FICHE METHODE sur la GEOMETRIE ANALYTIQUE I) A quoi sert la

FICHE METHODE sur la
GEOMETRIE ANALYTIQUE
I) A quoi sert la géométrie analytique ?
a) Exemples :
f
ACKE, CHBD
et HGLF sont
3 parallélogrammes.
d
AC = 8, AE = 2,2
CH = 5, CD = 6,6
HG = 1, HF = 11
b
11
6,6
k
e
Les points
A, D et F sont-ils
Alignés ?
l
2,2
a
→
c
8
h
5
1
g
→
• Non, car AD(8 ; 6,6) , AF(13;11) et on a : 8 ×11 – 6,6×13 =88 – 85,8 = 2,2 ≠ 0 !
ACKE et CHBD
sont
2 parallélogrammes.
d
b
AC = 8, AE = 2,2
CH = 5, CD = 6,6
Les segments
[ A D] et [ KB ]
sont-ils parallèles ?
6,6
k
e
2,2
a
→
c
8
h
5
→
• Non, car AD(8 ; 6,6) , KB (5 ;4,4 ) et on a : 8 ×4,4 – 6,6 ×5 = 35,2 – 33 = 2,2 ≠ 0 !
y
Combien de solutions
l’équation
1
2x 3 –1,5x² –1,6x + 0,5 = 0
x
0
admet-elle
dans l ’intervalle [-1 ;1,4] ?
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
-1
3 solutions !
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
b) Remarques :
De nombreux problèmes de la vie courante conduisent à des calculs numériques plus ou moins
compliqués ( partages, factures, …). Il est aussi de nombreuses situations où l’on cherche un
nombre inconnu qui doit respecter certaines contraintes ( combien placer à la banque au taux de
5% l’an pour avoir un capital de 1000 euros dans 10 ans ? , …), ce nombre inconnu est alors
solution d’une équation. Certaines équations ne peuvent pas être résolues algébriquement, mais
une idée géniale de René Descartes (1596-1650) fut de représenter dans un repère la courbe
correspondant à l’équation réduite ( pour les solutions de l’équation : 2x 3 –1,5x² –1,6x + 0,5 = 0,
on place les points de coordonnées (x ; 2x 3 –1,5x² –1,6x + 0,5) dans un repère pour différentes
valeurs de x, on obtient une courbe, et il est alors possible d’évaluer graphiquement le nombre de
solutions et des valeurs approchées des solutions s’il y en a. L’idée fondamentale de Descartes
est d’utiliser un repère ( qui n’existait pas à l’époque ), ce qui permet de transformer un problème
algébrique en un problème géométrique. Réciproquement, l’utilisation d’un repère permet de
transformer un problème de géométrie en un problème d’algèbre, qui fait intervenir des calculs
numériques sur les coordonnées de points.
La géométrie analytique fixe les définitions et les propriétés essentielles pour pouvoir résoudre
un problème de géométrie grâce à des calculs sur les nombres ou bien un problème algébrique
graphiquement. Le « ponts » permettant de relier les deux rives algébriques et géométriques est
le repère ( cartésien). Faire de la géométrie analytique, c’est faire de la géométrie dans un repère
en en utilisant des coordonnées.
II) Qu’est ce que la géométrie analytique ?
Pour faire de la géométrie analytique, il faut définir ce qu’est un repère du plan.
Définition 1 : ( REPERE DU PLAN )
→
→
→
→
On appelle repère du plan tout triplet ( O, i , j ) où O est un point et i , j deux
vecteurs non colinéaires.
j
→
→
• L’axe (O, i ) est appelé l’axe des abscisses.
L’axe (O, j ) est appelé l’axe des ordonnées.
→
→
→
→
→
O
→
i
• Si i et j sont perpendiculaires, on dit que le repère est orthogonal. O
→
→
• Si i et j sont perpendiculaires et || i || = || j || =1
on dit que le repère est orthonornal.
O
Propriété 1 : ( POINT DU PLAN ET COORDONNEES ).
→
→
Soit ( O, i , j ) un repère du plan.
Quel que soit le point M du plan,
il existe un couple unique de nombres réels ( x ; y )
tel que OM = x i + y j .
On note M( x ; y ) et on dit que :
• M a pour coordonnées le couple de réels ( x ; y ) .
• x est l’abscisse du point M.
• y est l’ordonnée du point M.
→
→
y
M
→
→
j
x
O
→
i
Preuve :
• Soit M(x ; y) un point du plan.
La parallèle à (O, j ) coupe (O, i ) en P .
La parallèle à (O, i ) coupe (O, j ) en R .
→
→
→
→
→
→
R
→
P ∈ (O, i ) donc OP et i sont colinéaires.
donc il existe un réel x tel que OP = x i .
→
→
→
→
j
→
O
→
R ∈ (O, j ) donc OR et j sont colinéaires.
donc il existe un réel y tel que OR = y j .
→
M
→
i
P
→
→
→
→
→
→
OPMR est un parallèlogramme donc OM = OP + OR = x i + y j .
• Montrons maintenant l’unicité du couple (x ; y) .
→
→
→
Supposons qu’il existe un autre couple (x’ ; y’) tel que OM = x ’ i + y ’ j .
On a alors : x i + y j = x ’ i + y ’ j .
Donc : (x – x ’) i = (y’ – y ) j .
y’ – y
j donc i et j sont colinéaires, ce qui est absurde
Si x ≠ x’ on a : i =
x –x’
car i et j ne sont pas colinéaires, donc x = x’.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
Donc (x – x ’) i = (x – x) i = 0 i = 0 = (y – y ’) j
Donc y = y’
→
→
→
→
→
→
Conclusion : si OM = x ’ i + y ’ j = x i + y j alors x = x’ et y = y’
Exemples :
→
→
OM = 2 i + 3 j , M(2 ;3)
→
→
→
OP = 1 i + 1 j
→
→
→
OR = 2 i – 1 j
→
C.Q.F.D.
Soit la figure ci contre. On a :
→
→
→
OS = -1 i + 2 j
→
→
→
OT = -2 i – 1 j
M
S
, P(1 ;1)
P
, R(2 ;-1)
→
, S(-1 ;2)
O
j
T
, T(-2 ;-1)
→
i
R
Propriété 2 : ( VECTEUR DU PLAN ET COORDONNEES ).
→
→
Soit ( O, i , j ) un repère du plan.
Quel que soit le vecteur u du plan,
il existe un couple unique de nombres réels (x ; y )
tel que u = x i + y j .
On note u (x ; y ) et on dit que :
• u a pour coordonnées le couple de réels ( x ; y ) .
• x est l’abscisse du vecteur u .
• y est l’ordonnée du vecteur u .
→
→
→
→
→
→
→
→
→
donc y – y’ = 0 car j ≠ 0 .
→
u
Preuve :
→
→
u
Soit u un vecteur du plan.
→
→
Soit le point M tel que u = OM.
Il existe un unique couple (x ; y) tel que
→
→
→
→
y
→
M
→
u
→
OM = x i + y j donc tel que u = x i + y j .
→
j
C.Q.F.D.
O
Exemples :
→
→
→
→
→
→
M
P
, PR (1 ; -2).
→
→
S
→
TP = 3 i + 2 j
→
x
→
PR = i – 2 j
→
i
A partir de la figure ci contre, on a :
PM = i + 2 j , PM (1 ; 2).
→
→
→
j
→
, TP (3 ; 2).
→
MT = - 4 i – 4 j
O
→
, MT (-4 ; -4).
T
→
i
R
Propriété 3 : ( EGALITE DE POINT OU DE VECTEURS )
→
→
Soit ( O, i , j ) un repère du plan.
Soient 2 points M(x ; y) et M ’(x’ ; y’)
Soient 2 vecteurs u (x ; y) et u ’(x’ ; y’)
→
1)
2)
→
 x = x’
M = M ’ équivaut à  y = y’ « 2 points sont égaux ⇔ les coordonnées sont égales »

 x = x’
u = u ’ équivaut à  y = y’ «2 vecteurs sont égaux ⇔ les coordonnées sont égales »

→
→
Preuve : Résulte de l’unicité des coordonnées d’un point dans un repère.
Exemples :
Soient A ( 2 ; 3) et B (2 ;3) on a alors A = B.
→
→
Soient u ( 4 ; -3) et v ( 4 ; -3) on a alors
→
→
u = v.
Propriété 4 : ( VECTEUR ET EXTREMITES )
→
→
Soit ( O, i , j ) un repère du plan.
Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) 2 points.
→
Le vecteur AB a pour coordonnées :
→
AB (xB – xA ; yB – yA)
Preuve :
→
→
→
→
→
→
→
→
→
On a : AB = AO + OB = -OA + OB = - ( xA i + yA j ) + (xB i + yB j ).
Donc : AB = -xA i – yA j + xB i + yB j = ( -xA + xB ) i + (-yA + yB ) j .
Donc : AB a pour coordonnées ( xB – xA ; yB – yA).
C.Q.F.D.
→
→
→
→
→
→
→
→
Exemple :
Soient A ( 4 ; -3) et B ( 5 ; -8)
Alors : AB ( 5 – 4 ; -8 – (-3) ) donc
→
→
AB ( 1 ; -5 ).
Propriété 5 : ( MILIEU D’UN SEGMENT )
→
→
Soit ( O, i , j ) un repère du plan.
Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) 2 points.
Si I est le milieu du segment [AB] alors
I
I(
xA + xB yA + yB
;
)
2
2
« on fait les moyennes des coordonnées ».
A
Preuve : Supposons I milieu de [AB].
→
→
→
→
Donc AI = IB avec AI ( xI – xA ; yI – yA) = IB ( xB – xI ; yB – yI)
donc xI – xA = xB – xI et yI – yA = yB – yI
donc 2 xI = xB + xA et 2yI = yB + yA
donc xI =
xB + xA
y + yA
et yI = B
2
2
C.Q.F.D.
Exemples :
Soient A ( 4 ; -3) ; B ( 5 ; -8) et I milieu de [AB].
4 + 5 -3 + (-8)
9 -11
Alors I (
;
) donc I ( ;
).
2
2
2 2
Il existe aussi des règles de calcul sur les coordonnées
Propriété 6 : ( ADDITION DE VECTEURS OU MULTIPLICATION PAR UN REEL )
→
→
Soit ( O, i , j ) un repère du plan.
Soient u (x ; y) et v (x’ ; y’) 2 vecteurs.
Soit k un nombre réel et w un troisième vecteur.
→
→
→
→
→
→
1) Si w = u + v
→
→
2) Si w = k u
→
alors
w (x+x’;y+y’)
→
alors
w (kx;ky)
« on additionne les coordonnées ».
« on multiplie les coordonnées par k ».
Preuve :
→
→
→
→
→
1) Supposons w = u + v avec u (x ; y) et u ’(x’ ; y’).
On a alors : w = x i + y j + x ’ i + y ’ j = (x + x ’) i + (y + y’) j .
Donc w a pour coordonnées ( x + x ’ ; y + y’ ).
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
2) Supposons w = k u avec u (x ; y).
On a alors : w = k (x i + y j ) = kx i + ky j .
Donc w a pour coordonnées ( kx ; ky ).
→
→
→
→
→
→
Exemples :
→
→
→
→
→
Soient u ( 4 ; -3) ; v ( 5 ; -8) et w = u + v
Alors : w ( 4 + 5 ; -3 + (-8) ) donc
w ( 9 ; -11 ).
→
→
→
→
Soit u ( 4 ; -3)
→
et w = -5 u
→
→
Alors : w (-5×4 ; -5× (-3) ) donc
w (-20 ; 15).
Propriété 7 : ( LONGUEUR D’UN VECTEUR )
→
B
→
Soit ( O, i , j ) un repère ORTHORME du plan.
u (x ; y) un vecteurs.
→
→
La longueur du vecteur u
→
→
notée || u || est telle que : || u || =
Preuve :
→
→
Soit M tel que OM = u
→
P
→
donc || OM || = || u ||.
Le repère est orthonormal donc OMI est rectangle en I.
x² + y²
y
M
de plus :
→
→
u
→
→
|| OI || = || x i || = x || i || = x× 1 = x.
→
→
→
→
→
j
|| IM || = || OP || = || y j || = y || j || = y× 1 = y.
x
O
→
I
i
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle OMI on a : OM ² = OI ² + IM ²
Donc : OM² = x² + y² = x² + y² donc OM = x² + y² donc || u || = x² + y² .
→
Exemple :
Soit
→
→
u ( 4 ; -3) , on a : || u || =
4² + (-3)² = 25 = 5.
Propriété 8 : ( LONGUEUR d’UN SEGMENT )
→
→
Soit ( O, i , j ) un repère ORTHORME du plan.
Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB ) 2 points.
→
La distance AB est égale à : AB = || AB || =
( xB – xA)² + (yB – yA)²
Preuve : .Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB)
→
. on a alors : AB( xB – xA ; yB – yA).
→
. Donc : ||AB || = (xB – xA)² + (yB – yA )² .
C.Q.F.D.
Exemple :
Soient A ( 4 ; -3) et B ( 5 ; -8)
Alors : AB =
(5 – 4)² + (-8 – (-3))² =
1² + (-5)² = 26 .
Propriété 9 : ( COLINEARITE DE 2 VECTEURS )
→
→
Soit ( O, i , j ) un repère du plan.
Soient u (x ; y) et v ( x’ ; y’) 2 vecteurs.
→
→
→
→
Les vecteurs u et v sont colinéaires équivaut à xy’ = yx' ou encore
Preuve : .Soient
→
→
xy’ – yx' = 0
→
u (x ; y) et v ( x’ ; y’) 2 vecteurs.
→
• Supposons u et v colinéaires.
→
→
. donc il existe k ∈ IR tel que u = k v .
→
→
→
_ Si k = 0 alors u = 0. v = 0 donc x = y = 0 donc xy’ – yx’ = 0.
_ Si k ≠ 0 alors x = kx’ et y = ky’ alors xky’ = ykx’ donc xy’ = yx’ donc xy’– yx’ = 0.
• Supposons xy’– yx’ = 0
. Donc xy’ = yx’
_Si
_ Si
→
→
u = 0
→
alors
→
→
→
u = 0 v et u = k v
en posant k = 0.
→
u ≠ 0 alors x ≠ 0 ou y ≠ 0
x’
x’
y = ky ( en posant k = ) mais aussi x’ = kx
x
x
donc u = k v donc u et v sont colinéaires.
.. Si x ≠ 0 alors y’ =
→
→
..Si x = 0 alors y ≠ 0 alors x’ =
→
→
donc u = k v
→
→
y’
y’
x = kx ( en posant k = ) mais aussi y’ = ky
y
y
→
→
donc u et v sont colinéaires.
C.Q.F.D.
Exemples :
Soient u ( 4 ; -3) ; v ( 5 ; -8) ; on a 4× (-8) – (-3)× 5 = -32 + 15 = -17 ≠ 0 donc u et v
ne sont pas colinéaires.
→
→
→
→
→
→
→
Soient u ( 4 ; -3) ; v ( 8 ; -6) ; on a 4× (-6) – (-3)×8 = -24 + 24 = 0 donc u et v
sont colinéaires.
→
FICHE METHODE sur la
GEOMETRIE ANALYTIQUE
I) A quoi sert la géométrie analytique ?
b) Exemples :
f
ACKE, CHBD
et HGLF sont
3 parallélogrammes.
d
AC = 8, AE = 2,2
CH = 5, CD = 6,6
HG = 1, HF = 11
b
11
6,6
k
e
Les points
A, D et F sont-ils
Alignés ?
l
2,2
a
→
c
8
h
5
1
g
→
• Non, car AD(8 ; 6,6) , AF(13;11) et on a : 8 ×11 – 6,6×13 =88 – 85,8 = 2,2 ≠ 0 !
ACKE et CHBD
sont
2 parallélogrammes.
d
b
AC = 8, AE = 2,2
CH = 5, CD = 6,6
Les segments
[ A D] et [ KB ]
sont-ils parallèles ?
6,6
k
e
2,2
a
→
c
8
h
5
→
• Non, car AD(8 ; 6,6) , KB (5 ;4,4 ) et on a : 8 ×4,4 – 6,6 ×5 = 35,2 – 33 = 2,2 ≠ 0 !
y
Combien de solutions
l’équation
1
2x 3 –1,5x² –1,6x + 0,5 = 0
x
0
admet-elle
dans l ’intervalle [-1 ;1,4] ?
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
-1
3 solutions !
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
b) Remarques :
De nombreux problèmes de la vie courante conduisent à des calculs numériques plus ou moins
compliqués ( partages, factures, …). Il est aussi de nombreuses situations où l’on cherche un
nombre inconnu qui doit respecter certaines contraintes ( combien placer à la banque au taux de
5% l’an pour avoir un capital de 1000 euros dans 10 ans ? , …), ce nombre inconnu est alors
solution d’une équation. Certaines équations ne peuvent pas être résolues algébriquement, mais
une idée géniale de René Descartes (1596-1650) fut de représenter dans un repère la courbe
correspondant à l’équation réduite ( pour les solutions de l’équation : 2x 3 –1,5x² –1,6x + 0,5 = 0,
on place les points de coordonnées (x ; 2x 3 –1,5x² –1,6x + 0,5) dans un repère pour différentes
valeurs de x, on obtient une courbe, et il est alors possible d’évaluer graphiquement le nombre de
solutions et des valeurs approchées des solutions s’il y en a. L’idée fondamentale de Descartes
est d’utiliser un repère ( qui n’existait pas à l’époque ), ce qui permet de transformer un problème
algébrique en un problème géométrique. Réciproquement, l’utilisation d’un repère permet de
transformer un problème de géométrie en un problème d’algèbre, qui fait intervenir des calculs
numériques sur les coordonnées de points.
La géométrie analytique fixe les définitions et les propriétés essentielles pour pouvoir résoudre
un problème de géométrie grâce à des calculs sur les nombres ou bien un problème algébrique
graphiquement. Le « ponts » permettant de relier les deux rives algébriques et géométriques est
le repère ( cartésien). Faire de la géométrie analytique, c’est faire de la géométrie dans un repère
en en utilisant des coordonnées.
II) Qu’est ce que la géométrie analytique ?
Pour faire de la géométrie analytique, il faut définir ce qu’est un repère du plan.
Définition 1 : ( REPERE DU PLAN )
→
→
→
→
On appelle repère du plan tout triplet ( O, i , j ) où O est un point et i , j deux
vecteurs non colinéaires.
j
→
→
• L’axe (O, i ) est appelé l’axe des abscisses.
L’axe (O, j ) est appelé l’axe des ordonnées.
→
→
→
→
→
O
→
i
• Si i et j sont perpendiculaires, on dit que le repère est orthogonal. O
→
→
• Si i et j sont perpendiculaires et || i || = || j || =1
on dit que le repère est orthonornal.
O
Propriété 1 : ( POINT DU PLAN ET COORDONNEES ).
→
→
Soit ( O, i , j ) un repère du plan.
Quel que soit le point M du plan,
il existe un couple unique de nombres réels ( x ; y )
tel que OM = x i + y j .
On note M( x ; y ) et on dit que :
• M a pour coordonnées le couple de réels ( x ; y ) .
• x est l’abscisse du point M.
• y est l’ordonnée du point M.
→
→
y
M
→
→
j
x
O
→
i
Propriété 2 : ( VECTEUR DU PLAN ET COORDONNEES ).
→
→
Soit ( O, i , j ) un repère du plan.
Quel que soit le vecteur u du plan,
il existe un couple unique de nombres réels (x ; y )
tel que u = x i + y j .
On note u (x ; y ) et on dit que :
• u a pour coordonnées le couple de réels ( x ; y ) .
• x est l’abscisse du vecteur u .
• y est l’ordonnée du vecteur u .
→
→
→
R
M
→
u
→
→
→
j
→
O
→
→
i
P
→
Exemples :
→
A partir de la figure ci contre, on a :
→
→
M
→
PM = i + 2 j , PM (1 ; 2).
→
→
→
PR = i – 2 j
→
→
→
→
P
, PR (1 ; -2).
TP = 3 i + 2 j
→
S
→
→
j
→
, TP (3 ; 2).
→
MT = - 4 i – 4 j
O
→
, MT (-4 ; -4).
T
→
i
R
Propriété 3 : ( EGALITE DE POINT OU DE VECTEURS )
→
→
Soit ( O, i , j ) un repère du plan.
Soient 2 points M(x ; y) et M ’(x’ ; y’)
Soient 2 vecteurs u (x ; y) et u ’(x’ ; y’)
→
1)
2)
Exemples :
→
 x = x’
M = M ’ équivaut à  y = y’ « 2 points sont égaux ⇔ les coordonnées sont égales »

 x = x’
u = u ’ équivaut à  y = y’ «2 vecteurs sont égaux ⇔ les coordonnées sont égales »

→
→
Soient A ( 2 ; 3) et B (2 ;3) on a alors A = B.
→
→
Soient u ( 4 ; -3) et v ( 4 ; -3) on a alors
→
→
u = v.
Propriété 4 : ( VECTEUR ET EXTREMITES )
→
→
Soit ( O, i , j ) un repère du plan.
Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) 2 points.
→
Le vecteur AB a pour coordonnées :
→
AB (xB – xA ; yB – yA)
Exemple :
Soient A ( 4 ; -3) et B ( 5 ; -8)
Alors : AB ( 5 – 4 ; -8 – (-3) ) donc
→
→
AB ( 1 ; -5 ).
Propriété 5 : ( MILIEU D’UN SEGMENT )
→
→
Soit ( O, i , j ) un repère du plan.
Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) 2 points.
I
Si I est le milieu du segment [AB] alors
I(
xA + xB yA + yB
;
)
2
2
« on fait les moyennes des coordonnées ».
A
Exemples :
Soient A ( 4 ; -3) ; B ( 5 ; -8) et I milieu de [AB].
4 + 5 -3 + (-8)
9 -11
Alors I (
;
) donc I ( ;
).
2
2
2 2
Il existe aussi des règles de calcul sur les coordonnées
Propriété 6 : ( ADDITION DE VECTEURS OU MULTIPLICATION PAR UN REEL )
→
→
Soit ( O, i , j ) un repère du plan.
Soient u (x ; y) et v (x’ ; y’) 2 vecteurs.
Soit k un nombre réel et w un troisième vecteur.
→
→
→
→
→
→
1) Si w = u + v
→
→
2) Si w = k u
Exemples :
→
alors
alors
→
w (x+x’;y+y’)
→
w (kx;ky)
« on additionne les coordonnées ».
« on multiplie les coordonnées par k ».
→
→
→
→
Soient u ( 4 ; -3) ; v ( 5 ; -8) et w = u + v
Alors : w ( 4 + 5 ; -3 + (-8) ) donc
w ( 9 ; -11 ).
→
→
Soit u ( 4 ; -3)
→
→
→
→
et w = -5 u
Alors : w (-5×4 ; -5× (-3) ) donc
→
w (-20 ; 15).
Propriété 7 : ( LONGUEUR D’UN VECTEUR )
→
B
→
Soit ( O, i , j ) un repère ORTHORME du plan.
u (x ; y) un vecteurs.
→
→
La longueur du vecteur u
Exemple :
Soit
→
→
→
notée || u || est telle que : || u || =
→
u ( 4 ; -3) , on a : || u || =
x² + y²
4² + (-3)² = 25 = 5.
Propriété 8 : ( LONGUEUR d’UN SEGMENT )
→
→
Soit ( O, i , j ) un repère ORTHORME du plan.
Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB ) 2 points.
→
La distance AB est égale à : AB = || AB || =
( xB – xA)² + (yB – yA)²
Exemple :
Soient A ( 4 ; -3) et B ( 5 ; -8)
Alors : AB =
(5 – 4)² + (-8 – (-3))² =
1² + (-5)² = 26 .
Propriété 9 : ( COLINEARITE DE 2 VECTEURS )
→
→
Soit ( O, i , j ) un repère du plan.
Soient u (x ; y) et v ( x’ ; y’) 2 vecteurs.
→
→
→
→
Les vecteurs u et v sont colinéaires équivaut à xy’ = yx' ou encore
xy’ – yx' = 0
Exemples :
Soient u ( 4 ; -3) ; v ( 5 ; -8) ; on a 4× (-8) – (-3)× 5 = -32 + 15 = -17 ≠ 0 donc u et v
ne sont pas colinéaires.
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→
→
→
→
→
→
Soient u ( 4 ; -3) ; v ( 8 ; -6) ; on a 4× (-6) – (-3)×8 = -24 + 24 = 0 donc u et v
sont colinéaires.
→