Points et vecteurs dans un repère : Résumé de cours et

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Points et vecteurs dans un repère : Résumé de cours et
Points et vecteurs dans un repère : Résumé de cours et méthodes
1
→
− →
−
Si dans un repère O, i , j , on a A
−
→
−
→
• le vecteur AB est tel que : AB
xA
!
xB
et B
yA
xB − xA
L’essentiel du cours
yB
!
alors :
!
.
yB − yA

xA + xB 
xI =
2
.
• le milieu I de [AB] est tel que : I 
yA + yB
yI =
2
p
• la distance AB est telle que AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 . (si le repère est orthonormé)
→
− →
−
−
Si dans une base i , j , on a →
u
−
• pour tout réel k, k→
u
kx
!
x
!
y
−
−
et →
u +→
v
x0
−
et →
v
x+x0
y0
!
!
alors :
.
ky
y+y0
−
−
−
−
• Deux vecteurs non nuls →
u et →
v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que →
v = k→
u.
x~v y~v
= = k (cela permet de trouver k dans les cas non évidents).
Remarque : Si aucune des coordonnées n’est nulle, on doit avoir
x~u y~u
p
−
−
−
• la norme du vecteur →
u (c’est à dire sa longueur) est le réel noté k→
u k tel que k→
u k = x2 + y2 .
(si la base est orthonormée)
2 Comment déterminer les coordonnées d’un point M défini par une relation
vectorielle ?
Méthode générale!:
x
.
• On pose M
y
• On exprime la relation vectorielle avec les coordonnées.
• En utilisant que deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes abscisses et les mêmes ordonnées, on en déduit
les valeurs de x et y.
!
!
2
3
−→
−
→
Exemple 1 : On considère les points A
et B
. Déterminons les coordonnées du point M tel que AM = 3AB.
−1
4
!
!
!
x
3
−
→ 1
−
→
. On a AB
et, donc, 3AB
On pose M
y
5
15
!
(
!
x − 2 = 13
5
−→ x − 2
Comme AM
, on en déduit que
. On a donc x = 5 et y = 14. D’où, M
.
y+1
y + 1 = 15
14
!
!
!
3
1
−4
Exemple 2 : On considère les points A
,B
et C
−1
1
0
Déterminons les coordonnées
du point M tel que ABCM soit un
!
! parallélogramme.
!
x
−→ x − 3
−
→ −5
On pose M
. ABCM parallélogramme ⇔ AM
= BC
(faire attention à l’ordre des points).
y
y+1
−1
(
!
x − 3 = −5
−2
On en déduit que
. On a donc x = −2 et y = −2. D’où, M
.
y + 1 = −1
−2
Seconde - Points et vecteurs dans un repère
c
P.Brachet
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1
b
B
~
j
C
b
0
~
i
b
A
b
M
3
Comment montrer que trois points A, B et C sont alignés connaissant leurs
coordonnées ?
Méthode générale (pour 3 points distincts) :
−
→ −
→
• On détermine les coordonnées des vecteurs AB et AC.
−
→
−
→
• On vérifie qu’il existe un réel k tel que AC = kAB .
(ce qui prouve leur colinéarité et l’alignement des points)
!
!
3
−3
et C
,B
Exemple : Montrons que les points A
13
4
!
!
4 6 2
−
→ 6
−
→ 4
−
→
On a AB
et AC
. = = . On en déduit que AC =
6
9
3
9
6
2
1
10
!
sont alignés.
2−
→
AB et que les points A, B et C sont bien alignés.
3
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