ELMAGQ_43 Onde evanescente dans un plasma

G.P.
Questions de cours électromagnétisme
Ondes électromagnétiques dans un plasma dilué:
On considère un plasma commençant en z=0 et illimité du côté des z positifs. Une onde
provenant du vide z0 pénètre dans ce plasma.
Connaissant l'équation de dispersion dans un plasma, déterminer l'expression du champ
électrique, du champ magnétique, du vecteur de Poynting. L'onde dans ce plasma s'écrit sous
 =E 0 exp j t−k z  ux , la pulsation étant inférieure à la pulsation de coupure.
la forme E
Montrer que l'énergie ne se propage pas dans ce plasma pour les fréquences considérées.
Réponse:
Détermination de k :
2
2
2
 − P =k c
2
avec P
donc

k =± j
2
P
− 2
c
Expression de E :

E ={A exp j t−k  z B exp jt−k − z } ux


E ={A exp j t− j


E ={A exp 
 2P − 2
2P−2

z B exp j t j
z } ux
c
c
 2P − 2
 2P − 2

z  exp  j  tB exp −
z  exp  j t } ux
c
c
Le plasma s'étendant vers ∞ , le premier terme peut tendre vers ∞ , ce qui n'a pas de sens
physique. Il faut donc l'éliminer. Finalement:


E =E 0 exp −
 2P − 2
z  exp  j t  ux
c
Expression de B :
 P − u .
E =E 0 exp jt−k z  ux avec 
Le champ 
E s'écrit donc sous la forme 
k =− j
z
c
2
Pour déterminer 
B , on utilise l'équation de Maxwell-Faraday, ce qui donne:
2
G.P.
Questions de cours électromagnétisme

k ∧
E

B=


B =− j
E 0   2P − 2
 2P − 2

exp −
z  exp  j  t uy
c

c
Expression de π :
Pour déterminer l'expression du vecteur de Poynting en fonction du temps, il faut passer
obligatoirement aux réels. En posant E 0=E 0 exp− j  , on a donc:


E =E 0 exp −

B=
E0
c

E∧
 =

 2P − 2
z  cos t− ux
c
− 2
2P −2

exp −
z  sin  t− uy

c
2
P

B
donc:
0

 = 0 c E
2
0

− 2
 2P − 2

exp−2
z  sin  t−cos t− uz

c
2
P
Valeur moyenne de π
On détermine la valeur moyenne du vecteur de Poynting par rapport au temps.

 =0 c E 20

− 2
 2P −2 z  sint−cos t− u
exp−2
z

c
2
P
or
sin t−cos t− =
1
sin 2 t− =0
2
donc

0
  =
Le vecteur densité volumique de courant d'énergie est nul, en valeur moyenne dans le temps, dans
le plasma pour cette onde évanescente. L'énergie ne pénètre donc pas (ou ne se propage pas) dans le
plasma dans le cas d'une onde évanescente: il y a réflexion totale.