Devoir commun 2015 première S

E XERCICE 1
L’entreprise produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur x exprimée
en kilomètre, x étant compris entre 0 et 10. Le coût total de production en euros de l’entreprise CoTon est donné
en fonction de la longueur x par la formule C (x) = 15x 3 − 120x 2 + 500x + 750 Le graphique de l’annexe 2 donne la
représentation graphique de la fonction C .
PARTIE A : Étude du bénéfice
Si le marché offre un prix p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l’entreprise pour la vente
d’une quantité x est égal à R(x) = px.
1. Dans un premier temps voici le graphique :
ANNEXE
2
y
8000
(C f )
7000
6000
5000
4000
(D1 )
3000
2000
1000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
La droite D1 est en dessous de la courbe représentative de la fonction C . Donc pour tout réel x appartenant
à [0 ; 10], C (x) > 400x. C’est à dire que : si le prix p du marché est égal à 400 euros alors le coût total de
production est supérieur à la recette donc l’entreprise ne peut pas réaliser un bénéfice.
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[ Correction du devoir commun \
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Correction
2. Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros.
a. Voici le graphique modifié avec la deuxième droite :
ANNEXE
2
y
8000
(C f )
7000
(D2 )
6000
b
5000
4000
(D1 )
3000
2000
b
1000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
L’entreprise réalise un bénéfice quand la recette est supérieure aux coûts. Graphiquement, il s’agit de
déterminer l’intervalle sur lequel la courbe représentative de la fonction recette est située au dessus de
la courbe représentative de la fonction coût total.
Avec la précision permise par le dessin, la « plage de rentabilité » est obtenue pour une production
comprise entre 2,1 et 8,7 kilomètres de tissu.
b. La fonction B est définie sur l’intervalle [0 ;10] par B (x) = 680x −C (x). Soit :
B (x) = 680x − (15x 3 − 120x 2 + 500x + 750) ⇔ B (x) = −15x 3 + 120x 2 + 180x − 750
La fonction B est dérivable comme somme de fonctions polynômes sur l’intervalle [0 ; 10] et
B ′ (x) = −15 × 3 × x 2 + 120 × 2 × x + 180 = −45x 2 + 240x + 180 = −15(3x 2 − 16x − 12)
La dérivée de la fonction B est la fonction B ′ définie sur l’intervalle [0 ;10] par B ′ (x) = −15(3x 2 −16x−12).
c. Les variations de B , se déduisent de l’étude du signe de la dérivée B ′ (x).
Étudions le signe du polynôme du second degré 2 :
−45x 2 + 240x + 180 avec a = −45, b = 240 et c = −180.
On a : ∆ = b 2 − 4ac = 57600 − 4 × (−45) × 180 = 90 000
Comme ∆ > 0, (*) p
admet deux solutions
distinctes :
p
−b − ∆ −240 − 90 000
=
=6
x1 =
2a
2 × (−45)
et :
p
p
−b + ∆ −240 + 90 000
2
x2 =
=
=−
2a
2 × (−45)
3
Devoir commun de 1ère S
2
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Correction
Nous savons de plus que a < 0, nous en déduisons le tableau de signes de B ′ (x) suivant et le tableau de
variations de B :
x
0
6
B ′ (x)
+
0
10
−
1410
B
−750
−1950
D’après le tableau des variations de la fonction B sur l’intervalle [0 ;10], le bénéfice est maximal pour la
production et la vente de 6 kilomètres de tissu.
D’autre part, B (6) = −15 × 63 + 120 × 62 + 180 × 6 − 750 = 1410
Le bénéfice maximal est de 1410 (pour la production et la vente de 6 kilomètres de tissu.
PARTIE B : Étude du coût moyen
On rappelle que le coût moyen de production C M mesure le coût par unité produite.
C (x)
On considère la fonction C M définie sur l’intervalle ]0 ;10] par C M (x) =
.
x
1. La fonction C M est dérivable comme quotient de deux fonctions polynômes sur l’intervalle ]0 ; 10] et :
′
CM
(x) =
Soit encore :
′
CM
(x)
C ′ (x) × x − 1 ×C (x)
x2
=
(45x 2 − 240x + 500) × x − (15x 3 − 120x 2 + 500x + 750)
x2
=
45x 3 − 240x 2 + 500x − 15x 3 + 120x 2 − 500x − 750
x2
30x 3 − 120x 2 − 750
x2
30(x 3 − 4x 2 − 25)
=
x2
30(x − 5)(x 2 + x + 5)
=
x2
Car pour tout x réel : (x − 5)(x 2 + x + 5) = x 3 + x 2 + 5x − 5x 2 − 5x − 25 = x 3 − 4x 2 − 25
=
2.
a. Le discriminant ∆ = −19 du polynôme du second degré P (x) = x 2 + x + 5 est négatif donc pour tout réel
x, x 2 + x + 5 > 0 (en effet : a = 1 et a > 0). D’autre part, pour tout réel x, x 2 ⩾ 0.
30(x − 5)(x 2 + x + 5)
est du
Par conséquent, pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; 10], l’expression
x2
signe de (x − 5).
Les variations de la fonction C M , se déduisant du signe de sa dérivée, nous pouvons établir le tableau
des variations de C M sur l’intervalle ]0 ;10]
x
0
5
′
CM
(x)
−
0
10
+
875
CM
C M (5)
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3
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Correction
b. D’après le tableau des variations de la fonction C M le coût moyen de production est minimum pour la
production 5 kilomètres de tissu. D’autre part,
C (5) = 15 × 53 − 120 × 52 + 500 × 5 + 750 = 2125 et C M (5) =
2125
= 425
5
E XERCICE 2
Cas n = 0
Chaque secteur est équiprobable, nous pouvons calculer les probabilités comme ci-dessous :
1. Voici l’arbre de probabilité :
3
7
R
B
4
7
2. Loi de probabilité de X :
Les valeurs prises par X sont : -12 et 16.
gi
-12
16
P(X = g i )
4
7
3
7
On a bien :
E(X ) =
2
∑
i =1
2
∑
P(X = g i ) = 1.
i =1
g i × P(X = g i ) = −12 ×
4
3
+ 16 × = 0.
7
7
Le gain moyen est donc nul.
3. P(X > 0) = P(X = 16) =
3
7
4
7
Il n’y a donc pas équiprobabilité.
P(X < 0) = P(X = −12) =
Cas général
Chaque secteur est équiprobable, nous pouvons calculer les probabilités comme ci-dessous :
1. Voici l’arbre de probabilité :
R
3
7
n+
4
n+7
n
n+
7
B
3
7
n+
R
V
4
n+7
B
n
n+
7
V
2. Loi de probabilité de X :
Les valeurs prises par X sont : -12, 0, 2, 8 et 16.
gi
-12
0
2
8
16
P(X = g i )
4
n +7
n2
(n + 7)2
4n
(n + 7)2
3n
(n + 7)2
3
n +7
On a bien :
5
∑
P(X = g i ) =
i =1
Devoir commun de 1ère S
n 2 + 4n + 3n + (4 + 3)(n + 7) n 2 + 14n + 49
=
= 1.
(n + 7)2
(n + 7)2
4
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Correction
5
∑
4
n2
4n
3n
3
+0×
+2×
+8×
+ 16 ×
2
2
2
n +7
(n + 7)
(n + 7)
(n + 7)
n +7
i =1
8n + 24n + (−48 + 48)(n + 7)
=
(n + 7)2
32n
=
(n + 7)2
3. E(X ) =
g i × P(X = g i ) = −12 ×
32x
.
(x + 7)2
Cette fonction est dérivable en tant que quotient de deux fonctions polynômes sur ce même intervalle.
32(x + 7)2 − 2(x + 7) × 32x
f ′ (x) =
(x + 7)4
32(x 2 + 14x + 49) − 64x 2 − 448x
=
(x + 7)4
−32x 2 + 32 × 49
=
(x + 7)4
−32(x 2 − 49)
=
(x + 7)4
−32(x − 7)(x + 7)
=
(x + 7)4
On en déduit le tableau de variations suivant :
4. Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) =
x
0
+∞
7
−32
−
−
x −7
−
x +7
+
+
(x + 7)4
+
+
f ′ (x)
+
0
0
+
−
8
7
f
0
8
Cette fonction admet un maximum atteint pour x = 7 qui vaut f (7) = .
7
8
On en déduit que l’espérance maximale vaut : E(X ) = (, elle est atteinte pour n = 7.
7
E XERCICE 3
1. f (x) = 0 admet une solution c’est la réponse a.
2. f ′ (x) = 0 admet plusieurs solutions, c’est la réponse b.
3. f ′ (2) = 0 c’est la réponse c.
4. f est dérivable sur [0; +∞[, elle est définie et 0 et elle admet une tangente non verticale en 0.
C’est la réponse a.
5. f ′ change de signe, réponse C.
6. c’est la réponse c.
−→ −−→
−−→
7. c’est la réponse a. AB = OD = −DO.
( 1)
−
→
−
8. c’est la réponse a. u
2 .
−3
Devoir commun de 1ère S
5
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Correction
9. C’est la réponse c. y B − 6x B +
27
= 4, 5 − 6 × 3 + 13, 5 = 0.
2
10. C’est la réponse c. Les tangentes aux points A et D sont parallèles à l’axe des abscisses, un vecteur directeur
de ces tangentes est de direction parallèle à l’axe des abscisses.
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