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Cet article est reporté sur une disquette 3"1/2 sous le nom de Pyt_sph.txt en Wordperfect 5.1 et
Pyt_sph.asc en A S C I I.
LA RELATION DE PYTHAGORE EN COORDONNÉES SPHÉRIQUES
ET QUELQUES RELATIONS DE GÉOMÈTRE SPHÉRIQUES COMPARÉES A
CELLES DE LA GÉOMÉTRIE PLANE.
La sphère est une surface sur laquelle le centre est partout, sur terre chaque pays peut se
proclamer "l'Empire du Milieu" sans exagérer, que ce soit le Lichtenstein ou la Chine.
La géométrie d'Euclide se rapporte à des figures qu'on trace dans le plan, mais que
deviennent les relations de la géométrie plane si le plan n'est que l'approximation d'une surface
sphérique?
On s'est souvent posé la question, qui, comme elle n'avait pas d'applications immédiates, est
restée sans réponse jusqu'au jour où on a rencontré dans un article très sérieux de la Revue
"Surveying and Land Information Systems" une formule permettant de calculer la longueur d'un
arc de grand cercle sur la sphère de rayon unité en fonction des coordonnées sphériques de ses
deux extrémités: latitude et longitude des points 1 et 2, termes du grand cercle. Cette formule (1)
"ressemblait" à la formule de Pythagore en coordonnées planes la voici:
sin²(s/2)= sin²((L2-L1)/2) + cos²((L2+L1)/2).sin²((M2-M1)/2),(1)
s étant la mesure angulaire de l'arc qu'on calculait,
L étant la latitude du point noté en indice,
M étant la longitude du point noté en indice.
Cette formule était espérée être plus précise que la traditionnelle formule de trigonométrie
sphérique traditionnelle (2), laquelle oblige à calculer les cosinus d'angles très petits, lorsque les
arcs et les différences de coordonnés sont, eux-mêmes, petits ou très petits.
Malheureusement cette nouvelle formule est inexacte, par excès, pour les grands angles, pour
lesquels il faudrait retourner à la formule traditionnelle!
On a voulu vérifier si, dans cette voie, c'est-à-dire le calcul par les sinus carrés des angles
moitiés, on pouvait trouver une formule exacte. Voici le résultat de cette recherche qui, contre
toute attente, donne un résultat exact dans tous les cas et "ressemble encore" à la très célèbre
relation de Pythagore.
Evidemment, on part de la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique c'est-à-dire
de (2):
cos s = sin L1.sin L2 +cos L1.cos L2.cos(M2 - M1),(2)
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On élimine le cosinus du petit angle s:
sin²(s/2) =(1-(sin L1.sin L2 +cos L1.cos L2.cos(M2 - M1))/2,
On élimine le cosinus de la différence de longitude M2-M1 qui peut, aussi, être petite:
sin²(s/2) =(1-(sin L1.sin L2 +cos L1.cos L2).(1-2.sin²((M2-M1)/2))/2,
Après calcul:
sin²(s/2) =(1-(sin L1.sin L2 +cos L1.cos L2)+2.cos L2.cos L1.sin²((M2-M1)/2))/2
On fait apparaître les sommes et les différences de latitudes L1 et L2.
sin²(s/2) =(2.sin²((L2-L1)/2)+([(cos(L2+L1)+ cos(L2-L1)].sin²((M2-M1)/2))/2,
On fait apparaître, successivement, les demies-sommes et les demies différences des mêmes
angles L1 et L2:
sin²(s/2) =(2.sin²((L2-L1)/2)+[(2.cos²((L2+L1)/2)-1+(cos(L2-L1)].sin²((M2-M1)/2))/2,
=
(2.sin²((L2-L1)/2)+[(2.cos²((L2+L1)/2)-1+(1-2.sin²((L2-L1)/2))].sin²((M2-M1)/2))/2,
On calcule les sommes, ce qui réduit l'expression à:
sin²(s/2)=(2.sin²((L2-L1)/2)+2.cos²((L2+L1)/2).sin²((M2-M1)/2)-2.sin²((L2-L1)/2)).sin²((M2M1)/2))/2,
Enfin:
sin²s/2= sin²((L2-L1)/2) + cos²((L2+L1)/2).sin²((M2-M1)/2)-sin²((L2-L1)/2).sin²((M2-M1)/2)), (3)
C'est la formule exacte qui donne des résultats identiques à la formule en cosinus (2), mais
quelle que soit l'importance des angles, notamment lorsqu'ils sont très petits. On remarquera que
seul le dernier produit avait été omis dans la formule (1) ce qui était, par ailleurs, sans importance
pour le but poursuivi de l'article cité en bibliographie. Toutefois, on a pensé qu'il restait
préférable d'employer une formule exacte, ce qui est fait.
LES DIFFÉRENCES DE COORDONNÉES SUR LA SPHÈRE.
Fort de ce succès, même modeste, on s'est demandé s'il était possible de poursuivre afin de
retrouver les formules élémentaires de la géométrie plane que chacun emploie, ou a employées
si souvent, mais cette fois-ci sur la sphère, notamment les formules passant des coordonnées
polaires aux coordonnées rectangulaires, et ce, avec la contrainte de ne pas utiliser les cosinus
d'angles qui pourraient encore être petits.
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Les formules suivantes sont bien connues puisque ce sont les relations, à peine modifiées,
de la trigonométrie sphérique:
sin Az12 = cos L2.sin(M2-M1)/sin s, et
sin Az21 = cos L1.sin(M2-M1)/sin s.(4)
Avec Az Azimut de la direction mise en indice.
On a de même:
sin(M2-M1) = sin s.sin Az12/cos L2,(5); on voit apparaître le produit attendu sin s.sin Az.
Mais il n'en est pas de même pour les différences de latitudes:
La relation fondamentale de la trigonométrie sphérique à peine modifiée donne:
sin L2 = sin L1.cos s + cos L1.sin s. cos Az12, (6)
On élimine cos s qui peut être très petit.
sin L2 = sin L1.(1-2.sin²(s/2)) + cos L1.sin s. cos Az12,
On tente de mettre en évidence L2-L1:
sin L2 - sin L1 =cos L1.sin s.cos Az-2.sin L1.sin²(s/2), on met en évidence les sommes et les
différences de latitudes:
2.cos((L2+L1)/2).sin((L2-L1)/2)= cos L1.sin s.cos Az - 2.sin L1.sin²(s/2), puis:
sin((L2-L1)/2)=(cos L1.sin s.cos Az-2.sin L1.sin²(s/2))/2.cos((L2+L1)/2),
On a en définitive:
sin((L2-L1)/2)=((cos L1.sin s.cos Az)/2)-(sin L1.sin²(s/2))/cos((L2+L1)/2),(7)
On voit qu'on fait apparaître, péniblement il est vrai, le produit sin s.cos Az, en outre il faut
disposer d'une première estimation du résultat pour calculer (L2+L1)/2, ce qui, à l'usage, n'est pas
un inconvénient insurmontable, en itérant cela est même très facile.
L'UTILITÉ DE LA FORMULE SPHÉRIQUE.
On peut légitimement se poser la question de l'utilité de la formule de Pythagore dans le
domaine sphérique. On en voit une, qui serait intéressante il s'agit du tracé d'un projet et du
pilotage de ce tracé si les deux extrémités ne sont pas visibles entre elles, ne serait-ce que par ce
qu'elles sont trop éloignées.
Supposons qu'on puisse déterminer les positions des deux termes par des mesures G P S. En
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l'absence d'un réseau général où on puisse se raccorder de façon fiable on croit qu'il faut et il
suffit de doubler les points d'extrémités pour obtenir un azimut permettant d'orienter la visée de
départ, puis calculer l'azimut du tracé.
La longueur de ce tracé sera donnée en fonction de l'arc s, en radians, par la relation:
S'R.s
S est le développement linéaire de l'arc s et R est le rayon moyen de courbure donné par la
formule d'Euler:
1
1
1
'
.cos2Az %
.sin2Az avec ρ
R
ρ
N
rayon de courbure principal et N la grande normale.
Ces quantités sont calculées classiquement par les relations
w' 1&e 2.sin2L
N'
ρ'
a
w
a.(1&e 2)
w3
S sera la longueur du tracé développée sur le géoïde si on a pris la précaution d'ajouter à a qui
est le grand axe de l'ellipsoïde la hauteur du géoïde au dessus de l'ellipsoïde, c'est l'artifice de
Vincenti.
On a développé un logiciel pour "essayer" aisemment ces formules dans toutes les
configurations possibles.
Les azimuts qui ne sont définis que par leurs sinus demandent une brève attention
supplémentaire: Pour qu'aucune indétermination ne subsiste il faut prendre trois précautions:
1E/ On choisit un sens de mesure des azimuts soit, ici, le sens des aiguilles d'une montre,
comme pour les gisements.
2E/ Ce choix étant fait, il convient d'écrire la seconde formule (4) de la façon suivante:
Az21'cos(L1).sin(M1&M2)/sin(s)(4)
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de façon à lui donner une valeur négative.
La règle sera donc de placer en premier la longitude du point visé et de lui retrancher la
latitude de la "station". On a ainsi réglé le choix à faire entre les deux doubles quadrants Ouest
(Az<0) et Est (Az>0).
3E/ Reste à règler le problème du choix entre les doubles quadrants Sud et Nord.
Il se fera en fonction du signe de L2-L1. La règle évidente est: Nord (L2-L1>0) et Sud
(L2-L1<0).
Le logiciel en cause est au demeurant de peu d'intérêt, mais pourrait être disponible.
On a profité, en outre, de la nécessité d'itérer les valeurs de L2-L1 pour améliorer le calcul
de l'arc linéaire S.
Cela peut se faire en calculant des valeurs moyennes de w et de Az qui varient le long de
l'arc s'il est assez long, par la formule des trois niveaux, à l'origine au milieu et à la fin. La
courbure moyenne Cm servant au calcul de la longueur de l'arc n'en sera que meilleure.
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C m'
wm .cos2(Azm)
a.(1&e 2)
%
wm.sin2(Azm)
a
EXEMPLES NUMERIQUES
On se donne M2-M1 = 20E, et L1=40E, et L2=60E, avec la formule (1) on aurait s=
23E49'34".307.
Avec la formule en cosinus (2), c'est-à-dire la formule classique de la trigonométrie sphérique
on obtiendrait s= 23E34'00",9973.
Enfin avec notre formule (3) s= 23E34'00",9978.
On calcule aussi Az12 = 25E19'22",024
puis
Az21 = 40E56'32",919 ou plutôt
319E03'27",081
Pour s plus petit les résultats de (3) sont évidemment meilleurs que ceux de la formule
traditionnelle, on a voulu montrer que pour les grands angles que (3) donnait des résultats
identiques à ceux de (2), formule classique, alors que (1) en était incapable.
Contrôlons notre travail:
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On calcule, d'abord, L2-L1 par la formule (7), pour connaître L2, sinon on ne pourrait pas
calculer les longitudes cette valeur manquerait, et cela en itérant à partir de (L1+L2)/2= L1, on
trouve:
19E59'59",9972 avec les 14 chiffres significatifs d'une calculette. Avec les 19 chiffres
de l'informatique courante le résultat est meilleur que le dix millième de seconde, c'est-à-dire que
3mm.
Ensuite on calcule M2-M1 par la formule (5) puisqu'on connaît L2, à partir des azimuts qu'on
vient de calculer, on retrouve 20E exactement, avec 14 chiffres significatifs ce qui n'est pas pour
étonner puisque la formule utilisée n'est que l'"inversion" des formules (4) permettant de calculer
les azimuts.
On note toutefois, ce qui est bien connu, que le calcul de l'angle moitié est défavorable car il
en double l'erreur commise sur le calcul de cet angle, mais les résultats restent meilleurs que ceux
obtenus par les formules traditionnelles en cosinus.
BIBLIOGRAPHIE
[1] Wesley PARK & Dennis MILBERT (1995): A Geoid Model for San-Diego, California, to
Test the Effect of Densifying Gravity Measurements on Accuracy of G P S-Derived Orthometric
Height in Surveying and Land Information Systems Vol 55 NE1 pp.21-38.