deug sv-td01

Marc Bizet – faculté des sciences du Havre – 2002/2004
DEUG SV1 – maths – td n°1
Produit scalaire - vecteurs
Soit
Exercice 1
(O, i, j, k )
un repère dans l’espace. Soient les vecteurs r1 = 2i + 3 j − k ,
r2 = 3i − 2 j + 2k et r3 = 4i − 3 j + 3k
1. Calculer les modules de ces 3 vecteurs.
2. Calculer les composantes et modules des vecteurs a = r1 + r2 + r3 et b = r1 + r2 − r3 .
3. Déterminer le vecteur unitaire (de module égal à 1) u de même direction et sens que
e = r1 + 2r2 .
Exercice 2
Un avion se dirige vers le Nord-Ouest avec une vitesse de 125 km/h par rapport au sol, avec
l’existence d’un vent d’Ouest de 50 km/h par rapport au sol. Quelle serait sa vitesse et sa direction
s’il n’y avait pas de vent, dans les mêmes conditions de pilotage ?
Exercice 3
(i, j, k ) est orthonormée.
v = (1 − 2 ) i + j + k
La base
Exercice 4
(
(
)
Calculer u ⋅ v , v ⋅ w et w ⋅ u avec u = 1 + 2 i + 3 j − k
w= 3 j+k
)
Soit i, j , k une base orthonormée.
(
1. Calculer le cosinus de l’angle de deux vecteurs en fonction de leurs coordonnées dans i, j , k
)
2. Soient les points N1 , N2 et N3 de coordonnées respectives (1, 1, 1) , ( 2, 2, 1 ) et ( 2, 1, 0 ) dans le
(
(
)
)
repère O, i, j , k . Calculer cos N1N2N3 .
Exercice 5
(
)
ℝ est muni de O, i, j , k un repère orthonormé. On donne les trois points A ( 1, 0, 3) , B ( 2, 1, 1) et
3
C (1, 2, 1) .
1. Calculer AB , AC puis AB et AC .
(
2. Calculer cos AB, AC
Exercice 6
(
)
On donne A 1, 1, 2 et B
(
)
)
2 , − 2 , 0 . C est le symétrique de A par rapport à O . Montrer que le
triangle ABC est isocèle rectangle.
(
)
Exercice 7 i, j , k est une base orthonormale directe. Calculer u ∧ v avec
1.
5
2. u = i − 2 j − k et v = 2i − 4 j + k
2
u = j − 2k et v = i + j − k
Exercice 8
(
)
On appelle produit mixte des vecteurs u , v et w la quantité u ∧ v ⋅ w
(
)
v et w dans la base orthonormée ( i, j , k ) .
1. Calculer la valeur du produit mixte u ∧ v ⋅ w en fonction des coordonnées des vecteurs u ,
2. Montrer que ce produit mixte est égal au volume d’un parallélépipède de côtés u , v et w .