CORRIGE DU SUJET : BTS INFORMATIQUE DE GESTION - Web-IG

CORRIGE DU SUJET : A BTS INFORMATIQUE DE GESTION SESSION 2002
EPREUVE DE MATHEMATIQUES E2
Question
Correction
Barème
proposé
Exercice I
b
b
a
a
1)a)
0,5
c
c
1)a)
c
0,5
On lit : A = a b + c .
(
)
(
)
A = a b c + a b c + a b c + a b c + ab c = c + c a b + a + a b c + a b c
(
)( )
( x ® 0) = ( x + 0) = x.
(( x ® 0) ® y ) = (x ® y ) = x + y = x + y.
(((x ® 0) ® y ) ® 0) = ((x + y) ® 0) = x + y = x y.
1)b)
)
(
= b c + b a + a c = b c + b a + a a + c = b c + b a + b c = b a + c.
2)a)
2)b)
2)c)
A=
1,5
0,5
1
((((a ® 0) ® b) ® 0) ® (c ® 0)).
1
Exercice II
A)1)
A)2)
A)2)
x
+6
4
x
x
é
3 ö æ x 7 ö - +6
æ 1 öù - 4 +6 æ 1
- ÷ú = e
1 - x + ÷ = ç- + ÷ e 4 .
ç
ê1 + ( x - 3) ´ ç
è 4 øû
è 4
4ø è 4 4ø
ë
x 7
f ' ( x) ³ 0 Û - + ³ 0 Û - x + 7 ³ 0 Û x £ 7 .
4 4
La dérivée de f est positive sur l’intervalle [3 ; 7], négative sur [7 ; 30].
x
3
7
30
+
0
f ' ( x)
On a : f ' ( x ) = e
-
1
0,5
17
4e 4
0,5
f ( x)
0
27e
A)3)
y = f ' (24) ´ ( x - 24) + f (24) = L’équation cherchée est :
soit : y = A)4)
B)1)
B)2)
B)3)
-
3
2
17
( x - 24) + 21
4
0,5
17
x + 123.
4
Voir dessin.
xi
3
6
9
12
15
18
1
zi
5,298
4,605
3,912
2,996
2,303
1,609
0,5
-3
On trouve r = - 0,999 , valeur arrondie à 10 près : cette valeur, très voisine de 1, permet
d’affirmer qu’un ajustement affine est à priori justifié.
0,5
On trouve, pour l’équation de la droite de régression de z en x, sous la forme demandée :
1
z = - 0, 25 x + 6.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------BTS Informatique de Gestion Session 2002
Corrigé de l’épreuve de mathématiques E2
Sujet A
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B)4)
6-
x
On trouve, avec les égalités z = ln y et z = - 0, 25 x + 6 : y = e 4 .
Le nombre d’acheteurs potentiels, pour un prix de 1000 euros, peut être estimé à 33 car :
1
10
- +6
e 4
= e3,5 » 33 (on a remplacé x par 10 dans la relation précédente donnant y en
fonction de x).
C)1)
Les ventes correspondent à la somme (en centaines d’euros) : xe
-
x
+6
4
à laquelle il faut
x
- +6
e 4
retrancher le prix de revient total (estimé) : 3 ´
.
Le bénéfice (montant estimé) de la société s’élève donc à :
xe
-
x
+6
4
- 3´ e
-
x
+6
4
= ( x - 3) e
-
0,5
x
+6
4 .
On retrouve l’expression de la fonction f étudiée dans la partie A.
C)2)
17
On a trouvé (pour la fonction f ) un maximum égal à 4e 4 pour x = 7 : cela signifie que
la société doit proposer, pour son système d’alarme, un prix de 700 euros pour espérer un
bénéfice maximal, égal dans ce cas à 400 ´
17
e4
1
= 28000 euros (à 100 euros près) .
Exercice III
A)1)a)
On peut résumer les données en écrivant :
P (A) = 0, 05, P (B) = 0, 04, P (A Ç B) = 0, 01.
Les événements A et B sont indépendants si
P (A Ç B) = P (A ) ´ P (B).
Or P (A ) ´ P (B) = 0, 002 et 0,002 ¹ 0,01 : les deux événements A et B ne sont donc pas
1
indépendants.
A)1)b)
La probabilité demandée correspond au calcul : PB ( A ) =
P ( A ∩ B)
P (A)
=
0, 01
= 0, 25.
0, 04
0,5
A)2)a)
La probabilité demandée correspond au calcul :
P (A È B) = P (A) + P (B) - P (A Ç B) = 0, 05 + 0, 04 - 0, 01 = 0, 08.
0,5
On a donc : P (C) = 0,08.
A)2)b)
B)1)a)
D est l’événement contraire de C, donc P (D) = 1 - P (C) = 0,92.
0,5
On répète 100 fois, de manière indépendante, la même expérience, n’ayant que deux
issues possibles :
ƒ « la pièce prélevée ne présente aucun défaut » avec une probabilité p = 0,92
ƒ « la pièce prélevée présente au moins un défaut » avec une probabilité q = 1 − p .
1
On reconnaît un schéma de Bernoulli, la variable X suit la loi binomiale b (100 , 0,92 ) .
B)1)b)
B)2)a)
99
1
99
La probabilité demandée est : P (X=99) = C100
(0,92) ´ (0, 08) = 0, 002 , résultat donné
à 10- 3 près par défaut.
On sait que lorsqu’une variable aléatoire suivant la loi binomiale b ( n, p ) est approchée
par une variable aléatoire suivant la loi normale n (m,σ ) avec
m = n ´ p = 100 ´ 0,92 = 92 et σ = npq = 7,36 = 2,71 à 10
B)2)b)
0,5
1
-2
près.
æY - 92 86,5 - 92 ö
£
P (Y £ 86,5) = P ç
÷ = P (T £ - 2,03) = 1 - Π (2,03)
è 2,71
2,71 ø
1
= 0,021 à 10- 3 près par défaut.
B)2)c)
On trouve de même P (Y ³ 89,5) = P (T £ 0,92) = 0,821 à 10 - 3 près par défaut.
1
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TRACE DE LA COURBE
QUESTION EXERCICE 2 : A)4)
J
o I
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