Corrigé DM6 - Pagesperso
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Première ES2 Corrigé devoir maison n°6 À remettre le jeudi 12/05/2011 Exercice 1 : études de fonctions économiques L’entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur x exprimée en kilomètre, x étant compris entre 0 et 10. Le coût total de production en euros de l’entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur x par la formule : C x=15x 3 − 120x 2500x750 Le graphique de l’annexe 1 donne la représentation graphique de la fonction C. Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes Partie A : Étude du bénéfice Si le marché offre un prix p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l’entreprise CoTon pour la vente d’une quantité x est égal à R x=px . 1. Voir graphique de l’annexe 1. L’entreprise CoTon réalise des bénéfices lorsque la droite D 1 est au dessus de la courbe représentative de la fonction C. Or, elle est toujours au dessous de cette courbe. L'entreprise ne peut réaliser de bénéfice en vendant son tissu 400 euros le kilomètres. 2. Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros. a. Voir le graphique de l’annexe 1 En vendant le tissu 680 euros, l'entreprise CoTon réalise un bénéfice pour une quantité x telle que : x ∈[2,05 ; 8,65] b. On considère la fonction B définie sur l’intervalle [ 0 ; 10 ] par : B x=680x − C x B x=680x − C x B x=680x − 15x3 − 120x 2500x750 3 2 B x=− 15x 120x 680x−500x−750 3 2 B x=− 15x 120x 180x−750 c. Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle [ 0 ;10 ] on a : 3 2 2 B x=− 15x 120x 180x−750 ⇒ B' x=−15×3x 120×2x 180 On en déduit que : B 'x =− 45x 2240x180 d. Étudions le signe de B ' sur l'intervalle [0;10] Calculons le discriminant : ∆=b 2−4ac On a a=-45, B=240 et c=180, donc : ∆=2402−4×−45×180=90000 1/6 Première ES2 Corrigé devoir maison n°6 À remettre le jeudi 12/05/2011 Le discriminant est positif donc la fonction B' admet 2 racines distinctes: −b− ∆ −b ∆ x 1= et x 2= . D'où : 2a 2a −b− ∆ −240− 90000 −240−300 −540 540 54 x 1= = = = = = =6 2a 2×−45 −90 −90 90 9 −240 90000 −240300 60 6 2 = =− =− x 2= = 2×−45 −90 −90 9 3 Proprité : Soit f x=ax 2bxc . Si le discriminant est strictement positif alors f a la signe de (-a) entre ces racines. Dans ce cas, le discriminant est strictement positif et a est négatif donc -a est positif. 2 B ' x ≥0 ⇔ x ∈[− ; 6] Dans ce cas, comme x ∈[0 ; 10 ] . On en déduit que : 3 B ' x ≥0 ⇔ x ∈[0 ; 6] On en déduit le tableau de variations de B x 0 6 10 f '(x) + 0 – 1410 f(x) -750 -1950 B0=−750 B6=1410 B10=−1950 Le bénéfice maximum est réalisé pour une quantité de 6 kilomètres de tissu . et il vaut 1410 euros Partie B : Étude du coût moyen On rappelle que le coût moyen de production CM mesure le coût par unité produite. C x On considère la fonction CM définie sur l’intervalle [ 0 ; 10 ] par : CM x= x 1. Pour tout x appartenant à l’intervalle ] 0 ; 10 ] on a : C x 15x3 − 120x 2500x750 15x3 x 2 500x 750 CM x= donc : CM x= = −120 x x x x x x 750 CM x=15x 2−120x500 Donc : x 750 30x×x 2−120×x 2−750 30x 3−120x 2−750 C 'M x=30x−120− 2 = = x x2 x2 2/6 Première ES2 Corrigé devoir maison n°6 À remettre le jeudi 12/05/2011 30x3−120x 2−750 C 'M x = x2 u x On aurait pu remarquer que C(x) s'écrit C x= avec : u x =15x 3 − 120x 2500x750 et v x v x=x u u ' v−uv ' Propriété : '= v v2 On a démontré que : On a u x =15x 3 − 120x 2500x750 et u ' x=15×3x 2−120×2x 2500=45x 2−240x500 v x=x et v ' x=1 45x2 −240x500×x −15x 3 − 120x 2500x750×1 C 'M x= 2 x 45x3−240x 2500x−15x 3 − 120x2 500x750 C 'M x= x2 3 3 2 2 45x −15x 240x −120x −750 C 'M x= 2 x 30x3−120x 2−750 C 'M x = x2 Développons l'expression 2 2 2 30× x−5× x x5=30× x×x x×xx×5−5×x −5×x−5×5 30× x−5× x2 x5=30× x 3x 25x−5×x 2−5x−25 30× x−5× x2 x5=30× x 3x 2−5×x 25x−5x−25 30× x−5× x2 x5=30× x 3−4×x 2−25 30× x−5× x2 x5=30×x 3−30×4×x2 −30×25 2 3 2 30× x−5× x x5=30×x −120×x −750 On en déduit que : C 'M x = 30×x−5× x 2x5 2 x 2. a. Étudions le signe de x 2x5 pour x appartenant à l’intervalle ] 0 ;10 ]. On a : ∆=b 2−4ac avec a=1 , b=1 et c=5 Donc : ∆=1 2−4×1×5=1−20=−19 Le discriminant est strictement négatif, la fonction du second degré a toujours le signe de a, qui est positif. ∀ x∈ ]0;10] x 2x50 ]0;10] 30×x−5×x 2x5 On a montré que C 'M x= Or 30; x 2x5 et x 2 étant strictement x2 positif sur l'intervalle ] 0 ;10 ]. C 'M x est le produit d'un nombre positif et de x−5 . C 'M x a donc le signe de x−5 b. Tableau de variations de la fonction CM sur l’intervalle ] 0 ; 10 ]. 3/6 Première ES2 x Corrigé devoir maison n°6 0 5 C' M x − À remettre le jeudi 12/05/2011 10 0 + C M x 415 CM 5= 15×53−120×52500×5750 2125 = =415 5 5 c. Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum? Le coût moyen est minimal pour une quantité produit de 5 kilomètres Dans ce cas CM 5=415 et C5=2125 Exercice 2 : pile ou face On lance 3 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On note le côté obtenu à chaque lancer (Pile : P, Face : F) a) Reproduire et compléter l'arbre ci-dessous pour déterminer tous les résultats. Lancer n°1 Lancer n°3 Résultat P PPP Lancer n°2 P P F P PPF PFP F PFF P FPP F FPF P FFP F FFF F P F F 4/6 Première ES2 Corrigé devoir maison n°6 À remettre le jeudi 12/05/2011 b) On a 8 résultats possibles. c) Calculer la probabilité des événements suivants : A: « On obtient face au deuxième lancer » A={PFP;PFF;FFP;FFF} 4 1 P A= = =0,5 P A=0,5 8 2 B : « On obtient 3 fois pile » : B={PPP} 1 P B= =0,125 ¨ P B=0,125 8 C : « On obtient 2 fois face » C={PFF;FPF;FFP} 3 P C= =0,375 C est aussi l'évènement « On obtient une seul fois pile » et on a trois solutions 8 possibles. 6 3 D: « Les deux côtés sont apparus » P D = = =0,75 Dans ce cas, c'est plus facile de compter les 8 4 , « une seule face est apparue » D ={PPP;FFF} issues de D d) L'évènement A∩D : « on obtient face au deuxième lancer ET les 2 côtés sont apparus » . 3 A∩D= PFP; PFF; FFP P A ∩D= =0,375 8 e) L'évènement A∪D est : « On obtient face au deuxième lancer OU on obtient les 2 faces » 7 P A∪D= =0,875 Seule l'issue {PPP}n'appartient pas à A∪D 8 5/6 Première ES2 Corrigé devoir maison n°6 ANNEXE 1 Fin du corrigé 6/6 À remettre le jeudi 12/05/2011