f (x)=√x √b−√a= (√b−√a)(√b+ √a) √b+ √a (√b) √b+ √a

Chapitre 03: Étude de fonctions
 Fonctions racine carrée
 Fonction valeur absolue
 Croissances comparées
 Sens de variations
ETUDE DE FONCTIONS
1 Fonction racine carrée
Exercices 11 à 19 p50
➢ La fonction racine carrée est la fonction f définie sur l'intervalle [ 0 ;+ ∞ [ par f ( x ) =√ x
La fonction racine carré est strictement croissante sur [ 0 ;+ ∞ [
Démonstration :
+∞
x
0
Soit a et b deux réels positifs tels que a< b
2
2
( √b−√ a )( √ b+ √ a ) ( √ b ) −( √ a )
b−a
b−
a=
=
=
√ √
f ( x)
√ b+ √ a
√b+ √ a
√ b+ √ a
0
Comme a< b on a b−a> 0
De plus √ a⩾0 et √ b> 0 donc √ b+ √ a> 0
b−a
Donc
> 0 , donc √ b− √ a> 0⇔ √ b> √ a
√ b−√ a
Donc Si 0⩽a< b alors √ a< √ b
Donc la fonction racine carrée est croissante sur [ 0 ;+ ∞ [
2 Fonction valeur absolue
Exercices 20 à 24 p50
➢ La fonction valeur absolue est la fonction f définie sur ℝ par f ( x ) = x si x⩾0
−x si x< 0
La valeur absolue d'un nombre réel se note : ∣x∣
x
0
−∞
La fonction valeur absolue f ( x ) =∣x∣ est :
• strictement décroissante sur l'intervalle ]−∞; 0 ]
f ( x)
• strictement croissante sur l'intervalle [ 0 ;+ ∞ [
0
{
+∞
3 Croissances comparées
➢ Soit un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j ) , C f , C g et C h les courbes représentatives associées
aux fonctions f ( x ) =x 2 , g ( x ) =x et h ( x )= √ x sur l'intervalle [ 0 ;+ ∞ [
Propriétés
Les points de coordonnées ( 0 ; 0 ) et ( 1 ;1 ) sont
•
communs aux trois courbes.
Sur l'intervalle ] 0 ;1 [ , la courbe C f est en
•
dessous de la courbe C g , elle même en dessous de la
courbe C h .
Sur l'intervalle ] 1;+ ∞ [ , la courbe C f est en
•
dessus de la courbe C g , elle même en dessus de la
courbe C h .
Démonstration :
Déterminer la position de C f et C g sur
•
[ 0 ;+ ∞ [ , revient à étudier le signe de
f ( x ) −g ( x ) =x 2− x=x ( x−1 )
Déterminer la position de C g et C h sur
•
[ 0 ;+ ∞ [ , revient à étudier le signe de
g ( x ) −h ( x ) =x−√ x= √ x ( √ x−1 )
4 Sens de variations
x
x
x−1
x 2− x
0
0
1
+
0
−
−
x
√x
√ x−1
x− √ x
0
0
+
0
−
−
+
0 +
0 +
1
+
0 +
0 +
+∞
+∞
Exercices 25 à 35 p51
➢ Soit I un intervalle de ℝ sur lequel une fonction u est définie, monotone et dont la courbe
est connue. Soit k et λ deux nombres réels.
•
Sur I , les fonctions x → u ( x ) et x → u ( x ) + k ont les mêmes variations.
•
Si λ> 0 (respectivement λ< 0 ), les fonctions x → u ( x ) et x → λ u ( x ) ont les mêmes
variations (respectivement des variations contraires).
•
Soit J un intervalle de I sur lequel la fonction u est positive ou nulle.
Sur J , les fonctions x → u ( x ) et x → √ u ( x ) ont les mêmes variations.
•
Soit K un intervalle de I sur lequel la fonction u ne s'annule pas.
Sur K , les fonctions x → u ( x ) et x →
1
ont des variations contraires.
u(x)