repérage dans le plan

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repérage dans le plan
2nde ISI
Géométrie chapitre 3
2009-2010
REPÉRAGE DANS LE PLAN
Table des matières
I
Repère
1
II Calculs dans un repère du plan
II.1 Coordonnées ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2 coordonnées vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3 Colinéarité de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
⋆
I
⋆
⋆
⋆
2
2
3
4
⋆ ⋆
Repère
Définition 1
Un triangle OIJ rectangle isocèle en O forme un repère orthonormal du plan (O; I; J) dans lequel :
➤ O est appelé origine du repère,
➤ la droite (OI) est appelée axe des abscisses,
➤ la droite (OJ) appelée axe des ordonnée.
Théorème 1
On munit le plan d’un repère (O; I; J). Chaque point M du plan est repéré par un couple de nombres
‚Œ
x
M (x; y) ou encore M
appelé coordonnées du point. x est l’abscisse du point et y est l’ordonnée.
y
Exemple 1
Placer les points de coordonnées suivantes :
A
B
C
 33 ‹
F
E
b
−1
−2
‹
D
E
2‹
 03 ‹
−1
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b
A
2
−1
‹
3
0
−2
‹
3
1
D
b
−3
−2
b
C
−1
−1
1
b
F
2
3
b
B
−2
-1-
2nde ISI
II
Géométrie chapitre 3
2009-2010
Calculs dans un repère du plan
II.1
Coordonnées ponctuelles
Propriété 1
Dans le repère (O; I; J), on considère les points A(xA ; yA ), et B(xB ; yB ).
−
−→
♦ Coordonnées du vecteur AB :
‚
Œ
xB − xA
,
yB − yA
… xA + xB Ǒ
2
yA + yB ,
2
È
2
♦ Distance de A à B : d(A; B) = AB = (xB − xA ) + (yB − yA )2 .
♦ Coordonnées du milieu I d’un segment [AB] : l
−3‹  1 ‹ 4‹
0‹
Exemple 2
Dans le repère (O; I; J), on considère les points A
,B
,C
et D
.
−2
−1
4
3
Montrer de deux façons différentes que le quadrilatère ABCD est„un parallélogramme
xA + xC Ž
−3 + 4 !

‹

‹

‹
2
−
−
→ x − xA
=
=
➔ l yA +
1+3
4
2
yC
−2+4
=
=
➔ AB B
yB − yA
−1 + 2
1
2
2

−−→ x − xD
➔ DC C
yC − yD
−
−
→ −−→
➔ AB = DC,
‹ 4 − 0‹ 4‹
=
4−3
=
„ xB + xD Ž „
1!
2
1
1+0 Ž
1!
2
➔ l yB +
= −12+ 3 = 2
yD
1
2
2
➔ [AC] et [BD] ont le même milieu,
1
➔ ABCD est donc un parallélogramme.
➔ ABCD est donc un parallélogramme.
È
√
√
(xB − xA )2 + (yB − yA )2 = 42 + 12 = 17,
È
√
√
AD = (xD − xA )2 + (yD − yA )2 = 32 + 52 = 34,
È
È2
√
2
2
2
Quelle est la nature du triangle ABD ?
➔ AB =
➔
➔ DB =
(xB − xD ) + (yB − yD ) =
2
2
1 + (−4) =
17,
2
➔ AB = DB et AD = AB + BD donc :
➔ ABD est donc un triangle rectangle isocèle en B
4
D
3
b
C
b
2
1
−4 −3 −2 −1
−1
b
A
I
b
1
2
3
4
b
B
−2
−3
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-2-
2nde ISI
II.2
Géométrie chapitre 3
2009-2010
coordonnées vectorielles
Théorème 2
→
Dans le repère (O; I; J), les coordonnées d’un vecteur −
u sont les coordonnées de l’unique point M
‚Œ
−
−
→
x
→
→
tel que −
u = OM . On note −
u
.
y
Un repère peut ne pas être orthonormé,
mais quelconque comme dans l’illustration
ci-contre.
M
y
Remarque 1
→
→
Bien souvent, on note (O; −
ı ;−
 ) le repère
(O; I; J).
−
→
u
−
→

0 −
→
ı
x
Exemple 3
Lire les coordonnées des vecteurs de la figure suivante :
3
−
→
v
‹
−
→
u
2
1
−3 −2 −1
−1
1
2
−
→
w
3
3
−
→
u
2−2‹
−
→
v
 32 ‹
−
→
w
−1
−2
‚ 2Œ ‚ ′Œ
Propriété
x −
x
−
→
Soient u
,→
v
et k un réel
y
y′
♦ Egalité de deux vecteurs :
Deux vecteurs¨ sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égale
x = x′
−
→
→
u =−
v ⇐⇒
y = y′
♦ Somme de deux vecteurs :
‚
Œ
x + x′
−
→
−
→
−
→
−
→
Le vecteur w = u + v a pour coordonnées w
y + y′
♦ Produit d’un vecteur par un réel : ‚ Œ
kx
→
→
→
Le vecteur −
w = k−
u a pour coordonnées −
w
ky
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-3-
2nde ISI
Géométrie chapitre 3
 1 ‹ 5‹
 5x ‹
Exemple 4
→
→
→
Soient les vecteurs −
u
,−
v
et −
w
alors :
−3
3
x+y
→
→
➔ −
v =−
w ⇐⇒
§
§
⇐⇒
→
→
➔ −
u +−
v
II.3
5x
x + y
x = 1
y = 2
= 5
= 3
 1 + 5 ‹ 6‹
=
−3 + 3
0
→
➔ −−
u
→
➔ 5−
v
2009-2010
−1‹
3
5 × 5‹ 25‹
5×3
→
→
➔ −−
u + 5−
v
=
15
−1 + 25‹ 24‹
3 + 15
=
18
Colinéarité de deux vecteurs
‚Œ
‚ ′Œ
Propriété 3
x
x
−
→
−
→
→
→
Les vecteurs non nuls u
et v
sont colinéaires si et seulement si −
v = k−
u c’est-à dire
y
y′
xy ′ − yx′ = 0.
En effet : Ceci se traduit au niveau des coordonnées par x′ = kx et y ′ = ky, autrement dit, les
→
→
coordonnées de −
u et −
v sont proportionnelles, les produits en croix sont donc égaux : xy ′ = x′ y.
2‹
1‹
Exemple 5
−
→
−
→
→
→
➔ Les vecteurs u
et v
sont colinéaires car −
u = 2−
v.
4
2
 2 ‹ −6‹
5‹
Exemple 6
→
→
→
,−
v
et −
w
.
On considère les trois vecteurs du plan suivants : −
u
−3
9
−7
→
→
➔ Les vecteurs −
u et −
v sont colinéaires car 2 × 9 − (−3) × (−6) = 18 − 18 = 0,
→
→
➔ Les vecteurs −
u et −
w ne sont pas colinéaires car 2 × (−7) − (−3) × 5 = −14 + 15 = 1 6= 0.
1‹ 1‹ 7‹
5 ‹
Exemple 7
Soient quatre points A
,B
,C
et D
du plan.
1
3
4
5
Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?
 ‹ 6‹
−→ 7 − 1
➔ AC
4−1

=
3
D
5
,
‹ ‹
−−→ 5 − 1
4
➔ BD
=
,
5−3
2
➔ XY ′ − Y X ′ = 6 × 2 − 3 × 4 = 0.
−→ −−→
Les vecteurs AC et BD sont colinéaires,
les droites (AC) et (BD) sont donc parallèles.
−→ −−→
➔ De plus, AC 6= BD ;
➔ donc : ABDC est un trapèze
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4
C
B
3
2
1
A
0
0
1
2
3
4
5
6
7
-4-