Pics fantômes d`un réseau ou ghosts

Chapitre 27 – Exercice 11
Pics fantômes d’un réseau ou ghosts
L’amplitude complexe c résultante a pour expression :
c = t(u) =
t(x) exp(−i2pux) d x =
n
t0 (x − xm ) exp(−i2pux) d x
−n
Posant X = x − xm , il vient :
n n
t(u) =
exp(−i2puxm ) t0 (X) exp(−i2puX) d X
t0 (x − xm ) exp(−i2pux) d x =
−n
=
n
−n
exp(−i2puxm ) t0 (u)
−n
Comme :
exp(−i2puxm ) = exp(−i2pmua) exp[−i2puab sin(2pm/M)] ≈ exp(−i2pmua) [1 − i2puab sin(2pm/M)]
ce qui s’écrit, en remplaçant le sinus par des exponentielles :
exp(−i2puma) − (puab) exp[−i2pm(ua − 1/M)] + (puab) exp[−i2pm(ua + 1/M)]
il vient, en sommant, puisque N = 2n + 1 :
c = t0 (u) n−n exp(−i2pmua) − (puab) exp[−i2pm(ua − 1/M)] + (puab) exp[−i2pm(ua + 1/M)]
sin[Np(ua − 1/M)]
sin[Np(ua + 1/M)]
sin(Npua)
− (puab)
+ (puab)
= t0 (u)
N sin(pua)
N sin[p(ua − 1/M)]
N sin[p(ua + 1/M)]
Ainsi, le pic en amplitude habituel est entouré de deux pics « fantômes » situés de part et d’autre, à une distance
Du = 1/(Ma) qui est grande devant la largeur à mi-hauteur 1/(Na) d’un pic. Comme l’amplitude des ghosts est
proportionnelle à b , l’intensité correspondante est proportionnelle à b2 .