Soit E l`espace vectoriel réel des polynômes à coefficients réels de

Université Pierre et Marie Curie
Licence Sciences et Technologies
MIME
Examen de l’UE LM125 « Espaces vectoriels »
Septembre
Corrigé
Exercice 1
Pour t réel fixé, soit ut l’endomorphisme de R 3 défini par
ut (i) = − j − (sin t )k , ut ( j) = i + (cos t )k , ut (k ) = −(sin t )i + (cos t ) j
où ( i , j , k ) est la base canonique de R 3 .
a) Écrire la matrice At de ut relative à la base canonique de R 3 .
− sin t ⎞
1
⎛ 0
⎜
⎟
0
cos t ⎟
At = ⎜ −1
⎜ − sin t cos t
0 ⎟⎠
⎝
Commentaire : attention à ne pas écrire (on l’a vu souvent dans les copies) au lieu de l amatrice sa
transposée.
b) Déterminer une base de ker ut .
Pour trouver le noyau on a à résoudre le système
y
⎧
⎪
⎨ −x
⎪− x sin t + y cos t
⎩
− z sin t
+ z cos t
= 0
= 0
= 0
qui admet pour solution x = z cos t , y = sin t .
⎛ cos t ⎞
⎜
⎟
Le noyau est donc de dimension 1, une base étant par exemple {⎜ sin t ⎟} .
⎜ 1 ⎟
⎝
⎠
c) Déterminer la dimension de l’image Im ut de ut. Donner une base de Im ut .
Par le théorème du rang la dimension de l’image est donc 3 – 1 = 2.
Pour trouver une base de l’image, il suffit de prendre deux vecteurs non colinéaires dans l’image,
par exemple les deux premiers vecteurs colonnes :
⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ −1 ⎟ et ⎜ 0 ⎟ (la non colinéarité est évidente sur les deux premières lignes).
⎜ − sin t ⎟ ⎜ cost ⎟
⎠
⎝
⎠ ⎝
Commentaire : un énoncé qui demande la dimension de l’image juste après avoir calculé la
dimension du noyau doit faire penser au théorème du rang (un calcul direct est possible mais bien
plus long).
d) Est-ce que ut est diagonalisable ?
Calculons le polynôme caractéristique, par exemple en développant par rapport à la première ligne :
−x
− sin t
1
−x
Put ( x ) = −1
cos t = − x ( x 2 − cos2 t ) − ( x + sin t cos t ) − sin t (− cos t − x sin t ) = − x 3 .
− sin t cos t
−x
1
L’endomorphisme ut a donc 0 pour valeur propre, triple. S’il était diagonalisable, sa matrice serait
semblable à la matrice nulle, donc serait nulle, ce n’est pas le cas : ut n’est pas diagonalisable.
Exercice 2
Soit E = R 4 muni de sa base canonique ( e1 , e2 , e3 , e4 ) . On pose
v0 = 6e1 + 2e2 − 3e3 , v1 = −5e1 − 2e2 + 3e3 , v2 = −12e1 − 3e2 + 6e3
v3 = −18e1 − 6e2 + 10e3 , v4 = e4
On considère l’application linéaire u E → E définie par
u(e1 ) = v1 , u(e2 ) = v2 , u(e3 ) = v3 , u(e4 ) = v4 .
a) Écrire la matrice A de u dans la base canonique.
⎛ −5 −12 −18 0 ⎞
⎜
⎟
−2 −3 −6 0 ⎟
A=⎜
⎜ 3
6
10 0 ⎟
⎜
⎟
0
0 1⎠
⎝0
Commentaire : là aussi, attention à ne pas écrire la transposée et bien commencer à v1 et non à v0.
b) Montrer que v2 , v3 , v4 sont linéairement indépendants et que u(v0 ) = 0 E .
En déduire dim Im u et dim ker u , puis que ( v2 , v3 , v4 ) est une base de Im u.
−3 −6 0
Le déterminant (correspondant aux trois dernières lignes) 6 10 0 est non nul (il vaut
0 0 1
6 = −30 + 36 ) donc v2 , v3 , v4 sont linéairement indépendants. On a
u(v0 ) = 6u(e1 ) + 2u(e2 ) − 3u(e3 ) = 6v1 + 2v2 − 3v3 = 0 .
On en déduit que dim Im u ≥ 3 et dim ker u ≥ 1 , comme par le théorème du rang on a
dim ker u + dim Im u = 4 , on en déduit que dim Im u = 3 et dim ker u = 1 .
( v2 , v3 , v4 ) est libre dans un sous espace de dimension 3 : c’est une base de Im u.
c) Calculer u(v2 ), u(v3 ), u(v4 ) . En déduire u ( x ) pour x dans Im u.
Un calcul immédiat donne u(v2 ) = v2 , u(v3 ) = v3 , u(v4 ) = v4 . Puisque que ( v2 , v3 , v4 ) est une base de
Im u, on en déduit que ∀x ∈ Im u , u( x ) = x .
Remarque. Le calcul est plus facile sous forme matricielle :
⎛ −5 −12 −18 0 ⎞ ⎛ −12 ⎞ ⎛ −12 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ −2 −3 −6 0 ⎟ ⎜ −3 ⎟ = ⎜ −3 ⎟
⎜ 3
6
10 0 ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎜ 6 ⎟
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
0
0 1⎠⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎝0
d) Montrer que ker u ∩ Im u = {0 E } , en déduire que B = ( v0 , v2 , v3 , v4 ) est une base de E.
Si x ∈ ker u ∩ Im u , on a puisque x est dans l’image u( x ) = x et puisque x est dans le noyau
u( x ) = 0 , on en déduit que x = 0 et ker u ∩ Im u = {0 E } , donc la somme ker u + Im u est directe, de
dimension la somme des dimensions : 1 + 3 = 4, c’est donc E. On obtient alors une base de E en
prenant une base du noyau et une base de l’image , on obtient B.
2
e) Écrire la matrice de u dans la base B.
Il résulte immédiatement des questions précédentes que la matrice de u dans la base B est
⎛0 0 0 0⎞
⎜
⎟
⎜0 1 0 0⎟ .
⎜0 0 1 0⎟
⎜
⎟
⎝0 0 0 1⎠
f) Quelles sont les valeurs propres de u ? Que vaut u D u ?
Les valeurs propres de u sont donc 0 (simple) et 1 (triple). On a (en utilisant la matrice précédente)
uDu = u.
Exercice 3
Soit P un polynôme de degré inférieur ou égal à 6 tel que le polynôme P( X ) − 12 soit divisible par
( X − 1)3 et que le polynôme P( X ) + 20 soit divisible par ( X + 1)4 .
a) Quelles sont les racines du polynôme dérivé P ' ? Quels sont leurs ordres de multiplicité ?
Si le polynôme P( X ) − 12 est divisible par ( X − 1)3 , il existe un polynôme Q tel que
P( X ) − 12 = Q( X )( X − 1)3 , en dérivant on obtient P '( X ) = Q '( X )( X − 1)3 + Q( X )3( X − 1)2 et ( X − 1)2
divise P '( X ) donc 1 est racine (d’ordre 2 au moins) de P’ . De même -1 est racine (d’ordre 3 au
moins) de P’. D’après le lemme de Gauss, ( X − 1)2 ( X + 1)3 divise P '( X ) , qui est de degré au plus 5
donc il existe un réel a tel que P( X ) = a( X − 1)2 ( X + 1)3 Ce qui montre que les multiplicités sont
respectivement 2 et 3 (exactement).
b) Déterminer le polynôme P .
On a alors en développant : P ' = a( X 5 + X 4 − 2 X 3 − 2 X 2 + X + 1) . En intégrant, on trouve qu’il existe
un réel b tel que
P( X ) = a( X 6 / 6 + X 5 / 5 − X 4 / 2 − 2 X 3 / 3 + X 2 / 2 + X ) + b .
Il reste à écrire P(1) − 12 = 0 qui donne 7a /10 + b = 12 et P(−1) + 20 = 0 qui donne
−11a / 30 + b = −20 . La résolution du système en a et b est immédiate, par soustraction
16a /15 = 32 soit a =30 puis b = -9. Finalement on a
P( X ) = 30( X 6 / 6 + X 5 / 5 − X 4 / 2 − 2 X 3 / 3 + X 2 / 2 + X ) − 9 ou si on préfère
P( X ) = 5 X 6 + 6 X 5 − 154 − 20 X 3 + 15 X 2 + 30 X − 9 .
3