354
2019956112 1290219608 6403441815 9813629774 7713099605
1870721134 9999998372 9780499510 5973173281 6096318599
0244594553 4690830264 2522300253 3446850352 6193110017
15
1010003137 8387528865 8753320830 1420617177 6691473035
9825349042 8755460731 1595620633 8235378759 3751957781
8577805321 7122600661 3001927876 6111959092 1642019894
En groupant par valeurs entre 0 et 9 ces décimales, on obtient le tableau suivant :
Valeurs
0
1
2
3
4 5 6 7
8
9
Occurrences 93 116 102 102 94 97 94 95 101 106
Avec un tableur, on a simulé 1 000 expériences de 1 000 tirages aléatoires d'un chire
compris entre 0 et 9.
Pour chaque expérience, on a calculé d2 =
k=9
X
(fk − 0, 1)2 où fk représente, pour l'expé-
k=0
rience, la fréquence observée du chire k .
On a alors obtenu une série statistique pour laquelle on a calculé le premier et neuvième
décile (d1 et d9 ), le premier et troisième quartile (Q1 et Q3 ) et la médiane (Me) :
d1 = 0, 000 422 ; Q1 = 0, 000 582 ; Me = 0, 000 822 ; Q3 = 0, 001 136 ; d9 = 0, 001 45.
En eectuant le calcul de d2 sur la série des 1 000 premières décimales de π , on obtient :
¤ 0, 000 456 ¤ 0, 004 56 ¤ 0, 000 314
Un statisticien découvrant le tableau et ignorant qu'il s'agit des décimales deπ , fait l'hypothèse que la série est issue de tirages aléatoires indépendants suivant une loi équirépartie.
Il prend un risque de 10 % de rejeter cette hypothèse quand elle est vraie. Accepte-t-il
cette hypothèse ?
¤ Oui ¤ Non ¤ Il ne peut pas conclure.
16
Exercice 17 Nouvelle Calédonie novembre 2004
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.)
Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute réponse ambiguë
sera considérée comme une absence de réponse.
Pour chacune des cinq questions une ou plusieurs réponses sont exactes. Le candidat
doit inscrire V (vrai) ou F (faux ) dans la case correspondante.
Aucune justication n'est demandée. Pour chaque question, 3 réponses correctes rapportent 1
point et 2 réponses correctes rapportent 12 point.
E
H
F
G
Soit ABCDEFGH un cube de côté 1.
On
choisit le repère orthonormal

−−→ −−→ −−→
A ; AB , AD , AE
A
B
D
C
On appelle I et J les milieux respectifs des segments [EF] et [ FG].
L est le barycentre de {(A, 1) ; (B, 3)}.
Soit (π ) le plan d'équation 4x − 4y + 3z − 3 = 0.
1) Les coordonnées de L sont :
1
3
a.
; 0; 0
b.
; 0; 0
c.
4
4
2) Le plan (π ) est le plan
a. (GLE)
b. (LEJ)
c. (GFA)
2
; 0; 0
3
3) Le plan parallèle au plan (π ) passant par I coupe la droite (FB) en M de coordonnées
1
1
1
b. 1 ; 0 ;
c. 1 ; 0 ;
a. 1 ; 0 ;
4
5
3
4) a. Les droites (EL) et (FB) sont sécantes en un point N qui est le symétrique de M par
rapport à B.
b. Les droites (EL) et (IM) sont parallèles.
c. Les droites (EL) et (IM) sont sécantes.
5) Le volume du tétraèdre FIJM est :
1
1
1
a.
b.
c.
36
48
24
17
Exercice 18 Nouvelle Calédonie mars 2005
L'exercice comporte 4 questions. Pour chaque question, on propose 3 armations. Pour chacune
d'elles, le candidat doit indiquer si elle est vraie ou fausse en cochant la case correspondante.
Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute réponse ambiguë
sera considérée comme une absence de réponse.
Chaque réponse exacte rapporte 0,25 point. Une bonication de 0,25 point est ajoutée chaque
fois qu'une question est traitée correctement en entier (c'est- à-dire lorsque les réponses aux 3
armations sont exactes). 2 réponses inexactes dans une même question entraînent le retrait
de 0,25 point.
L'abstention n'est pas prise en compte, c'est- à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point.
Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée â zéro.

−
→ −
→
Dans l'exercice, le plan complexe est rapporté au repère orthonormal O, u , v .
Pour tout n entier naturel
Q1 non nul,
n pour tout réel
θ, eiθ est égal à :
La partie imaginaire du
Q2 nombre z est égale à :
einθ
¤ Faux ¤ Vrai
cos (θn ) + i sin (θn )
¤ Faux ¤ Vrai
cos(nθ) + i sin(nθ)
¤ Faux ¤ Vrai
z+z
2
z−z
2i
z−z
2
¤ Faux ¤ Vrai
¤ Faux ¤ Vrai
¤ Faux ¤ Vrai
Soit z un complexe tel que
z = x + iy (x et y réels). Si z
Q3 est un imaginaire pur, alors
|z|2 est égal à :
y2
¤ Faux ¤ Vrai
−y 2
¤ Faux ¤ Vrai
−z 2
¤ Faux ¤ Vrai
A, B et C sont des points
d'axes respectives a, b et c
Q4 telles que b − a = i√3,
c−a
alors :
BC = 2 AC
−
−→ −−→ π
AB , AC = + 2kπ, k ∈ Z
2
−−→ −−→
CA · CB = CA2
¤ Faux ¤ Vrai
18
¤ Faux ¤ Vrai
¤ Faux ¤ Vrai
Exercice 19 Amérique du nord Juin 2005
Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justication n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée
à 0.
1) Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d'axes respectives
−2 + 3i, −3 − i et 2, 08 + 1, 98i. Le triangle ABC est :
(a) : isocèle et non rectangle (b) : rectangle et non isocèle
(c) : rectangle et isocèle
(d) : ni rectangle ni isocèle
2) À tout nombre complexe z 6= −2, on associe le nombre complexe z 0 déni par : z 0 =
L'ensemble des points M d'axe z tels que |z 0 | = 1 est :
(a) : un cercle de rayon 1
(b) : une droite
(c) : une droite privée d'un point (d) : un cercle privé d'un point
z − 4i
.
z+2
3) Les notations sont les mêmes qu'à la question 2.
L'ensemble des points M d'axe z tels que z 0 est un réel est :
(a) : un cercle
(b) : une droite
(c) : une droite privée d'un point (d) : un cercle privé d'un point
4) Dans le plan complexe, on donne le point D d'axe i. L'écriture complexe de la rotation
π
de centre D et d'angle − est :
√
√ ! 3 √
√ !
1
3
3 1
1
3
3 1
0
0
z−
z−
(a) : z =
−i
+ i (b) : z = − + i
+ i
2
2
2√
2
2
√2
√2 !
√ 2!
1
3
3 1
1
3
3 1
(c) : z 0 =
z−
z+
−i
− i z0 =
−i
+ i
2
2
2
2
2
2
2
2
19
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte
trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant
â la réponse choisie.
Un lecteur d'une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies.
40 % des écrivains de romans policiers sont français et 70 % des écrivains de biographies sont
français.
Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.
1) La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :
a. 0, 4
b. 0, 75
c.
1
150
2) Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l'auteur soit français est :
a. 0, 3
b. 0, 8
c. 0, 4
3) La probabilité que Ie lecteur choisisse un roman policier français est
a. 1, 15
b. 0, 4
c. 0, 3
4) La probabilité que le lecteur choisisse un livre d'un écrivain français est :
a. 0, 9
b. 0, 7
c. 0, 475
5) La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l'écrivain est français
est :
a.
4
150
b.
12
19
c. 0, 3
6) Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque ; la probabilité qu'il ait choisi au moins un
roman policier est :
a. 1 − (0, 25)20
b. 20 × 0, 75
20
c. 0, 75 × (0, 25)20
Exercice 21 Asie Juin 2005

→
− −
→ →
−
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal O, ı ,  , k . On appelle D la droite d'équa8
>
<
x = 1 + 2t
tions paramétriques : > y = 2 − t
et P le plan d'équation cartésienne x + 2y − 3z − 1 = 0.
: z = −3 − t
Dans chacune des lignes du tableau ci-dessous, une seule armation est exacte. Le candidat
indiquera sur la copie le numéro de la ligne et la lettre correspondant à l'armation choisie.
Aucune justication n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note
est ramenée à 0.
Numéro
de la
ligne
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Armation A
Armation B
Armation C
Le point
M de coordonnées (−1 ; 3 ; 2)
appartient à D
Le vecteur
−
→
u de coordonnées (1 ; 2 ; −3)
est un vecteur directeur de D
Le point
N de coordonnées (2 ; −1 ; −1)
appartient à D
Le vecteur
−
→
v de coordonnées (−2 ; 1 ; 1)
Le point
R de coordonnées (3 ; 1 ; −4)
appartient à D
Le vecteur
−
→
w de coordonnées (3 ; 1 ; −4)
D est incluse dans P
D est strictement parallèle à P
D est sécante à P
Le point
G de coordonnées (1 ; 3 ; −2)
appartient à P
Le plan Q1 d'équation cartésienne x + 2y − 3z + 1 = 0
est perpendiculaire à P
La distance du point T de coordonnées (−1 ; −3
√ ; 2)
plan P est : 14
Le point
G de coordonnées (1 ; 3 ; 2)
appartient à P
Le plan Q2 d'équation cartésienne 4x − 5y − 2z + 3 = 0
La distance du point T de
coordonnées (−1 ; −3 ; 2)
au plan P est : 14
Le point
G de coordonnées (1 ; 3 ; −1)
appartient à P
Le plan Q3 d'équation cartésienne −3x + 2y − z − 1 = 0
La distance du point T de coordonnées (−1 ; −3 √
; 2) au
plan P est : 2 3
21
Exercice 22 Liban juin 2005
Pour chacune des huit armations (entre guillemets) ci -dessous, préciser si elle est vraie ou
fausse. Une réponse correcte rapporte 0,5 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de points.
Un éventuel total négatif sera ramené à zéro.
1) Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction dénie et strictement décroissante
sur [a ; +∞[, alors lim f (x) = −∞. x→+∞
2) Soient f et g deux fonctions dénies sur [0 ; +∞[, g ne s'annulant pas :
f (x)
Si lim f (x) = −∞ et si lim g(x) = +∞ alors lim
= −1 .
x→+∞
x→+∞
x→+∞ g(x)
√
3) Si f est une fonction dénie sur [0 ; +∞[ telle que 0 6 f (x) 6 x sur [0 ; +∞[ alors
f (x)
lim
=0
x→+∞ x

−
→ →
−
4) On considère un repère O, ı , 
du plan.
Si f est une fonction dénie sur R ∗ alors la droite d'équation
x = 0 est asymptote à la
−
→ −
→
courbe représentative de f dans le repère O, ı ,  .
5) La fonction f dénie sur R par f (x) = (x2 + 3x + 1) ex est une solution sur R de
l'équation diérentielle y 0 − y = (2x + 3)ex .
6) Soient A, B, C trois points du plan. On appelle I le barycentre des points A et B aectés
respectivement des coecients 3 et −2.
Si G est le barycentre des points A, B et C aectés respectivement des coecients 3,−2
et 1 alors G est le milieu du segment [CI] .
7) Soient A, B, C trois points du plan et G le barycentre de A, B et C aectés respectivement
des coecients 3, −2 et 1
−−→
−−→ −−→
L'ensemble des points M du plan tels que k3MA − 2MB + MC k = 1 est le cercle de
centre G et de rayon 1 .
8) Soient A et B deux points distincts du plan. On désigne par M un point quelconque du
plan.
−−→ −−→
Le produit scalaire MA · MB est nul si et seulement si M = A ou M = B .
22
Exercice 23 Polynésie juin 2005
Pour chacune des cinq questions, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justication n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l'absence de
réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif,
la note est
ramenée à zéro.

→
− −
→ →
−
L'espace est rapporté à un repère orthonormal O, ı ,  , k .
On considère les points A(3 ; 1 ; 3) et B(−6 ; 2 ; 1).
Le plan P admet pour équation cartésienne x + 2y + 2z = 5.
−−→
−−→
1) L'ensemble des points M de l'espace tels que 4MA − MB = 2 est :
a. un plan de l'espace b. une sphère
c. l'ensemble vide.
2) Les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan P sont :
11 1 1
8 1 7
7
1 5
a.
b.
c.
.
;
;
;
;
; − ;
3
3 3
3 3 3
3
3 3
3) La sphère de centre B et de rayon 1 :
a. coupe le plan P suivant un cercle ;
b. est tangente au plan P ;
c. ne coupe pas le plan P .
4) On considère la droite D de l'espace passant
8 par A
>
< x =
0
et la droite D d'équations paramétriques > y =
: z =
Les droites D et D0 sont :
a. coplanaires et parallèles
−
→
et de vecteur directeur u (1 ; 2 ; −1)
3 + 2t
3 + t (t ∈ R ).
t
b. coplanaires et sécantes
c. non coplanaires.
5) L'ensemble des points M de l'espace équidistants des points A et B est :
8
>
>
>
<
a. la droite d'équations paramétriques >
>
>
:
3
x = − −t
2
3
y =
− 7t (t ∈ R ).
2
z = 2+t
b. le plan d'équation cartésienne 9x − y + 2z + 11 = 0.
c. le plan d'équation cartésienne x + 7y − z − 7 = 0.
23
Exercice 24 La réunion juin 2005
Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes et sont notées sur un point chacune.
Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes. Le candidat doit indiquer
sur sa copie les deux propositions vraies. Aucune justication n'est demandée.
Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Donner
trois propositions ou plus d'une question, ou bien n'en donner aucune, ne rapporte aucun point.
Si, par application de ce barème, le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à
zéro.
1) Les suites suivantes sont convergentes :
a.
2n
n2005
n>0
b.

√
2n + (−1)n n
n+1
n∈N
c.
1
n sin
n
n>0
d.
√
n
ln n
n>1
2) On considère trois suites (un ) , (vn ) et (wn ) ayant, pour tout entier naturel n, les propriétés
suivantes : un 6 vn 6 wn , lim (un ) = −1 et lim (wn ) = 1.
n→+∞
n→+∞
Alors :
a.
lim (vn ) = 0.
n→+∞
b. La suite (un ) est minorée.
c. Pour tout n de N , on a : −1 6 vn 6 1.
d. On ne sait pas dire si la suite (vn ) a une limite ou non.
¨
3) Une suite (un ) est dénie sur N par
u0
= 1, 5
un+1 = 2un − 1 pour tout entier naturel n.
a. La suite (un ) converge vers 1, abscisse du point d'intersection des droites d'équations
y = x et y = 2x − 1.
b. La suite (vn ), dénie sur N par vn = un − 1, est géométrique.
c. La suite (vn ) est majorée.
d. La suite (wn ), dénie sur N par wn = ln (un − 1), est arithmétique.
4) Deux suites (xn ) et (yn ) sont dénies pour n > 0 par les relations :
xn =
1
1
1
1
1
1
+
+ ··· +
et yn =
+
+ ··· + .
n n+1
2n
n+1 n+2
2n
a. Les suites (xn ) et (yn ) sont toutes les deux croissantes.
19
37
b. x3 =
et y3 = .
20
60
c. Les suites (xn ) et (yn ) ne sont pas majorées.
d. Les suites (xn ) et (yn ) sont adjacentes.
24
Exercice 25 France métropolitaine Juin 2004
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera
sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune
justication n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève
1/2 point l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée
à 0.
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal , on donne le point S(1 ; −2 ; 0) et le plan P
d'équation x + y − 3z + 4 = 0.
1) Une représentation paramétrique de la droite D passant par le point S et perpendiculaire
au plan P est :
8
>
<
A:>
:
8
>
<
C:>
:
8
>
<
x = 1+t
y = 1 − 2t , t ∈ R
z = −3
B:>
:
x = 2+t
y = −1 + t , t ∈ R
z = 1 − 3t
8
>
<
x = 1+t
y = −2 − 2t , t ∈ R
z = 3t
D:>
:
x = 2+t
y = −1 + t , t ∈ R .
z = −3 − 3t
2) Les coordonnées du point d'intersection H de la droite D avec le plan P sont :
!
A : (−4 ; 0 ; 0) B :
6 −9 3
;
;
5
5
5
C:
7 −2 1
;
;
9
3
3
!
!
− 25 9
8
D;
;
;
11
11
11
3) La distance du point S au plan P est égale à :
√
A:
11
3
3
B: √
11
9
C: √
11
D:
9
11
4) On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L'intersection de la sphère S et du plan
P est égale
A : au point I(1 ; −5 ; 0)
s
B : au cercle de centre H et de rayon r = 3
10
11
C : au cercle de centre S et de rayon r = 2
√
3 10
.
D : au cercle de centre H et de rayon r =
11
25
Exercice 26 Amérique du nord Juin 2004
Dans le plan ane, on considère ABC un triangle rectangle en A, I le milieu du segment [AB]
et J le centre de gravité de ABC.
1
Pour tout réel m, diérent de − , on note Gm le barycentre du système de points pondérés
3
Sm = {(A, 1), (B, m), (C, 2m)} .
−−→
−−→ −−→
−−→
Pour tout point M du plan on note VM = 3MA − MB − 2MC .
Pour chacune des six armations suivantes, dite si elle est vraie (V) ou fausse (F).
Chaque bonne réponse donne 0,5 point, chaque réponse fausse ou illisible enlève 0,25 point,
l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Un éventuel total négatif serait ramené
à 0.
Répondre aux armations sur la page annexe.
Armation
G1 est le milieu du segment [CI].
(
!)
2
G1 est barycentre de (J, 2), C,
3
−−→ −−→
−−→
Pour tout point M , VM = AB + 2AC .
−−−−→
1 −−−→
Pour tout m, distinct de − , AGm est colinéaire à AG−1 .
3
IBG− 1 est un triangle rectangle.
2
Pour tout point P de (AG−1 ), il existe un réel m tel que P = Gm .
26
V ou F
noindent Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Chaque réponse juste rapporte 1
point. Une absence de réponse n'est pas sanctionnée. Il sera retiré 0,5 point par réponse fausse.
On ne demandeÈpas de justier.
La note nale de l'exercice ne peut être inférieure à zéro.
È
√
√
On pose z = − 2 + 2 + i 2 − 2.
1) La forme algébrique de z 2 est :
√
A:2 2
√
√
B : 2 2 − 2i 2
C:2+
√

2+i 2−
√
√
√
D : 2 2 + 2i 2

2
2) z 2 s'écrit sous forme exponentielle :
π
4ei 4
A:
B:
π
4e−i 4
3π
4ei 4
C:
3π
4e−i 4
D:
3) z s'écrit sous forme exponentielle :
7π
π
2ei 8
B:
2ei 8
C:
È
È
√
√
2+ 2
2− 2
4)
et
sont les cosinus et sinus de :
2
2
A:
A:
7π
8
B:
5π
8
27
C:
5π
2ei 8
3π
8
D:
D:
3π
2ei 8
π
8
Exercice 28 Asie Juin 2004
À chacune des trois armations suivantes, répondre par VRAI ou par FAUX .
Données
Armations
Réponses
f est la fonction dé- La tangente à C au point
nie sur l'ensemble R
d'abscisse 0 est parallèle à la
1
des nombres réels par :
x.
droite
d'équation
y
=
−
1
4
, C est la
f (x) =
1 + ex
courbe représentative de
f dans un repère du plan.
G
est
le
bary- L'application du plan dans
centre
du
système lui-même qui à tout point M
de
points
pondérés associe le point M0 tel que
−−−→
−−→
−−→
{(A ; −1), (B ; 1), (C ; 4)} MM0 = −MA + MB +
−−→
4MC , est une homothétie
de rapport −3.
f (x) = x sin 3x
Les solutions de l'équation
1
π
f (x) = x sont : 0 ;
+
2
18
π
5π
π
2k ou
+ 2k 0 , k et k 0
3
18
3
sont des entiers relatifs.
Le barème est le suivant :
• Réponse exacte : 1 point.
• Réponse fausse : −0, 5 point.
• Absence de réponse : 0 point.
• La note attribuée à l'exercice ne peut être négative.
28
Exercice 29 La Réunion Juin 2004
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la
réponse choisie. Aucune justication n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève un demi-point ; l'absence de
réponse est comptée 0 point.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
Première partie
Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques de données :
B1 , 6 000 adresses, dont 120 sont erronées et 5 880 sont exactes,
B2 , contenant 4 000 adresses, dont 200 sont erronées et 3 800 sont exactes.
1) On prélève au hasard, avec remise, 10 étiquettes parmi les 6 000 réalisées à l'aide de B1 .
La probabilité qu'exactement trois de ces étiquettes comportent une adresse erronée est :

A:
!
120
10
×
C:
3
6 000
3

120
+ 5 880
3
7
6 000
10
5 880
×
6 000
7
B:
3
120
!
3
10
D:
×
3
120
3
×
7
5 880
7
2) Parmi les 10 000 étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l'étiquette comporte
une adresse exacte, la probabilité qu'elle ait été réalisée à l'aide de B1 est :
A : 0, 98
B:
0, 4 × 0, 95
0, 6 × 0, 98 + 0, 6 × 0, 02
C : 0, 6×0, 98
D:
0, 6 × 0, 98
0, 6 × 0, 98 + 0, 4 × 0, 95
Deuxième partie
La durée de vie, exprimée en heures, d'un robot jusqu'à ce que survienne la première panne est
modélisée par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement dénie sur l'intervalle
[0 ; +∞[ (loi exponentielle de paramètre λ = 0, 000 5). Ainsi la probabilité que le robot tombe
en panne avant l'instant t est :
p ([0 ; t[) =
Z t
0
λe−λx dx.
1) La probabilité qu'un robot ait une durée de vie supérieure à 2 500 heures est :
2500
A : e− 2000
5
2500
C : 1 − e− 2000
B : e4
2000
D : e− 2500
2) La durée de
vie moyenne d'un robot ménager est donnée par la formule :
Z
E = lim
t→+∞ 0
t
λxe−λx dx.
a. L'intégrale
Z t
0
λxe−λx dx est égale à :
e−λt 1
t2 −λt
−λt
B : − te −
+
C : λte−λt − λe−λt − λ
A:λ e
2
λ
λ
b. La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures, est :
A : 3 500
B : 2 000
29
C : 2 531, 24
−λt
D : te
D : 3 000
e−λt
−
−λ
Exercice 30 France métropolitaine Septembre 2003

−
→ −
→
Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct O, ı ,  .
√
On considère les points A et Ω d'axes respectives : a = −1 + 3 + i et ω = −1 + 2i.
2π
et h l'homothétie de centre Ω et de rapport
On appelle r la rotation de centre Ω et d'angle
3
1
− .
2
1) Placer sur une gure les points A et Ω, l'image B du point A par r, l'image C du point
B par r et l'image D du point A par h.
2) On note b, c et d les axes respectives des points B, C et D.
Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 armations, dont chacune débute dans la première colonne et s'achève sur la même ligne colonne 2, colonne 3 ou colonne 4.
Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces armations. Pour cela il doit remplir le
tableau de la feuille annexe, en faisant gurer dans chacune des cases la mention VRAI ou
FAUX (en toutes lettres).
1. |a − ω|
2
4
5π 47π
2. arg(a − ω) −
6
6
3.
3−i
π
6
−
→
−
−−→
→ −−→
v , ΩC = arg [(ω − i)] − v , CΩ
1
(a + b + c)
3
4. ω =
b−d
5.
=
a−d
√
√
3
i
2
l'image de Ω par
6. Le point D est
la translation
1−→
de vecteur AΩ
2
a+b+c
√
3
− i
3
l'image de Ω par
l'homothétie de centre
3
A et de rapport
2
30
2π
3
b − 2i
√
3
i
3
l'image de Ω par la
la rotation de centre
π
B et d'angle −
6
Exercice 31 Amérique du nord juin 2003
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions : chacune comporte
trois réponses, une et une seule étant exacte.
Les réponses à cet exercice sont à inscrire dans la feuille jointe en annexe, page 5, en cochant
pour chaque question la case correspondante à la réponse proposée.
Toute réponse ambigue sera considérée comme une absence de réponse. Toute réponse exacte
entraîne une bonication, toute erreur est pénalisée.
On s'intéresse à la durée de vie, exprimée en années, d'un appareil ménager avant la première
panne. On peut modéliser cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans
vieillissement, dénie sur l'intervalle [0, +∞[. Ainsi, la probabilité d'un intervalle [0, t[, notée
p([0, t[), est la probabilité que l'appareil
ménager tombe en panne avant l'instant t.
Z
Cette loi est telle que p([0, t[) =
t
0
λe−λx dx, où t est un nombre réel positif représentant le
nombre d'années (loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0).
1) Pour t > 0, la valeur exacte de p([t, +∞[) est :
a. 1 − e−λt b. e−λt c. 1 + e−λt
2) La valeur de t pour laquelle on a p([0, t[) = p([t, +∞[) est :
ln 2
λ
λ
a.
b.
c.
λ
ln 2
2
3) D'après une étude statistique, la probabilité que l'appareil tombe en panne avant la n
de la première année est 0,18. La valeur exacte de λ est alors :
!
!
ln(82)
50
41
a. ln
b. ln
c.
41
50
ln(100)
4) Sachant que cet appareil n'a connu aucune panne au cours des deux premières années
après sa mise en service, la probabilité qu'il ne connaisse aucune panne l'année suivante
est :
a. p([1, +∞[) b. p([3, +∞[) c. p([2 ; 3[
Dans la suite de l'exercice on prendra λ = 0, 2.
5) La probabilité que l'appareil n'ait pas eu de panne au cours des trois premières années,
arrondie à 10−4 près, est :
a. 0, 552 3 b. 0, 548 8 c. 0, 451 2
6) Dix appareils neufs de ce type ont été mis en service en même temps. On désigne parX la
variable aléatoire égale au nombre d'appareils qui n'ont pas de panne au cours des trois
premières années.
La valeur la plus proche de la probabilité de l'événement X = 4 est :
a. 0, 555 5 b. 0, 802 2 c. 0, 160 7
31
Exercice 32 Amérique du nord juin 2002
Répondre au Q.C.M. proposé sur la feuille annexe (à rendre avec la copie).
Document à rendre avec la copie
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Il est seulement demandé d'entourer la
réponse choisie pour chacune des quatre questions.
L'absence de réponse à une question ne sera pas pénalisée.
a. On dispose de dix jetons numérotés de 1 à 10 et on en extrait simultanément trois pour
former un paquet . Combien de paquets contenant au moins un jeton ayant un numéro
pair peut-on ainsi former ?
Réponse 1 :
Réponse 2 :
Réponse 3 :
180
330
110
b. A et B sont deux évènements d'un espace probabilisé tels que :
p(A) = 0, 4 p(B) = 0, 5 p(A ∪ B) = 0, 35.
Combien vaut p(A ∩ B) ?
Réponse 1 :
p(A ∩ B) = 0, 1
Réponse2 :
p(A ∩ B) = 0, 25
Réponse 3 :
Les données sont
insusantes pour répondre.
c. A et B sont deux évènements d'un espace probabilisé tels que
1
p(B ∩ A) = , pA (B) = 0, 25 (probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé).
6
Combien vaut p(A) ?
Réponse 1 :
Réponse 2 :
Réponse3 :
2
1
1
p(A) =
p(A) =
p(A) =
3
24
12
d. Une variable aléatoire X a pour loi de probabilité :
xi
1
2
4
1
1
1
pi
2
4
4
Combien vaut l'écart type de X ?
Réponse 1 :
3
σ=
2
Réponse
2:
s
3
σ=
2
32
Réponse 3 :
σ=2