Théorème de Girsanov (cas brownien)

M ASTER 2 S TATISTIQUE MATHÉMATIQUE - A NNÉE 2014/2015
S TATISTIQUE DES PROCESSUS
Dans ce qui suit, T > 0, B = (Bt )t≤T est un mouvement brownien, F = (Ft )t≤T
est sa filtration naturelle
et K = (Kt )t≤T est un processus F -adapté, continu à
RT 2
gauche et tel que 0 Ks ds < ∞ p.s., de sorte que l’intégrale stochastique K.Bt soit
définie pour tout t ≤ T .
R
On admet le résultat suivant, dû à Novikov : si E exp( 21 0T Ks2 ds) < ∞, le processus Z = (Zt )t≤T défini pour chaque t ≤ T par
1
Zt = exp K.Bt −
2
Z t
0
Ks2 ds
est une martingale (on l’appelle exponentielle de Doléans de K.B).
Théorème (Girsanov) Supposons que E exp( 12 0T Ks2 ds) < ∞. Alors, la mesure Q
définie par Q(A) =R E(ZT 1A ) est une probabilité sur (Ω , FT , P), et le processus
stochastique (Bt − 0t Ks ds)t≤T est un mouvement brownien pour la probabilité Q.
R
Preuve. Tout d’abord, Q est bien une probabilité car, Z étant une martingale, on
a Q(Ω ) = EZT = EZ0 = 1. On peut aussi calculer, pour tout t ≤ T , la restriction
Qt de Q à Ft . Elle est définie par Qt (A) = E(Zt 1A ) pour tout A ∈ Ft . En effet, si
A ∈ Ft , comme Z est une martingale :
Qt (A) = E(Zt 1A ) = E E(ZT |Ft )1A = E(ZT 1A ) = Q(A).
Il faut maintenant montrer que le processus B̄ défini par B̄t = Bt − 0t Ks ds est
un mouvement brownien sous Q, i.e. pour tous 0 < t1 < · · · < t p = t, la loi sous Q
du vecteur aléatoire (B̄t1 , · · · , B̄t p ) est N (0, (ti ∧ t j )i, j≤p ). Fixons u1 , · · · , u p ∈ R,
et notons
R
p
H = K + i ∑ u j 1[0,t j ] .
j=1
1RT
Il est clair que E exp( 2
0
Hs2 ds) < ∞ donc, d’après le théorème de Novikov,
1
E exp H.Bt −
2
Z t
0
Hs2 ds = 1.
En développant cette expression, on trouve
Z tj
p
p
1 p
E Zt exp i ∑ u j Bt j + ∑ u j ukt j ∧ tk − i ∑ u j
Ks ds = 1.
2 j,k=1
0
j=1
j=1
1
Comme le terme entre parenthèses est Ft -mesurable et la restriction de Q à Ft
est Qt , on a donc
p
1
EQ exp i ∑ u j B̄t j +
2
j=1
p
∑
u j ukt j ∧ tk = 1,
j,k=1
où EQ désigne l’espérance sous Q. Par suite,
p
1
EQ exp i ∑ u j B̄t j = exp −
2
j=1
p
∑
u j uk t j ∧ tk ,
j,k=1
c’est-à-dire que, sous Q, la loi de (B̄t1 , · · · , B̄t p ) est N (0, (ti ∧ t j )i, j≤p ).
2