Repérage

Repérage
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Vocabulaire et notations
1. Repère (O, I, J) :
C’est un repère d’origine O(0; 0) où les points I et J ont pour coordonnées : I(1; 0) J(0; 1)
2. Repère orthogonal :
C’est un repère où les axes sont perpendiculaires. L’axe des abscisses est souvent horizontal orienté vers la droite,
l’axe des ordonnées est souvent vertical orienté vers le haut.
3. Repère orthonormal :
C’est un repère où les axes sont perpendiculaires et ont la même unité.
4. Coordonnées :
y
yA
Un point est repéré par un couple de nombres ;
le premier est l’abscisse lu sur l’axe des x, le
second l’ordonnée lu sur l’axe des y. L’abscisse
et l’ordonnée d’un point A se notent souvent
xA et yA .
A
+1
xA
+1
x
Milieu (milieu ↔ moyenne)
2
Les coordonnées du milieu d’un segment sont les moyennes des coordonnées des extrémités.
Autrement dit le milieu I d’un segment [AB] a pour coordonnées :

x + xB

 xI = A
2
y + yB

 yI = A
2
y
A
Par exemple : A(3; 1) et B(−1; −2). Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont :

x + xB
3 + (−1)

 xI = A
=
=1
2
2

 yI = yA + yB = 1 + (−2) = −0, 5
2
2
I
B
figure 1
Donc I(1; −0, 5).
3
Vecteurs
3.1
Formule
−−
→
B = A + AB
La même formule s’utilise de trois façons :
−−
→
−
−
→
? B = A + AB pour calculer les coordonnées de l’extrémité B du vecteur AB.
−−
→
−
−
→
? A = B − AB pour calculer les coordonnées de l’origine A du vecteur AB.
−
−
→
−
−
→
? AB = B − A pour calculer les coordonnées du vecteur AB.
Exemple (voir figure 1) A(3; 1) et B(−1; −2) donc :
−
→ = xB − xA = −1 − 3 = −4
−
−
→
x−
AB
AB(−4; −3)
−
→ = yB − yA = −2 − 1 = −3
y−
AB
3.2
Somme de vecteurs
Les coordonnées du vecteur somme sont la somme des coordonnées des vecteurs.
−
−
→ −−→
−
→ + x−
−
→ et y−
−
→ + y−
−
→.
Autrement dit le vecteur AB + CD a pour coordonnées x−
AB
CD
AB
CD
x
4
Distances
Dans un repère orthonormal on peut calculer la distance (en unités graphiques) entre deux points A et B en
utilisant la formule suivante :
AB 2 = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
−−
→
Cette formule est issue de la propriété de Pythagore, et on retrouve à l’intérieur les coordonnées du vecteur AB.
Dans la figure 1 le repère est orthonormal, on peut donc utiliser cette formule pour calculer la distance AB :
AB 2 = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 = (−1 − 3)2 + (−2 − 1)2 = (−4)2 + (−3)2 = 16 + 9 = 25
√
Ce qui donne : AB = 25 = 5u (u étant l’unité graphique du repère).
5
Exercice type
1. Dans un repère orthonormal placer les points : A(−3; 1), B(3; 3), C(5; −3) et D(−1; −5).
2. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un carré.
Solution
Plusieurs stratégies sont possibles pour démontrer que ABCD est un carré. On va
montrer 1) que ABCD est un parallélogramme, puis 2) que c’est un losange et enfin
3) un carré.
y
B
A
J
−
−
→
1) Calcul des coordonnées des vecteurs AB et
−−→
DC :
−
→ = xB − xA = 3 − (−3) = 6
−
−
→
x−
AB
AB(6; 2)
−
→ = yB − yA = 3 − 1 = 2
y−
AB
x
I
C
D
−
→ = xC − xD = 5 − (−1) = 6
−−→
x−
DC
DC(6; 2)
−
→ = yC − yD = −3 − (−5) = 2
y−
DC
−
−
→ −−→
On constate que AB = DC, donc ABDC est un parallélogramme.
2) Le repère est un repère orthonormal, donc on peut calculer les longueurs. Calcul de AB et AD :
AB 2 =√(xB − xA )2 + (yB − yA )2 = 62 + 22 = 36 + 4 = 40
AB = 40 u
AD2 =√(xD − xA )2 + (yD − yA )2 = (−1 − (−3))2 + (−5 − 1)2 = 22 + (−6)2 = 4 + 36 = 40
AD = 40 u
On constate que AB = AD. Or
Si un parallélogramme a 2 côtés consécutifs de la même longueur
Alors c’est un losange.
ABCD est donc un losange.
3) Calcul des longueurs du triangle
ABD :
√
On a déjà calculé : AB = AD = 40. Pour la longueur BD :
BD2 =√(xD − xB )2 + (yD − yB )2 = (−1 − 3)2 + (−5 − 3)2 = (−4)2 + (−8)2 = 16 + 64 = 80
BD = 80 u
D’après les calculs précédents :
AB 2 + AD2 = 40 + 40 = 80
BD2 = 80
BD2 = AB 2 + AD2
D’après la propriété de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en A ; ce qui veut dire que le parallélogramme
ABCD a un angle droit. Or
Si un parallélogramme a un angle droit,
alors c’est un rectangle.
ABCD est donc un rectangle. Or on sait déjà que ABCD est un losange, donc c’est un carré.