Chapitre 11 Geometrie_vectorielle_espace

11
Géométrie vectorielle dans
l’espace
Manuel ”Repères” p.288.
Objectifs :
• Introduire la notion de vecteurs coplanaires, en déduire une caractérisation d’un plan
• Définir un repère de l’espace, caractériser analytiquement une colinéarité, un milieu, calculer une
distance
• Connaı̂tre et savoir utiliser la représentation paramétrique d’un plan, d’une droite.
Aperçu historique :
Sir William Rowan Hamilton, mathématicien irlandais (1805-1865) fut le
premier à employer le terme de vecteur dans les domaines de la mécanique et
de la géométrie. a
Pour résoudre des problèmes géométriques, Descartes utilisait des
coordonnées et traduisait une courbe géométrique par son équation. En
Allemagne, Grassmann, autour des années 1840, développe une analyse
géométrique indépendante du choix de coordonnées. Son point de départ est
l’addition de forces, de vitesses, c’est-à-dire l’addition de vecteurs comme des
segments orientés. Ses travaux le conduisirent à définir un produit de deux
vecteurs. La poursuite de ses recherches, notamment grâce à Josiah Gibbs,
Henri Poincaré et Elie Cartan, a eu des impacts dans divers domaines des
mathématiques dont l’algèbre les espaces vectoriels.
a. Hamilton inventa également les quaternions, qui sont une façon d’étendre les nombres
complexes à des dimensions supérieures à 2, en posant i2 = j 2 = k2 = ijk = −1.
William Rowan
Hamilton
Hermann Günther
Grassmann
1. Définitions, premières propriétés
Définition 11.1 Une base de l’espace E est un triplet de vecteurs (~i; ~j; ~k) non coplanaires.
Tout vecteur ~v de E s’exprime de façon unique ~v = x~i + y~j + z~k dans cette base.
x
Les nombres x, y et z sont les coordonnées (ou composantes) de ~v . On note ~v y .
z
Lorsque l’on a besoin de situer des points dans l’espace E , on fixe une origine O et on obtient un repère
−−→
(O;~i; ~j; ~k) dans lequel OM = ~v = x~i + y~j + z~k, où M est l’extrémité du représentant de ~v d’origine O.
Remarque 11.1 On dit que la base (et donc le repère) est normée ssi k~ik = k~jk = k~kk = 1, orthogonale ssi
les vecteurs ~i, ~j et ~k sont deux à deux orthogonaux, et orthonormée ssi ces deux caractéristiques sont
vérifiées.
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Lorsque l’on travaille avec des vecteurs dans le plan, une base est formée de
deux vecteurs non colinéaires (~i; ~j), un vecteur a 2 coordonnées dans cette
base, on est en dimension 2.
Lorsque l’on travaille avec des vecteurs dans l’espace, une base est formée de
trois vecteurs non coplanaires (~i; ~j; ~k), un vecteur a 3 coordonnées dans cette
base, on est en dimension 3.
Les propriétés de géométrie plane suivantes restent vraies dans l’espace :
Propriété 11.1
• Les vecteurs ~u et ~v de l’espace sont colinéaires ssi il existe λ ∈ R tel que ~u = λ~v (
ou ~v = λ~u, ce qui est équivalent à la formule précédente en prenant λ1 ).
−−→ −→
• Les droites (AB) et (BD) sont parallèles ssi les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
−−→ −→
• Les points A, B, C sont alignés ssi les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Les démonstrations de ces propriétés se font comme dans le plan, voir le cours de 1ère S.
Rappel : Le vecteur nul ~0 est colinéaire à tous les vecteurs.
2. Caractérisation vectorielle d’un plan
Propriété 11.2 Soient A un point de l’espace et ~u et ~v deux vecteurs non colinéaires.
−−→
L’ensemble des points M de l’espace qui vérifient AM = λ~u + µ~v , où λ, µ ∈ R est un plan passant par A.
−−→
−→
Démonstration Soient B et C les points tels que AB = ~u et AC = ~v . Les vecteurs ~u et ~v n’étant pas
colinéaires, (ABC) est un plan que l’on peut munir du repère (A; ~u; ~v ). Dans ce repère, tout point M du plan
−−→
(ABC) a un couple de coordonnées (x; y) tel que AM = x~u + y~v .
−−→
Réciproquement, soient λ et µ deux réels et M le point de l’espace tel que AM = λ~u + µ~v . On note N le
−−→
−−→
point tel que AN = λ~u = λAB, donc N ∈ (AB).
−−→ −−→ −−→
−→
On a alors N M = N A + AM = −λ~u + (λ~u + µ~v ) = µ~v = µAC. Donc M est sur la parallèle à (AC) passant
par N (qui est dans le plan (ABC)), donc M est dans le plan (ABC).
Remarque 11.2 Un plan de l’espace peut donc être défini par un point et deux vecteurs non colinéaires.
3. Vecteurs coplanaires
Définition 11.2 Soient ~u, ~v et w
~ trois vecteurs de E . Soient A, B , C et D quatre points de E tels que :
−−→
−→
−−→
AB = ~u ;
AC = ~v ;
AD = w
~
On dit que les trois vecteurs ~u, ~v et w
~ sont coplanaires ssi les points A, B, C et D sont dans un même
plan.
De plus, lorsque l’on munit l’espace d’un repère (O;~i; ~j; ~k) , si l’on considère les points A(xA ; yA ; zA ),
B(xB ; yB ; zB ) on a comme dans le plan :
x − xA
−−→
−−→ B
• Les coordonnées d’un vecteur AB sont : AB yB − yA
zB − zA
x
x′
x + x′
′
• Soient ~u y et ~v y . Les coordonnées de ~u + ~v sont : ~u + ~v y + y ′
z
z′
z + z′
λx
• Pour tout λ ∈ R, les coordonnées de λ~u sont : λ~u λy
λz
$
B
B
B
; yA +y
; zA +z
• Les coordonnées du milieu du segment [AB] sont : xA +x
2
2
2
p
• La norme du vecteur ~u est : k~uk = x2 + y 2 + z 2
p
−−→
−−→
• La distance AB (i.e. la norme de AB est kABk = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2
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Propriété 11.3 Trois vecteurs ~u, ~v et w
~ sont coplanaires ssi il existe trois réels a, b et c non tous nuls a
~
tels que : a~u + b~v + cw
~ =0
a. Ne pas confondre ”non tous nuls” (il y en a au moins un non nul) et ”tous non nuls” (aucun n’est nul)
Démonstration Si l’un des vecteurs est nul ou si deux des vecteurs sont colinéaires, alors tout se passe
comme si l’on n’avait que deux vecteurs, et deux vecteurs sont toujours coplanaires (s’ils ne sont pas
colinéaires, ils sont une base d’un plan).
On a posé (a; b; c) 6= (0; 0; 0), i.e. l’un des nombres a, b, c n’est pas nul ; on ne perd pas en généralité en
supposant c 6= 0 (quitte à intervertir les nombres a, b, c).
Il vient a~u + b~v + cw
~ = ~0 ⇔ ac ~u + cb ~v + cc w
~ ⇔w
~ = − ac ~u − cb ~v , donc d’après la propriété 11.2, si on prend des
représentants de même origine A des vecteurs ~u, ~v et w,
~ ces trois représentants sont coplanaires, donc ces
trois vecteurs sont coplanaires.
Remarque 11.3 (pour ceux qui ”feront des maths plus tard”) :
La contraposée de la propriété 11.3 est donc vraie également : si (a~u + b~v + cw
~ = ~0 ⇒ a = b = c = 0), alors
les vecteurs ~u, ~v et w
~ sont non coplanaires.
Une expression du type a~u + b~v + cw
~ s’appelle une combinaison linéaire des vecteurs ~u, ~v et w.
~ Lorsqu’il n’en
existe aucune telle que a~u + b~v + cw
~ = ~0 à moins que les coefficients a, b et c soient tous nuls, on dit que les
trois vecteurs sont linéairement indépendants. Trois vecteurs linéairement indépendants forment une base
(pas forcément orthonormée !) de l’espace (de dimension 3)... et n vecteurs linéairement indépendants
formeront une base d’un espace de dimension n... !
Propriété 11.4 (Conséquences)
• Une droite est parallèle à (ou incluse dans) un plan ssi un vecteur directeur de la droite est coplanaire avec deux vecteurs non colinéaires du plan
• Deux plans sont parallèles ssi deux vecteurs non colinéaires du premier sont respectivement
égaux à deux vecteurs non colinéaires du second.
4. Système d’équations paramétriques d’une droite
a
Soit d une droite de l’espace définie par le point A(x0 ; y0 ; z0 ) et par un vecteur directeur ~u b .
c
−−→
M ∈ d ⇔ ∃k ∈ R, AM = k~u


x = x0 + ka
⇔ ∃k ∈ R, y = y0 + kb


z = z0 + kc
Où le symbole ∃ signifie ”il existe”.
On a donc le théorème suivant :
Théorème 11.1 La 
droite d passant par A(x0 ; y0 ; z0 ) et dirigée par ~u(a; b; c) est l’ensemble des points

x = x0 + ka
M (x; y; z) tels que : y = y0 + kb , où k ∈ R.


z = z0 + kc
Ce système d’équations est appelé représentation paramétrique de la droite d.


x = 5 − k
Exemple 11.1 Soit d la droite définie par y = −1 + 3k


z =1+k
, où k ∈ R.
1. A(3; 5; 2) est-il un point de d ?
2. Soient B(1; 6; 0) et C(3; 0; −2). Les droites d et (BC) sont-elles parallèles ?
3. Déterminer une représentation paramétrique de (BC)
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5. Système d’équations paramétriques d’un plan
a
Soit P un plan de l’espace défini par un point A(xA ; yA ; zA ) et par deux vecteurs non colinéaires ~u b et
c
′
a
~v b′ . D’après la propriété 11.3, un point M (x; y; z) appartient à P ssi il existe deux réels λ et µ tels que
c′

′

 x − xA = λ × a + µ × a
−−→
AM = λ~u + µ~v . Cette dernière égalité se traduit en coordonnées par : M ∈ P ⇔ y − yA = λ × b + µ × b′


z − zA = λ × c + µ × c ′
On a donc le théorème suivant :
′ ′ ′
Théorème 11.2 Le plan P passant par A(x
A ; yA ; zA ) et dirigé par les vecteurs ~u(a; b; c) et ~v (a ; b ; c ) est
′

 x = xA + λ × a + µ × a
′
l’ensemble des points M (x; y; z) tels que : y = yA + λ × b + µ × b
, où λ et µ sont deux réels.


′
z = zA + λ × c + µ × c
Ce système d’équations est appelé représentation paramétrique du plan P.


x = 3 + 2λ + 3µ
Exemple 11.2 Soit P le plan défini par y = −5 − λ + µ , avec λ, µ ∈ R.


z = 2 + 3λ
• Déterminer les coordonnées d’un point A de P ainsi que de deux vecteurs non colinéaires ~u et ~v de
P.
• Les points B(8; −5; 5) et C(2; −2; −3) sont-ils dans P ?
• Déterminer une représentation paramétrique du plan Q parallèle à P et contenant le point D(5; 3; −1).
• Démontrer que la droite d passant par E(1; 1; 1) et de vecteur directeur w(4;
~ −7; 15) est parallèle à P .
Est-elle contenue dans P ?
~ ′ (5; 1; 3) est sécante à P .
• Démontrer que la droite d′ passant par F (2; 2; 2) et de vecteur directeur w
Déterminer les coordonnées du point d’intersection.
6. Synthèse du chapitre
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