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Correction du devoir maison no 6 Exercice 1 (no 90 page 250) ABCDEF GH est un cube, et on définit les points I et J par −→ 1 −−→ −→ 2 −−→ DI = DC, et BJ = BC. 3 3 −→ − −→ −→ 1. Exprimer chacun des vecteurs HI, EG et GJ en fonction de −→ −→ −→ AB, AC et AE. −→ −−→ −→ HI = HD + DJ −→ 1 −−→ = −AE + DC 3 1 −→ −→ AB − AE = 3 −− → EG = = En identifiant les coefficients, il vient : 1 x = x = 1 3 1 3 x − y = 0 , d’où 3 y = 1 −y = −1 −→ 1 −− → −→ Donc HI = EG + GJ 3 3. Que peut-on en déduire pour la droite (HI) et le plan (EGJ) ? −→ −− → −→ D’après la question précédente, les vecteurs HI, EG et GJ sont coplanaires. Donc la droite (HI) est parallèle au plan (EGJ). −→ −→ EF + F G −→ −−→ AB + AD −−→ −→ −→ GJ = GB + BJ −→ −−→ 2 −−→ = GC + CB + BC 3 −→ −−→ 2 −−→ = −AE − AD + AD 3 1 −−→ −→ = − AD − AE 3 H F E −→ −−→ −→ 2. Déterminer deux réels x et y tels que HI = xEG + y GJ. −→ On compare les deux décompositions du vecteur HI selon −→ −→ −→ AB, AC et AE : −→ −−→ −→ HI = xEG + y GJ −→ −−→ 1 −→ −→ 1 −−→ −→ AB − AE = x(AB + AD) + y(− AD − AE) 3 3 −→ −−→ −→ 1 = xAB + x − y AD − y AE 3 G I b D A C b J B
