bac blanc tunis

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Le 23/05/2008
Baccalauréat Blanc 2008 - série S
Lycée PMF - Tunis
Mathématiques
Durée de l'épreuve : 4 heures
Coefficient : 7 ou 9
L'utilisation de la calculatrice est autorisée. Le candidat est invité à faire
gurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète, qu'il aura
développée. Il est rappelé que la présentation, la qualité de la rédaction
et la précision des raisonnements entreront pour une part importante
dans l'appréciation des copies.
Exercice 1 (5 points)
Partie A
Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle
de paramètre λ.
Z a
On rappelle que pour tout réel positif a, P (X ≤ a) =
λ e−λt dt
0
La courbe donnée ci-dessous représente la fonction densité de probabilité de X .
1. Interpréter sur le graphique la probabilité P (X ≤ 1).
2. Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètre λ.
Partie B
On pose λ = 1, 5.
1. Calculer P (X ≤ 1), en donner une valeur exacte puis une valeur approchée à 10−3 près
par excès.
2. Calculer P (X ≥ 2).
3. Déduire des calculs précédents l'égalité suivante: P (1 ≤ X ≤ 2) ≈ 0, 173 à 10−3 près.
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4. Soit x un réel positif. Calculer l'intégrale F (x) =
Z
x
1, 5t e−1,5t dt.
0
Déterminer la limite quand x tend vers +∞ de F (x) ; on obtient ainsi l'espérance
mathématique de la variable X .
Partie C
Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l'écart, en dixièmes de millimètres, entre
le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine.
On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre λ = 1, 5.
Si l'écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l'écart est compris entre 1 et 2, on procède
à une rectication qui permet d'accepter le cylindre dans 80 % des cas. Si l'écart est supérieur
à 2, le cylindre est refusé.
1. On prélève au hasard un cylindre dans la production.
(a) Montrer que la probabilité qu'il soit accepté est égale à 0, 915 à 10−3 près.
(b) Sachant qu'il est accepté, quelle est la probabilité qu'il ait subi une rectication ?
2. On prélève de manière indépendante dix cylindres de la production. On suppose le nombre
de cylindres susamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec
remise.
(a) Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés ?
(b) Quelle est la probabilité qu'au moins un cylindre soit refusé ?
Exercice 2 (5 points)
réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
−
−
1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O ; →
u ,→
v ), on considère
les points
• A d'axe a, a ∈ R
• B d'axe b + i, b ∈ R
• C image de B dans la rotation de centre A et d'angle
π
.
3
−
(a) Déterminer une relation entre a et b pour que le point C appartienne à l'axe (O ; →
v ).
(b) Exprimer alors l'axe du point C en fonction de a.
2. Dans cette question, on
a=
√ pose √
et D d'axe d = 2 + 3 − 2i 3.
√
3 et b = 0. On considère les points C d'axe c = −i
(a) Quelle est la nature du triangle ABC ?
d−a
. Que peut-on en déduire pour le triangle ACD ?
c−a
(c) Déterminer l'axe du point E image de D dans la rotation de centre A et d'angle
π
.
3
(b) Calculer le quotient
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−→
(d) Déterminer l'axe du point F image de D dans la translation de vecteur AC .
(e) Déterminer la nature du triangle BEF .
Exercice 2 (5 points)
réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
−
→
− →
− →
L'espace est muni d'un repère orthonormal O ; i , j , k .
On considère le point F de coordonnées (0 ; 0 ; 1) et P le plan d'équation z = −1.
On désigne par S l'ensemble des points de l'espace, situés à égale distance du point F et du
plan P .
1. (a) Soit M un point de coordonnées (x ; y ; z). Exprimer en fonction de x, y, z les coordonnées du point H , projeté orthogonal de M sur P .
(b) En déduire que
M (x ; y ; z) ∈ S ⇐⇒ x2 + y 2 = 4z
2. On a représenté ci-dessous trois surfaces dont les équations sont :
x2 + y 2 = 4z
;
x2 + y 2 = 4z 2
;
x2 + y 2 = 4
Associer à chaque surface son équation. On ne demande pas de justication.
surface (a)
surface (b)
surface (c)
3. (a) Soit t un réel strictement positif xé.
Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan d'équation
z = t. On précisera les éléments caractéristiques de cette section.
x2 + y 2 ≤ 4z
z≤2
Le solide Σ est donc délimité par la surface S et le plan d'équation z = 2.
Calculer en unités de volume, le volume V de Σ.
(b) On note Σ l'ensemble des points dont les coordonnées (x ; y ; z) vérient
4. (a) Soit a et b deux entiers relatifs tels que a2 + b2 ≡ 0 [3].
Démontrer que a ≡ 0 [3] et b ≡ 0 [3] .
(b) Soit M un point de S dont les coordonnées (x ; y ; z) sont des entiers relatifs.
Montrer que si z est divisible par 3, alors z est divisible par 9.
(c) Existe-t-il des points communs à la surface S et au plan d'équation z = 300, ayant
des coordonnées entières ?
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Exercice 3 (5 points)
Dans cet exercice, une réponse par VRAI ou FAUX, sans justication, est demandée au candidat
en regard d'une liste d'armations. Toute réponse conforme à la réalité mathématique donne
0,5 point. Toute réponse erronée enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'est pas comptabilisée.
Le total ne saurait être négatif.
On donne le cube ABCDEFGH, d'arête de
longueur 1, et les milieux I et J des arêtes [AB]
et [CG]. Les éléments utiles de la gure sont
donnés ci-contre.
Le candidat est appelé à juger chacune des 10
armations suivantes.
On utilisera pour répondre la feuille annexe, qui sera rendue avec la copie.
Armation
1.
2.
3.
4.
VRAI ou FAUX
−→ −
→ 1
AC · AI =
2 −→
−→ −
→ −
→
AC · AI = AI · AB
−→ →
−
−→ −
→
AB · IJ = AB · IC
−→ →
−
π
AB · IJ = AB × IC × cos
3
5.
6.
7.
8.
9.
 x = t+1
y = 2t
, le paramètre t décrivant R.

z = t
Une
 représentation paramétrique de la droite (IJ) est :
1



 x = 2t + 1
y = t + 1 , le paramètre t décrivant R


1
1

 z =
t+
2
2
6x − 7y + 8z − 3 = 0 est une équation cartésienne
de la droite (IJ).
L'intersection des plans (FIJ) et (ABC) est la droite
passant par I et par le milieu
[DC].
 de l'arête

−4

Le vecteur de coordonnées 1  est un vecteur
2
normal au plan (FIJ).
10.
−→ −→ −→
On utilise à présent le repère orthonormal A ; AB, AD, AE .
Armation
VRAI ou FAUX
Une
 représentation paramétrique de la droite (IJ) est :
1
6
Le volume du tétraèdre EFIJ est égal à .
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Exercice 4 (5 points)
Partie A
On considère les fonctions f et g dénies sur R par
f (x) = e−x
2
2
et g(x) = x2 e−x .
On note respectivement Cf et Cg les courbes représentatives de f et g dans un repère orthonor→
− →
−
mal (O ; i , j ) , dont les tracés se trouvent sur la feuille annexe. La gure sera complétée et
rendue avec la copie.
1. Identier Cf et Cg sur la gure fournie. (Justier la réponse apportée).
2. Étudier la position relative de Cf et Cg .
Partie B
On considère la fonction G dénie sur R par
Z
G(x) =
x
2
t2 e−t dt.
0
1. Que représente G pour la fonction g ?
2. Donner, pour x > 0, une interprétation de G(x) en termes d'aires.
3. Étudier le sens de variations de G sur R.
Z x
2
e−t dt.
On dénit la fonction F sur R par : ∀ x ∈ R, F (x) =
0
i
1h
−x2
4. Démontrer, que, pour tout réel x, G(x) = F (x) − xe
2
On admet que la fonction F admet une limite nie ` en +∞, et que cette limite ` est
égale à l'aire, en unités d'aire, du domaine A limité par la courbe Cf et les demi-droites
−ı ) et [O ; →
− ).
[O ; →
5. (a) Démontrer que la fonction G admet une limite en +∞ que l'on précisera.
(b) Interpréter en termes d'aire le réel
Z
N=
1
2
1 − t2 e−t dt.
0
(c) En admettant que la limite de G en +∞ représente l'aire en unités d'aire du domaine
−ı ) et la courbe C , justier graphiquement que :
D limité par la demi-droite [O ; →
g
Z
0
1
2
`
1 − t2 e−t dt ≥ .
2
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Annexe à rendre avec la copie
Nom : .......................
Prénom : ....................
Exercice 3
Armation Réponse (V ou F)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Exercice 4
Classe : ....