Correction BAC BLANC mars 2014 ES Mathématiques Ex 1

Correction BAC BLANC mars 2014 ES Mathématiques
Ex 1. ( 5 POINTS ) commun à tous les candidats
Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone
pour proposer la souscription d’un nouveau forfait à sa clientèle, composée à 65% d’hommes.
Des études préalables ont montré que 30% des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant
aussitôt (ou se déclarant immédiatement non intéressés).
Parmi les femmes, 60% écoutent les explications.
On admet que ces proportions restent stables.
Partie A
On choisit au hasard une personne dans le fichier clients. Chaque personne a la
même probabilité d’être choisie.
On note H l’évènement « la personne choisie est un homme »,
F l’évènement « la personne choisie est une femme »,
E l’évènement « la personne choisie écoute les explications du démarcheur » et
12 l’évènement contraire de E.
Rappel des notations :
Si A et B sont deux évènements donnés, 7(8) désigne la probabilité que l’évènement
A se réalise et 79 (8) désigne la probabilité de l’évènement A sachant que l’évènement
B est réalisé.
0,3
1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité proposé ci-contre :
2. a. E ∩F : " La personne choisie est une femme et qui écoute les explications."
@(1 ∩ A) = 0,35 × 0,6 = 0,21
b. 7(D) = @(1 ∩ E) + @(1 ∩ A) = 0,3 × 0,65 + 0,21 = 0,405
La probabilité que la personne choisie écoute les explications
du démarcheur est égale à 0,405.
I(H∩J)
K,L×K,MN
c. 7H (E) =
=
≈ 0,48
I(H)
0,7
0,35
K,OKN
Sachant que la personne écoute, la probabilité qu'il s'agisse d'un homme est de 0,48 environ.
0,4
Partie B
Les relevés réalisés au cours de ces premières journées permettent également de
constater que 12% des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait.
Chaque employé de l’opérateur effectue 60 appels par jour.
On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés
réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques.
On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées
par un employé donné un jour donné.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
L'expérience consiste en une répétition de 60 épreuves de Bernoulli identiques et
indépendantes donc la variable aléatoire X qui dénombre le nombre de souscription suit
la loi binomiale de paramètre X = 60 et Y = 0,12.
2. probabilité que l’employé obtienne 5 souscriptions un jour donné. @(Z = 5) ≈ 0,12
3. Soit A l'événement : " l’employé obtient au moins une souscription sur les 60."
[̅ ∶ " L'employé obtient aucune souscription."
@([̅) = @(Z = 0) donc @([) = 1 − @(Z = 0) = 1 − 0,88MK ≈ 0,9995
un jour donné. On donnera uune
dix--millième ( à `abc ).
ne valeur arrondie au dix
Le probabilité que l'employé obtienne au moins une souscription est d'environ 0,9995.
Ex2. ( 5 POINTS ) candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ( non spé )
On considère une fonction d définie sur l’intervalle [−1 ; 3], deux fois dérivable
sur cet intervalle et dont la représentation hi dans un repère orthonormé
est proposée ci-contre.
On désigne par d ′ la fonction dérivée de
d , par d ′′ la fonction dérivée seconde
de d , par F une primitive de d (On admet
l’existence de F ).
La droite D est tangente à hi au point
A d’abscisse 1, seul point en lequel la
courbe traverse la tangente.
L’axe des abscisses est tangent à hi au
point d’abscisse 2.
La tangente à hi au point d’abscisse 0
est la droite d’équation l = 4.
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre propositions est exacte.
Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la proposition choisie.
Une réponse juste apporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou
l’absence de réponse ne rapportent ni n’enlèvent aucun point.
1. a. d est convexe sur l’intervalle [−1 ; 0].
b. d est concave sur l’intervalle ]1 ; 2[.
c. d est convexe sur l’intervalle ]1 ; 3[.
d. hi est au-dessus de sa tangente au point d’abscisse −1.
2. a. d(1) = 5
b. d′(1) = 2
c. d′′(1) = −3
d. La tangente à hi au point d’abscisse 1 a pour équation l = −3o + 5.
3. a. d′(o) > 0 pour tout o de l’intervalle ]−1 ; 2[.
b. d′ est croissante sur l’intervalle ]1 ; 2[.
c. d(o) = 0 si et seulement si o = 0 ou o = 2
d. d′(o) ≤ 0 pour tout o de l’intervalle ]−2 ; −1[.
K
4. a. rbu d(o)so < 0
v
b. 3 < rK d(o)so < 6
K
v
c. rbu d(o)so = rK d(o) so
d. La valeur moyenne de d sur l’intervalle [ 0 ; 2 ] est égale à 1.
5. a. d′ est croissante sur l’intervalle ] −1 ; 2 [.
b. A est croissante sur l’intervalle ] − 1 ; 2 [car F'=f et d est positive sur ] − 1 ; 2 [
c. d est croissante sur l’intervalle ]−1 ; 2[.
d. F(1) > F(2)
Ex 3. ( 5 POINTS ) commun à tous les candidats
Partie A On considère la fonction d définie sur [0 ; 4] par d(o) = 10 + (o − 3)x y
1. a. Démontrer que d′(o) = (o − 2)x y et étudier le signe de d′(o) sur l’intervalle [0 ; 4].
d z (o) = 0 + 1x y + x y (o − 3) = 1x y + ox y − 3x y = (o − 2)x y
Comme x y > 0 pour tout réel o, le signe de d′(o) ne dépend que du signe de o − 2.
Pour o > 2, on a o − 2 > 0 donc d z (o) > 0 soit d croissante sur [ 2 ; +∞ [.
Pour o < 2, on a o − 2 < 0 donc d z (o) < 0 soit d décroissante sur ] − ∞ ; 2 [.
b. Dresser le tableau de variations de d sur l’intervalle [0 ; 4].
o
d′(o)
0
−
2
0
7
d
10 − x v ≈ 2,6
c. En déduire le signe de d(o) sur l’intervalle [0 ; 4].
4
+
10 + x O
D'après le tableau de variation, le minimum de d est atteint pour o = 2 et vaut
10 − x v ≈ 2,6 > 0 donc pour tout réel o de [ 0 ; 4 ], on a d(o) > 0
2. a. Démontrer que la fonction | définie par |(o) = (o − 4)x y est une primitive sur [0 ; 4] de la fonction } définie
par }(o) = (o − 3)x y .
| primitive de g ⟺ | z = }
| z (o) = 1x y + (o − 4)x y = 1x y + ox y − 4x y = ox y − 3x y = (o − 3)x y = }(o)
b. En déduire une primitive F de la fonction d sur l’intervalle [0 ; 4].
A(o) = 10o + (o − 4)x y
c. Étudier le sens de variation de F sur l’intervalle [0 ; 4]
A z (o) = d(o) or d'après 1c) on a pour tout réel o de [ 0 ; 4 ], on a d(o) > 0
donc la fonction F est strictement croissante sur [ 0 ; 4 ].
Partie B
Une entreprise fabrique o tonnes d’un certain produit, avec o ∈ [0 ; 4].
Le coût marginal de fabrication pour une production de o tonnes est donné par d(o) exprimé en milliers d’euros,
d’euros
où d est la fonction définie dans la partie A.
1. Les coûts fixes de l’entreprise s’élèvent à 20 000 euros.
On assimile le coût total h à une primitive du coût marginal.
En utilisant les résultats de la question A 2., déterminer le coût total de fabrication h(o), exprimé en milliers
d’euros.
h(o) = Yƒ„…„†„‡x sx d(o) telle que h(0) = 20
h(o) = 10o + (o − 4)x y + ˆ ; h(0) = −4 + ˆ = 20 ‰Š„† ˆ = 24
h(o) = 10o + (o − 4)x y + 24
2. L’entreprise désire adapter sa production pour atteindre un coût marginal de 11 292 €.
a. En utilisant la partie A, démontrer qu’il est possible d’atteindre un coût marginal de 11 292 €.
On cherche à prouver qu'il existe un unique réel oK tel que d(oK ) = 11,292
Sur [0 ; 2 ], d est décroissante et d(0) = 7 donc pour tout o ∈ [0 ; 2 ] on a d(o) ≤ 7 donc
l'équation d(o) = 11,292 n'a pas de solution dans l'intervalle [ 0 ; 2 ].
d continue sur [ 2 ; 4 ] ;
d strictement croissante ;
d(2) ≈ 2,6 et d(4) ≈ 64,6 donc 11,292 est compris entre d(2) et d(4)
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel oK ∈ [ 2 ; 4 ]
tel que d(oK ) = 11,292
b. Déterminer la production correspondante, à 10 kg près.
Avec la calculatrice, on obtient oK ≈ 3,061
La production est alors de 3 060 kg ( arrondi à 10 kg près )
c. Quel est alors le coût moyen de fabrication ?
On rappelle que le quotient
•(y• )
y•
=
•(y)
y
uKy• ‘(y• bO)’ “• ‘vO
y•
est appelé coût moyen de fabrication pour une production de o tonnes de produit.
≈ 11,292
Le coût moyen de production est donc de 11 292 €.
Le coût moyen est minimal quand il est égal au coût marginal.
Ex 4.
( 5 POINTS )
commun à tous les candidats
Le premier janvier 2014, Monica ouvre un livret d’épargne sur lequel elle dépose 6 000 euros.
Elle décide de verser 900 euros sur ce livret chaque premier janvier à partir de 2015 jusqu’à atteindre le plafond autorisé de
19 125 euros. On suppose dans tout cet exercice que le taux de rémunération du livret reste fixé à 2,25% par an et que les
intérêts sont versés sur le livret le premier janvier de chaque année.
Première partie
1. Calculer le montant des intérêts pour l’année 2014 et montrer que Monica
disposera d’un montant de 7 035 euros sur son livret le premier janvier 2015.
v,vN
Intérêts= 6000 × uKK = 135 €
•u = 6000 + 135 + 900 = 7035 €
2. On note •– le montant en euros disponible sur le livret le premier janvier de l’année 2014 + X.
On a donc •K = 6000 et •u = 7035.
Montrer que pour tout entier naturel X : •–‘u = 1,0225•– +900.
On passe de •– à •–‘u en augmentant •– de 2,25 %, c'est-à-dire en le multipliant par le
v,vN
coefficient 1 +
= 1,0225 et en ajoutant 900 € donc •–‘u = 1,0225•– + 900
uKK
Deuxième partie
Monica souhaite savoir en quelle année le montant de son livret atteindra le plafond
de 19 125 euros.
1. Première méthode :
On considère la suite (|– ) définie pour tout entier naturel X, par |– = •– + 40 000.
a. Montrer que la suite (|– ) est une suite géométrique de raison 1,0225. On précisera le premier terme.
|–‘u = •–‘u + 40000 = 1,0225•– + 900 + 40000 = 1,0225 + 40900
OK—KK
= 1,0225(•– +
) = 1,0225(•– + 40 000 ) = 1,0225|– donc (|– ) est une suite
u,KvvN
géométrique de raison ˜ = 1,0225 et de premier terme |K = •K + 40000 = 46000
b. Donner l’expression de |– en fonction de X.
|– = |K × ˜ – = 46 000 × 1,0225–
En déduire que, pour tout entier naturel X, •– = 46000 × 1,0225– − 40 000.
D'après la relation |– = •– + 40 000, on peut écrire •– = |– − 40000 soit
X
•– = 46000 × 1,0225 − 40 000
c. Déduire de l’expression de •– obtenue en b. l’année à partir de laquelle le plafond de 19 125 euros sera atteint.
•– = 46000 × 1,0225– − 40 000 = 19125
En utilisant le tableur de la calculatrice, on obtient : •uu ≈ 18 756
et •uv ≈ 20 078
On en déduit qu'à partir de la 12ième année le plafond sera atteint, c'est à dire à partir de
2026.
2. Deuxième méthode :
L’algorithme ci-dessous permet de déterminer l’année à partir de laquelle le plafond sera atteint.
Ligne
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Variables :
MONTANT est un réel
ANNÉE est un entier
Initialisation :
Affecter à MONTANT la valeur 5000
Affecter à ANNÉE la valeur 2014
Traitement
Tant que MONTANT<19125
Affecter à MONTANT la valeur 1,0225×MONTANT+1000
Affecter à ANNÉE la valeur ANNÉE+1
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Sortie :
Afficher « Le plafond du livret sera atteint en … »
Afficher ANNÉE
a. Il suffit de modifier deux lignes de cet algorithme pour qu’il détermine l’année à partir de laquelle le plafond est atteint pour un montant
versé initialement de 5 000 euros et des versements annuels de 1 000 euros.
ligne 4 : Affecter à MONTANT la valeur 5000
ligne 8 : Affecter à MONTANT la valeur 1,0225×MONTANT+1000
b. Proposez une modification de la boucle conditionnelle pour que l’algorithme affiche également à l’écran le montant disponible au premier
janvier de chaque année. ligne 10 : Afficher Montant