Simulation de processus gaussiens

Simulation de processus gaussiens
MMFI
Le mouvement brownien est à la base de tous les modèles d’évolution de prix
d’actifs. Par définition, (Bt , t ≥ 0) est un mouvement brownien ssi
– Les v.a. Bt sont de moyenne nulles,
– B est un processus gaussien (c’est-à-dire que toute combinaison linéaire des
Xt est une gaussienne réelle) de noyau de covariance E[Bt Bs ] = min(t, s).
En particulier, on démontre que
– Bt suit une loi gaussienne centrée de variance t,
– Le processus (Bt+s − Bt , s ≥ 0) est un mouvement brownien indépendant
de σ(Bu , u ≤ t),
– par conséquent, pour t1 < t2 < . . . < tn , (Bt1 , Bt2 −Bt1 , . . . , Btn −Btn−1 )
est une famille de v.a. indépendantes et le vecteur
(Bt1 , Bt2 , . . . , Btn )
est un vecteur gaussien centré de matrice de covariance Γi,j = min(ti , tj ).
On rappelle que pour simuler un couple de v.a. gaussiennes centrées réduites
(moyenne 0 et variance 1) indépendantes, on utilise la formule
p
p
X1 = −2 ln(U1 ) cos(2πU2 ) et X2 = −2 ln(U1 ) sin(2πU2 ),
où U1 et U2 sont deux v.a. indépendantes de loi uniforme sur [0, 1].
1. Avec chacune des quatre méthodes de simulation, simuler des trajectoires à
128, 512, 1024, 4096 points. Calculer pour chacune d’entre elles
X
X
X
|∆Bi |,
|∆Bi |2 ,
|∆Bi |3 .
Quelles limites conjecturez-vous pour ces trois quantités ?
2. Simuler une trajectoire sur l’intervalle [1/2, 3/4] sans la simuler sur un intervalle plus long.
3. Si l’on a déjà simulé une trajectoire sur [0, t], comment fait-on sans tout
recommencer pour en simuler une sur [0, t + s] ?
4. Soit µ la loi de |B1 |. Quelles sont les équations à résoudre pour trouver 20
intervalles Ii = [ai , ai+1 ] tels que µ(Ii ) = µ(Ij ) pour tout couple i, j. Tous
calculs faits (avec Maple ou Mathematica) on a a20 = ∞, et
1
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ai
0
.06270677794
.1256613469
.1891184263
.2533471031
.3186393640
.3853204664
.4537621902
.5244005127
.5977601260
i
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
ai
.6744897502
.7554150264
.8416212336
.9345892911
1.036433390
1.150349380
1.281551566
1.439531471
1.644853627
1.959963985
5. Soit B1∗ = inf s≤1 Bs , évaluer avec le test du χ2 , l’hypothèse selon laquelle la
loi de B1 −B1∗ est égale à celle de |B1 |. Prendre 400 trajectoires de L = 2000
points et les 21 intervalles de la question précédente.
6. On considère maintenant le processus appelé mouvement brownien fractionnaire, c’est-à-dire un processus gaussien de noyau de covariance
E[BtH BsH ]
=
Z
min(t,s)
(t − r)H−1/2 (s − r)H−1/2 dr
0
où H est un paramètre qui varie dans ]0, 1[.
Simuler des trajectoires à 500 points de ce processus en utilisant la méthode
de Cholesky pour H = 0, 2; H = 0, 8 et H = 0, 5.
7. On admet que ce processus admet la représentation suivante :
Z t
H
Bt =
(t − s)H−1/2 dBs .
0
La signification précise du dBs sera vu ultérieurement. On admet aussi que
BtH peut ainsi s’approcher par
BtH
'
X
ti ≤t
1
ti+1 − ti
Z
ti+1
(t − r)H−1/2 dr ∆Bi .
ti
Représenter des trajectoires de B H par cette méthode.
2
1
Méthodes de simulation du mouvement brownien
Sauf dans la méthode de Karhunen-Loève, les trajectoires ne sont calculées
qu’en un nombre fini de points. Le reste des valeurs s’en déduit si besoin est par
interpolation linéaire.
1.1
Méthode des incréments
On utilise l’indépendance des incréments :
√
T
= Bti + √ Yi
L
B0 = 0, Bti+1
où ti = iT /L, i variant de 1 à L et Y1 , . . . , YL est une suite de v.a. indépendantes
de loi gaussienne centrée réduite. Cette méthode s’applique à n’importe quel processus à accroissements indépendants.
1.2
Méthode de Karhunen-Loève
Soit (Zn , n ≥ 1) une suite de v.a. indépendantes équidistribuées de loi normale
centrée réduite (moyenne nulle, variance 1). Soit
√
(2n + 1)πt 2 2T
φn (t) =
sin
,
(2n + 1)π
2T
on peut montrer que dans L2 (Ω × [0, T ]), on a
Bt =
∞
X
Zn φn (t).
n=0
Il existe donc une sous-suite de la suite des sommes partielles de la série de droite
qui converge p.s. vers B. On en déduit une méthode d’approximation par troncature
de la série.
RT
On peut en théorie appliquer cette méthode a tout processus tel que E[ 0 Xs2 ds]
soit fini. En pratique, il faut pouvoir caractériser la loi des Zn , en particulier ce n’est
applicable pratiquement que si ces variables sont indépendantes.
1.3
Méthode de Cholesky
La loi d’un processus est entièrement caractérisée par ses marginales de rang
fini. Les marginales d’un processus gaussien sont caractérisées par le vecteur moyen
m et la matrice de covariance, notée ici Γ. Soit σ la racine carrée autoadjointe de
Γ, c’est-à-dire la matrice telle que σσ ∗ = Γ. Soit X = (Xn , n = 1, . . . , N )
un vecteur de N gaussiennes centrées réduites indépendantes. Un calcul avec les
transformées de Fourier montre que le vecteur Y défini par
Y = σ.Y + m
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est un vecteur gaussien de moyenne m et de matrice de covariance Γ.
En conclusion, pour simuler un mouvement brownien en N points,
– on forme Γ donnée par Γi,j = min(ti , tj ),
– on calcule σ par la méthode de Cholesky,
– on forme le vecteur Y à partir de N tirages indépendants de v.a. gaussiennes
centrées réduites.
Cette méthode s’applique à n’importe quel processus gaussien.
1.4
Méthode du point médian
On prend pour N une puissance de 2. On part de B0 = 0 et BT = Z0 , où Z0
est une v.a. gaussienne centrée de variance T.
– Ensuite, on prend
BT /2 = (B0 + BT + Z1 )/2
où Z1 est une v.a. gaussienne centrée de variance T indépendante de Z0 .
– Pour tous les points de rang i, c’est-à-dire de la forme t = k2−i T avec k
impair dans {1, . . . , 2i }, on pose
Bk2−i T = (B(k−1)2−i T + B(k+1)2−i T + Zi,k )/2
où les Zi,k sont des v.a. gaussiennes centrées indépendantes de variance
T 2−(i−1) indépendantes des Zj,l pour j < i.
Avec quelques modifications, cette méthode s’applique à n’importe quel processus markovien.
4