corrigé

Université Pierre et Marie Curie
Probabilités et statistiques - LM345
2013-2014
Mercredi 6 novembre 2013
Contrôle continu.
Documents, calculatrices et téléphones portables interdits.
Exercice 1 Soient X1 , X2 , · · · , X2013 des variables aléatoires réelles discrètes. On suppose que pour tout 1 ≤ i ≤ 2013,
P(Xi = i2 ) =
1
,
i+2
P(Xi = −i2 ) =
1
,
i+2
P(Xi = 0) =
i
.
i+2
On pose Y := X1 + · · · + X2013 . Déterminer E(Y ).
Exercice 2 Vecteur aléatoires discrets... Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes telles que X suit la loi de Poisson de paramètre λ et Y suit la loi de Poisson
de paramètre µ. On rappelle que
λn −λ
∀n ∈ N, P(X = n) =
e .
n!
a) Donner la loi du couple Z = (X, Y ).
b) Donner la loi de X + Y .
... et continus Soit Z = (X, Y ) un vecteur aléatoire admettant pour densité par rapport
à la mesure de Lebesgue sur R2
1
2x2 − 2xy + y 2
exp −
.
f (x, y) =
2π
2
a) On rappelle que la loi normale N (µ, σ 2 ) admet pour densité par rapport à la mesure
de Lebesgue sur R
1
(x − µ)2
fµ,σ2 (x) = √
exp −
.
2σ 2
2πσ 2
R∞
2
Quelle est la valeur de l’intégrale −∞ e−(x−a) dx pour a ∈ R quelconque ?
b) Donner la loi de X.
c) Donner la loi de Y .
d) X et Y sont-elles indépendantes ?
1
Exercice 3 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles de densité
fX,Y (x, y) = 1D (x, y)/π
où D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1} est le disque unité.
a) Donner la loi de X. Les variables X et Y sont elles indépendantes ?
b) Donner la loi de R = (X 2 + Y 2 )1/2 (on pourra calculer P(R ≤ r) en utilisant que
(X, Y ) est de loi uniforme, c’est-à-dire que P((X, Y ) ∈ A) est proportionnel à l’aire
de A).
Solution de l’exercice 1 Les variables aléatoires X1 , X2 , · · · , X2013 étant bornées,
elles admettent toutes un moment d’ordre 1. Pour tout 1 ≤ i ≤ 2013, on a
E(Xi ) = i2 × P(Xi = i) + (−i2 ) × P(Xi = −i) + 0 × P(Xi = 0) =
Par la linéarité de l’espérance, on obtient E(Y ) =
P2013
i=1
i2
i2
−
= 0.
i+2 i+2
E(Xi ) = 0.
Solution de l’exercice 2 Première partie
a) La loi du couple Z = (X, Y ) est donnée par pour tout (n, m) ∈ N2
P((X = n) ∩ (Y = m)) = P(X = n)P(Y = m) car X et Y sont indépendantes
λn µm
P((X = n) ∩ (Y = m)) = e−(λ+µ)
n! m!
b) On retrouve le résultat très rapidement en passant par les fonctions caractéristiques,
mais on peut aussi faire le calcul de la loi directement. La variable aléatoire X + Y
est à valeurs dans N, donc sa loi est donnée par les P(X + Y = n) pour tout n ∈ N.
!
n
[
P(X + Y = n)
=
P
(X = k) ∩ (Y = n − k)
k=0
=
=
n
X
k=0
n
X
k=0
P((X = k) ∩ (Y = n − k)) =
indep.
n
X
P(X = k)P(Y = n − k)
k=0
n
λk −λ µn−k −µ e−(λ+µ) X
n!
e
e =
λk µn−k
k!
(n − k)!
n! k=0 k!(n − k)!
| {z }
k
Cn
=
binôme
e−(λ+µ) (λ + µ)n
n!
donc X + Y suit la loi de Poisson de paramètre λ + µ.
Deuxième partie.
2
R
a) En utilisant que la densité de la loi N (a, 12 ) vérifie R fa, 1 (x)dx = 1 on a
2
Z ∞
Z ∞
√
1
2
2
q
e−(x−a) dx = 1 ⇒
e−(x−a) dx = π.
−∞
2π 12 −∞
b) Comme le couple Z possède une densité, la marginale possède une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur R qui est donnée par
Z ∞
Z ∞
1
1
2
2
exp − (2x − 2xy + y ) dy
f (x, y)dy =
fX (x) =
2π −∞
2
−∞
Z ∞
Z
1 −x2
1 2
1 −x2 ∞
1
2
2
=
e
exp − (y − 2xy) dy =
e
exp − [(y − x) − x ] dy
2π
2
2π
2
−∞
−∞
Z
∞
2
(y−x)
1 − x2
=
e− 2 dy
e 2
2π
−∞
√
R∞
(y−x)2
Or on a −∞ e− 2 dy = 2π (par le même argument que la question précédente,
en utilisant le fait que la densité de N (x, 1) est d’intégrale 1). Ainsi
x2
1
fX (x) = √ e− 2 ,
2π
et X suit la lui normale N (0, 1).
c) De même, Y possède une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur R donnée
par
Z ∞
Z ∞
1
1
2
2
f (x, y)dx =
fY (y) =
exp − (2x − 2xy + y ) dx
2π −∞
2
−∞
Z
∞
1 − y2
e 2
exp −(x2 − xy) dx
=
2π
−∞
Z ∞
2
y
y 2 y 2
1 −
=
e 2
exp − x −
−
dx
2π
2
4
−∞
Z
y2
1 − y2 ∞ −(x− y2 )2
1
4
e
dx = √ e− 4
e
=
2π
4π
| −∞
{z
}
√
π question a
donc Y suit la loi normale N (0, 2).
d) Si X et Y étaient indépendantes, on aurait
∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = fX (x)fY (y).
Or
1
2x2 + y 2
fX (x)fY (y) = √ exp −
6= f (x, y).
4
2 2π
Donc X et Y ne sont pas indépendantes.
3
Solution de l’exercice 3
a) On voit aisément que
Z
Z
1
1
1 √
fX (x) = 1D (x, y) dy = 1|x|≤1 1|y|≤√x2 −1 dy = 2 1 − x2 1|x|≤1 .
π
π
π
√
√
Les variables√X et Y ne sont
pas
indépendantes
puisque
P(X
>
3/2∩Y
>
3/2) =
√
0 6= P(X > 3/2)P(Y > 3/2).
b) On a P(R ≤ r) = πr2 /π = r2 . La variable R a donc pour densité fR (r) = 2r1[0,1] (r).
4