Thème : Problèmes ouverts Programme

Thème : Problèmes ouverts
Programme :
En mathématiques, un problème ouvert (ou problème pour chercher) est une question posée
à des élèves, à laquelle ils ne peuvent pas répondre rapidement par leurs connaissances. L'objectif
est d'apprendre aux élèves à chercher et de les inciter à élaborer eux-mêmes (avec l'aide du
professeur) les outils permettant de résoudre le problème. Un problème ouvert est censé être plus
motivant pour beaucoup d'élèves, contrairement aux exercices d'entraînement, plus répétitifs.
Ils sont souvent utilisés, en début de chapitre, lors des activités d'étude et de recherche et en
fin de chapitre pour leur permettre d'utiliser l'ensemble de leurs connaissances et amener une plus
grande réflexion.
L'exercice :
1) Présentation :
L'exercice proposé est un problème ouvert, portant sur les estimations. On va observer une
population de plus en plus grande où le caractère étudié (ici présent/absent) à toujours la même
probabilité dans les différents cas. Et on va se demander dans quel situation on prend moins de
risque.
2) Analyse :
Le premier élève part directement sur un aspect logique : plus on prend de réservation plus on
devrait avoir de personne et donc le risque serait plus grand. Intuitif mais n'utilise pas ces
connaissance mathématique. Manque de réflexion sur le problème.
Le deuxième élève voit que le risque que prend le restaurant est que tous les clients viennent, c'està-dire les 21 qui ont réservé. Il va calculer la probabilité d'avoir les 21 clients au restaurant. On peut
supposer qu'il connaît la loi Binomial puisqu'il obtient que
21
21−21
21
P(X=21) = 21 ( 0,95 ) ( 1−0,95 )
=( 0,95 ) ≈ 0,34 ce qui est une probabilité assez élevé (plus
21
d'une chance sur 3)
( )
Énoncé :
Un restaurateur peut servir au maximum 20 clients et accepte 21 réservations. Un transporteur
aérien peut transporter 200 passagers (au maximum) et acceptent 210 réservations de billets. Un
organisateur de concert peut proposer un spectacle a 2000 spectateurs (au maximum) et accepte
2100 réservations. Tous les trois font l’hypothèse que la probabilité de "défaut" d'une personne
ayant effectué une réservation est égale a 0.05.
1) Montrer que X suit une loi Binomiale de paramètre n, p que l'on déterminera.
2) Calculer dans chaque cas, la probabilité d'avoir le bon nombre de client.
3) En déduire celui des trois qui a pris le plus de risque.
3) Correction :
A l'aide du tableau (utilisation de l'intervalle de fluctuation), on voit qu'il est de plus en plus rare
d'avoir les valeur extrême, l'intervalle est de plus en plus resserré autour de la valeur maximal de
clients qu'on peut avoir dans chaque établissement.
Pour connaître celui qui a pris le plus grand risque, il faut calculer dans chaque cas, la probabilité
d'avoir des clients en trop: X suit une loi binomiale de paramètre n, p (n= 21; 210; 2100 et p = 0,95)
Restaurateur prend un risque quand X > 20 : P[X>20] = P[X = 21] = (0,95)21 ≈ 0,34
Transporteur aérienne prend un risque quand X > 200 : P[X>200] = 1 – P[X≤200] ≈ 1 – 0,61 = 0,39
Organisateur de concert prend un risque quand X > 2000 : P[X>2000] = 1 – P[X≤2000] ≈ 1 – 0,71
= 0,29
On voit donc que c'est le transporteur aérien qui prend le plus de risque
Les exercices :
1) Niveau 1°S
Le premier janvier 2012, on a pu observer que la distance entre la Terre et Mars était à son
minimum. On sait par ailleurs que la distance entre la Terre et le Soleil mesure 149 600 000km, que
celle entre Mars et le Soleil mesure 247 900 000km, qu'une année terrestre dure 365 jours et qu'une
année martienne dure 687 jours.
Quelle était la distance entre la Terre et Mars au premier janvier 2014 ?
→ modélisation
→ calcul d'un angle (proportionnalité)
→ résolution avec Al-Kashi en 1°
2) Niveau 2°
Le directeur d'une salle de spectacle de 8000 places organise un concert. Il souhaite fixer le prix du
billet pour optimiser sa recette. Une étude du marché lui apprend que :
si le prix du billet est de 50 euros, il vend 300 billets
chaque baisse de 0,60euros sur le prix du billet lui permet de vendre 100 billet
supplémentaires
Déterminer le prix pour que la recette soit maximale.
→ modélisation
→ connaissance fonction second degré
→ optimisation
3) Niveau 4°
Stan et Laura sont frère. On sait que Stan a autant de frères que de sœur et Laura a deux fois plus de
frères que de sœurs. Combien sont ils dans la famille ?
→ modélisation
→ calcul littéral/système de d'équation
4) Niveau 1°
Pour réaliser un château de carte à un étage, deux cartes suffisent. Pour réaliser un plus haut, de
trois étages, il faut cette fois 15 cartes. Combien de cartes seraient nécessaires à la fabrication d'un
château à 1000 étage.
→ modélisation
→ calcul littéral