Circuits linéaires en régime sinusoïdal - Physique

Terminale STI
Régime sinusoïdal
Circuits linéaires en régime sinusoïdal
1
•
•
•
Importance du régime sinusoïdal
La plus grande partie de l’énergie électrique est produite sous forme de courant alternatif
sinusoïdal ;
les fonctions sinusoïdales sont simples à manipuler mathématiquement et électriquement ;
toute fonction périodique de forme quelconque peut être décomposée en une somme de
signaux sinusoïdaux.
2
Fonction sinusoïdale
2.1 Définitions
• Définition
Une tension sinusoïdale est une grandeur périodique et alternative pouvant s’écrire sous la
forme :
u(t) = UM sin(ωt + θ u )
t est le temps en secondes (s)
ω est la pulsation en radians par seconde (rad.s-1) ;
ωt + θ u est la phase instantanée en radians (rad) ;
θ u est la phase à l’origine en radians (rad).
• Valeur moyenne
< u >= 0 car il s’agit d’une fonction alternative
Remarque : la valeur moyenne peut encore s’écrire sous la forme u
• Valeur efficace
la valeur efficace d’une grandeur sinusoïdale est : U =
UM
2
où UM est la valeur maximum du signal.
• Période
Par définition T est telle que u(t) = u(t + kT)
ou k = 1, 2, 3, …
2π
ce qui conduit à : T =
ou avec la fréquence : ω = 2πf
ω
2.2 Exemple
u(t) = 10 2 sin(315.t + 1)
De cette équation ou de la courbe on peut en déduire :
ω = 315 rad.s −1
θ u = 1 rad
T=
2π
2π
=
= 19, 95.10−3 ≈ 20 ms
ω
315
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Relevé graphique de θu :
Une période correspond à un tours du
cercle trigonométrique.
T
↔
2π
∂t
↔
θu
1
1
1
f = =
=
.103 = 50 Hz
−3
T 20.10
20
UM = 10 2 = 14,14 V
U=
θu =
UM 10 2
=
= 10 V
2
2
2π .∂t 2π .0,0032
=
= 1,00 rad
T
20.10 −3
Remarquer le sens de mesure ∂t.
3
Représentation de Fresnel
La représentation de Fresnel est une représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales.
3.1 Représentation d’un vecteur
En coordonnées cartésiennes il faut la position (x; y) de son
extrémité
par rapport à son origine.
r
U (x; y)
En coordonnées polaires, il faut sa longueur et l’angle qu’il
fait
r avec un axe d’origine.
U (U; θ)
3.2 Représentation de Fresnel
Toute grandeur sinusoïdale (tension ou courant) sera représentée par un vecteur de longueur sa
valeur efficace et d’angle sa phase à l’origine.
Considérons un dipôle Z traversé par un courant i et ayant entre ses bornes une tension u.
Pour la tension :
u(t) = U 2 sin(ωt + θu )
Pour le courant :
i(t) = I 2 sin(ωt + θ i )
r
U (U ; θu )
⇔
⇔
r
I (I ; θi )
Différence de phase : ϕ = θ u − θ i
Si on prend le courant I comme origine des phases la
représentation se simplifie.
r
u(t) = U 2 sin(ωt + ϕ ) ⇔ U (U ; ϕ)
i(t) = I 2 sin(ωt)
⇔
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r
I (I ; 0)
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ϕ (phi) représente le déphasage de i par rapport à u.
En représentation de Fresnel, ϕ est l’angle allant de i vers u.
Remarque : il n’est pas nécessaire de représenter la phase instantanée ωt + θ puisque dans
un circuit électrique, toutes les grandeurs électriques auront la même pulsation ω.
La seule partie qui change pour les différents tensions et courants, ce sont la
valeur efficace et la phase à l’origine θ.
Remarque : le déphasage ϕ dépend du dipôle et de la pulsation ω
1.3 Loi des mailles en représentation de Fresnel
• Exemple :
Loi des mailles instantanée :
u = u1 + u2
Remarque : u à la même période que u1 et u2 .
r r
r
U = U1 + U2
Loi des mailles vectorielle :
avec u1 (t ) = U1 2 sin(ωt + θ 1 )
et
u2 (t) = U2 2 sin(ωt + θ2 )
r
avec Ur1 (U1 ; θ 1 )
et
U2 (U2 ; θ2 )
En aucun cas il ne faut faire la somme algébrique des valeurs efficaces U1 et U2 .
U ≠ U1 + U2 (voir la construction vectorielle ci-dessus).
• Remarque : il en va de même pour la loi des noeuds.
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Puissances en régime sinusoïdal
• Puissance instantanée
La puissance électrique est le produit de la tension par le courant.
u(t) = U 2 sin(ωt + ϕ )
et
i(t) = I 2 sin(ωt)
p = u.i = U 2 sin(ωt + ϕ).I 2 sin(ωt) = 2.U.I.sin(ωt + ϕ ).sin(ωt)
Pour réarranger les termes, on utilise la relation trigonométrique ci-dessous :
1
sin a.sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]
2
d’où
p = U.I.cos(ωt + ϕ − ωt) − U.I.cos(ωt + ϕ + ωt)
Finalement
p = UI cosϕ − UI cos(2ωt + ϕ)
On constate que la puissance instantanée est la somme d’un terme constant UI cosϕ et d’un
terme variant périodiquement UI cos(2ωt + ϕ) .
• Puissance active
La puissance active est la moyenne de la puissance instantanée. La valeur moyenne du terme
périodique est nulle (c’est une fonction périodique alternative). Il reste donc le terme
constant.
P = UI cosϕ
U : valeur efficace de la tension (V) ;
I : valeur efficace du courant (A) ;
ϕ : déphasage entre u et i (rad).
Unité : le watt (W).
• Puissance réactive
La puissance réactive est une invention mathématique pour faciliter les calculs.
Q = UI sinϕ
Unité : le voltampère réactif (VAR)
• Puissance apparente
La puissance apparente ne tient pas compte du déphasage entre u(t) et i(t).
S = UI
Unité : le voltampère (VA).
• Triangle de puissance
En observant les relations ci-dessus on constate que :
S 2 = P 2 + Q2
Ce qui peut être schématisé par le diagramme de Fresnel des puissances :
Remarque :
seule la puissance active à une réalité physique.
La puissance réactive ne correspond à aucune puissance réelle.
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• Autres relations
tgϕ =
5
•
•
•
Q
P
et
cosϕ =
P
S
Les dipôles passifs linéaires
La résistance (voir tableau)
La bobine parfaite (voir tableau)
Le condensateur parfait (voir tableau)
Résistance R
Inductance L
Capacité C
Schéma
di
dt
Equation
fondamentale
uR = Ri
uL = L
Impédance Z (Ω)
ZR = R
ZL = Lω
Admittance Y (S)
YR =
Relation entre les
valeurs efficaces
UR = RI
UL = LωI
Déphasage ϕ (rad)
ϕR = 0
ϕL = +
1
R
YL =
1
Lω
π
2
duC
dt
1
ZC =
Cω
i=C
YC = Cω
1
I
Cω
π
ϕC = −
2
UC =
Représentation de
Fresnel
Puissance active
P (W)
PR = UR I = RI 2 =
U2
R
0
0
QL = U L I = LωI 2
QC = −UC I = −CωUC2
L absorbe Q
C fournit Q
R absorbe P
Puissance réactive
Q (VAR)
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• La bobine réelle
La résistance du fil de cuivre dont est composée la bobine n’est en réalité pas négligeable.
D’où la modélisation d’une bobine réelle par une résistance en série avec une inductance
parfaite :
Z est l’impédance de la bobine (en Ohms ; Ω).
Il faut connaître l’expression de Z en fonction de r et L.
Z = r2 + L2ω 2
ω est la pulsation en rad.s-1
(démonstration en exercice)
• Le condensateur réel
Le condensateur réel ne s’éloigne du condensateur parfait que pour les très hautes fréquences
(ƒ > 1 MHz) .
Nous considérons ici que le condensateur est parfait.
6
Théorème de Boucherot
6.1 Théorème
Les puissances active et réactive absorbées par un groupement de dipôles sont respectivement
égales à la somme des puissances actives et réactives absorbées par chaque élément du
groupement.
6.2 Exemple
• Puissance instantanée
p = ui = u1i1 + u2 i1 + u3 i3
• Puissance active
P = UI cosϕ = P1 + P2 + P3 = U1 I1 cosϕ1 + U2 I1 cosϕ 2 + U3 I3 cosϕ3
• Puissance réactive
Q = UI sinϕ = Q1 + Q2 + Q3 = U1 I1 sinϕ 1 + U2 I1 sinϕ 2 + U3 I3 sinϕ 3
Le théorème de Boucherot n’est pas valable pour la puissance apparente.
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Facteur de puissance
7.1 Définition
• Définition générale
k=
P
S
Sans dimension.
• Cas particulier du régime sinusoïdal
k=
P UI cosϕ
=
= cosϕ
S
UI
soit
k = cosϕ
En régime sinusoïdale le facteur de puissance est cosϕ .
1.1 Importance du cos ϕ
La tension U étant imposée par le réseau EDF (220V, …) et la puissance P nécessaire pour
P
l’installation électrique, le courant s’adapte suivant la relation I =
.
U .cosϕ
Problème économique : plus I est faible plus les pertes sont faibles. Pour diminuer I sans
modifier P ou U, il faut augmenter cos ϕ.
On dit qu’il faut relever le facteur de puissance.
Problème électrique : comment modifier cos ϕ sans modifier la puissance active P ?
Réponse : le facteur de puissance peut s’exprimer de la façon suivante ; Cosϕ =
P
P + Q2
2
.
Plus Q se rapproche de 0, plus cos ϕ se rapproche de 1. En rajoutant à l’installation électrique des
condensateurs ou des inductances, on modifie Q sans modifier P.
Remarque : pour un particulier, EDF facture la puissance apparent S alors que le
consommateur utilise la puissance active P. Pour les entreprises EDF autorise un facteur de
puissance limite sous lequel il ne faut pas passer sous peine de surcoût.
1.3 Relèvement du facteur de puissance
Si l’installation électrique est inductive (Q > 0), il faut diminuer Q en adjoignant des
condensateurs (QC < 0) de telle sorte que 0 ≤ Q + QC < Q.
Si l’installation électrique est capacitive (Q < 0), il faut augmenter Q en adjoignant des
inductances (QL > 0) de telle sorte que Q < Q + QL ≤ 0.
1.4 Méthode
Dans la plupart des situations la charge est de type inductive (transformateurs, moteurs,
chauffage, ...). Pour relever son facteur de puissance il faut donc y ajouter en parallèle un
condensateur.
L’objectif est de dimensionner le condensateur en fonction du facteur de puissance recherché.
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Sans le condensateur
Avec le condensateur
D’après les schémas ci-dessus, on peut faire le bilan des puissances.
Puissance active
Puissance réactive
Déphasage
Charge seule
P
Q = P.tgϕ
On a ϕ
Condensateur seul
0
QC = −CωU 2
-π/2
Charge + condensateur
P
Q′ = Q + QC = P.tg ϕ ′
On veut ϕ’
On en déduit la capacité du condensateur de la manière suivante :
QC = −CωU 2 = Q′ − Q
−CωU2 = P.tgϕ ′ − P.tgϕ
Finalement :
8
C=
P(tgϕ − tgϕ ′)
ωU 2
Déphasage
8.1 Définition
• Valeurs instantanées
u(t) = U 2 sin(ωt + θ u )
i(t) = I 2 sin(ωt + θ i )
U et I sont les valeurs efficaces de u et i.
(ωt+θu ) et (ωt+θi) sont les phases instantanées de u et i.
• Différence de phase
ϕ = θu − θi
ϕ est la différence de phase entre u et i ou le déphasage de i par rapport à u.
si ϕ < 0, i est en avance sur u ; la charge est de nature capacitive.
si ϕ > 0, i est en retard sur u ; la charge est de nature inductive.
si ϕ = 0, i et u sont en phase ; la charge est de nature résistive.
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on peut alors écrire les grandeurs u et i d’une des façons suivantes :
u(t) = U 2 sin(ωt)
i(t) = I 2 sin(ωt − ϕ )
u(t) = U 2 sin(ωt + ϕ )
i(t) = I 2 sin(ωt)
ou
8.2 Déphasage en représentation de Fresnel
r
r
Sur le diagramme de Fresnel, ϕ est l’angle allant de I vers U .
8.3 Mesure du déphasage à l’oscilloscope
• Montage expérimental
On va mesurer le déphasage entre u et i
provoqué par les composants R, L et C
de ce circuit
remarque : à l’oscilloscope ur est l’image de i
• Méthode
A l’oscilloscope on mesure l’intervalle de temps ∆t allant de u vers i et la période T
(identique pour u et i).
Sachant qu’une période complète correspond à 2π radians ou 360 degrés, on effectue une
règle de trois pour trouver le déphasage ϕ.
ϕ = 2π
∆t
= 2πf .∆t = ω.∆t
T
en radians
ou
ϕ = 360
∆t
T
en degrés
• Exemple
Il faut choisir l’intervalle ∆t entre deux fronts
montants ou deux fronts descendants.
∆t = 1,4div × 0,5ms / div = 0,7 ms
T = 8 × 0,5 = 4 ms
∆t
0,7
ϕ = 2π
= 2π
= 1,1 rad
T
4
• Remarque :
ou
63°
il existe une autre méthode de mesure du déphasage à l’oscilloscope
(courbes de Lissajous). Il existe également des instruments mesurant
automatiquement le déphasage.
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8.4 Importance de la mesure du déphasage
Le déphasage intervient dans :
- le calcul de puissance et le redressement du facteur de puissance ;
- la conception de filtres HiFi ;
- la conception de régulations de systèmes d’asservissement.
En mesure physique le déphasage indique l’intervalle de temps entre deux signaux (ex. : mesure
de vitesses, de retards, de temps de réaction, …)
1.5 Résumé
Soit ϕ, le déphasage de i par rapport à u :
Grandeurs instantanées
Représentation de Fresnel
Mesure à l’oscilloscope
ϕ = θu − θi
Angle allant de i vers u
Mesurer ∆t de u vers i
1.6 Mesure du déphasage en électrotechnique
Il faut mesure la puissance active P, la tension efficace U et le courant efficace I.
cosϕ =
9
P
P
=
S U.I
Diagramme de Fresnel d’un circuit électrique
9.1 Diagramme des tensions
Exercice
9.2 Diagramme des courants
Exercice
9.3 Diagramme des impédances
Exercice
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