1 Intégration pour les va discrètes et continues

ISFA
Semestre automne 2016-2017
Probabilités avancées - Master Économétrie et Statistique
Hugo Vanneuville, Institut Camille Jordan, Lyon 1, bureau 219
http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/vanneuville/
Première séance
Indépendance, intégration et fonction caractéristique
Si vous avez des questions, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à l’adresse [email protected].
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Intégration pour les v.a. discrètes et continues
Rappels d’intégration dans les deux cas les plus classiques
1. Cas d’une variable discrète. Soit X une v.a. réelle discrète. On rappelle que cela signifie que
X est une v.a. à valeur dans un sous-ensemble fini (ou dénombrable) E ⊆ R. Soit φ : E → R une
fonction mesurable. Alors :
E [φ(X)] =
X
φ(x) P [X = x] .
x∈E
2. Cas d’une variable à densité par rapport à la mesure de Lebesgue. Soit X une v.a. réelle
de densité f par rapport à la mesure de Lebesgue. On rappelle que cela signifie que f est une
R
fonction mesurable : R → R+ vérifiant R f (x) dx = 1 et que pour tout Borélien A ⊆ R on a
R
P [X ∈ A] = A f (x) dx.
Soit φ : R → R une fonction mesurable. Alors :
Z
E [φ(X)] =
φ(x) f (x) dx .
R
(Dès que cette intégrale a du sens.)
On veut illustrer le fait qu’il est parfois utile de passer par ces expressions mais qu’il faut toujours, en
premier lieu, essayer de ne manipuler que l’écriture E [ · ] qui est particulièrement agréable.
Exercice 1.
1. Calculer E 2X 2 − X dans le cas où X est une v.a. de loi binomiale de paramètres n ∈ N et
p ∈ [0, 1] (on pourra par exemple utiliser que si X1 , ..., Xn sont des v.a. de Bernoulli de paramètre
P
p indépendantes, alors ni=1 Xi suit la loi binomiale de paramètres n et p).
2. Soit X une v.a. de loi exponentielle de paramètre λ > 0. Calculer P [X ∈ [1, 2]].
Autre rappel : Cas de 2 variables indépendantes à densité par rapport à Lesbesgue Soient
X et Y des v.a. réelles indépendantes, avec X de densité f par rapport à la mesure de Lebesgue et Y
de densité g par rapport à Lebesgue. Soit φ : R2 → R une fonction mesurable. Alors :
Z
E [φ(X, Y )] =
φ(x, y) f (x) g(y) dx dy ,
R2
(Dès que cette intégrale a du sens.)
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Exercice 2. Supposons qu’on se trouve à une station vélov vide et qu’on décide d’attendre qu’une
personne pose son vélov pour pouvoir l’utiliser. Le temps d’attente (en minutes) suit une loi exponentielle
de paramètre λ pour un certain λ > 0.
1. Quel est le temps moyen d’attente ? Quelle est la variance de ce temps d’attente ?
2. Soient maintenant deux personnes arrivant à une station de vélov vide et qui veulent repartir
ensemble. Elles doivent donc attendre que deux vélov’s soient déposés dans la station. On suppose
que le nouveau temps d’attente est une somme de deux variables exponentielles indépendantes de
paramètre λ. Calculez l’espérance et la variance de ce temps d’attente.
Attention Il est important de garder en tête les définitions et propriétés ci-dessus, principalement,
pour les calculs de base (comme dans la question 2 de l’exercice 5 ci-dessous). Cependant, il ne faut
pas toujours passer tout de suite à la forme intégrale car l’écriture E [ · ] est souvent assez
agréable (comme dans l’exercice 4 ci-dessous).
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Espérance, indépendance et fonction caractéristique
Exercice 3. Rappeler la définition de l’indépendance de deux événements puis de deux v.a. réelles (pas
nécessairement discrètes).
Dans la suite, on note ϕX la fonction caractéristique d’une variable aléatoire X.
Exercice 4. (Cf l’exercice 3 de la feuille de TD 3.) Montrer que si X, X1 , ..., Xn sont des v.a. i.i.d réelles
de même loi, alors
ϕSn (u) = (ϕX (u))n ,
où Sn =
∀u ∈ R
Pn
i=1 Xi .
Exercice 5. (Cf l’exercice 2 de la feuille de TD 3.) Soit X = (X1 , ..., Xn ) une variable aléatoire à valeurs
dans Rn .
1. Montrer que si (Xi ) sont indépendantes alors
ϕX (u1 , ..., un ) = Πni=1 ϕXi (ui ).
2. On suppose que les Xi sont des v.a. i.i.d. de loi exponentielle de paramètre 1 et on pose Yn =
Pn
i=1 Xi . Calculer ϕYn (u).
P
3. On suppose que les Xi sont des v.a. i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1] et on pose Yn = ni=1 Xi .
(a) Calculer ϕYn (u).
(b) Que vaut lim ϕYn /n (u) pour tout u ∈ R ? Que remarquez-vous ?
n→+∞
(c) On pose :
Yn − n 12
.
Zn = q
1
n 12
Que sont
1
2
et
1
12
pour les variables uniformes ?
Calculer ϕZn (u) puis lim ϕZn (u) pour tout u ∈ R. Que remarquez-vous ?
n→+∞
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Indépendance pour les v.a. discrètes
Exercice 6. (Calculs avec des v.a. indépendantes : une application aux tests statistiques multiples.)
Quand on fait un test statistique, on émet une hypothèse de référence (H0 ), on fait des observations,
et si ces observations sont contradictoires avec (H0 ) alors on rejette (H0 ). Dans les tests “classiques”, le
risque de rejeter (H0 ) à tort est de 5%.
On veut ici parler du danger des “tests multiples” et du risque d’erreurs qu’ils induisent. Avant de
commencer l’exercice, signalons que des techniques existent pour pouvoir tout de même faire des tests
multiples.
Un article de 1995 du Los Angeles Times disait “manger des tomates ou des fraises protège contre le
cancer de la prostate”. Le journaliste expliquait que l’étude suivante avait été faite : les scientifiques ont
considéré 40 fruits qu’on réprésente par l’ensemble {1, ..., 40}. Pour chaque i ∈ {1, ..., 40}, ils ont testé
l’hypothèse (H0 )i qui est “le fruit i ne protège pas contre le cancer de la prostate”. L’hypothèse a été
rejetée pour les tomates et les fraises et les scientifiques ont en déduit que ces deux fruits protégeaient
contre le cancer.
Question : Supposons que les tests sont indépendants et qu’aucun des 40 fruits ne protège contre le
cancer de la prostate. Quel est le risque que les scientifiques rejettent au-moins une hypothèse (H0 )i (et
donc fassent au moins une erreur) ?
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