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Les vecteurs
Les vecteurs 1.2 Introduction Les vecteurs en seconde peuvent être vus sous deux angles très différents. L’aspect purement géométrique (un vecteur est "une flêche" ). C’est ce qu’on peut appeler la géométrie vectorielle pure où la relation de Chasles règne en maître. Mais il y a aussi (et surtout, car c’est l’essentiel du programme) la géométrie analytique, où les vecteurs sont manipulés par leurs coordonnées dans un repère fixé. La géométrie vectorielle pure demande parfois un peu d’astuce et les exigibles du programme de seconde sont donc très modestes ; mais quand on sait que c’est ce qui coïnce en première S, il serait dommage de ne pas insister quand c’est possible. 1.3 Géométrie vectorielle pure Voici une énumération numérotée des compétences attendues. Les numéros sont repris dans les exercices corrigés proposés ci-dessous. Les acquis du collège 1/ Savoir placer un vecteur défini par une relation vectorielle 2/ Savoir déterminer un parallélogramme à l’aide d’une égalité vectorielle. 3/ Déduire, à l’inverse, l’égalité de deux vecteurs lorqu’on a un parallélogramme. 4/ Connaître la relation de Chasles.et savoir l’appliquer autant pour regrouper deux vecteurs en un seul (dans le − − → −−→ −→ sens AB + BC = AC , mais aussi pour "casser en deux " un vecteur et faire apparaître des vecteurs désirés. Les acquis de collège sont évidemment des exigibles de lycée, mais l’utilisation de la relation de Chasles peut s’avérer astucieuse voire difficile, et les exigibles resteront modestes en la matière. Les nouveautés du lycée Il s’agit essentiellement de la multiplication d’un vecteur par un réel, et de tout ce qui en découle : 5/ Les règles opératoires sur les vecteurs donc les calculs qui en découulent. 6/ Comment placer un point défini par une relation vectorielle un peu plus compliquée que dans le paragraphe précédent. 7/ La notion de colinéarité et ce qui s’en déduit (parallélisme ou alignement). Là encore, les exigibles restent modestes, et tout exercice virtuose sera considéré comme un atout pour une future première S ( qu’il peut être très utile de comprendre dès cette année), plus que comme un exigible du programme de seconde. 1 1.4 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 1.4 2 Géométrie analytique. 1.4.1 Les acquis du collège Là encore, l’essentiel de ce paragraphe a déjà été abordé au collège. Le lycée va présenter les choses d’une manière plus rigoureuse et proposer des exercices un peu plus dificiles, même s’ils utilisent des concepts déjà vus au collège. Si l’utilisation un peu astucieuse de la relation de Chasles fait de certains exercices proposés ci-dessous en application de la géométrie vectorielle pure des exercices "hors exigible de seconde", leur résolution proposée en application de la géométrie analytique est réellement attendue en seconde. Les points évoqués ci-dessous sont réellement des exigibles de seconde. ³− ³ − → − →´ → − →´ → − − → 1/ Prouver que i , j est une base ou que O; i , j est un repère en justifiant que les vecteurs i et j ne sont pas colinéaires. ³− → − →´ → − → − → → 2/ Déterminer les coordonnées d’un vecteur − u dans une base i , j en l’écrivant sous la forme − u =x i +y j . ⎛ ⎞ x → On note alors − u ⎝ ⎠. y ³ − → − →´ 3/ Déterminer les coordonnées d’un point M dans un repère O; i , j en déterminant les coordonnées du vecteur ³− −−→ → − →´ OM dans la base i , j . ⎛ ⎞ ³ − −−→ −−→ ⎝ x ⎠ → − →´ → − → − alors M (x, y) dans le repère O; i , j . Dès lors, si OM = x i + y j donc OM y On pourra avoir à l’esprit que les coordonnées d’un vecteur s’expriment dans une base (ce qui ne nécessite la données que de deux vecteurs non colinéaires) alors que les coordonnées d’un point nécessite un repère (donc en plus de la base, d’une origine). 4/ Calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs (somme des coordonnées), du produit par un réel (les coordonnées sont multipliées par ce réel) et plus généralement, en combinant ces deux résultats, les coordonnées d’une combinaison linéaire de deux ou plusieurs vecteurs. 5/ Déterminer les coordonnées d’un point défini par une relation vectorielle. Par exemple trouver les coordonnées du quatrième point d’un parallélogramme dont on connait les trois premiers. On pose les coordonnées du points (x, y) comme inconnues et on est amené à réoudre un système en général très simple. 6/ Connaître les coordonnées du milieu d’un segment (demi-somme des coordonnées). 7/ Savoir choisir une base (ou un repère) dans lequel les consignes de l’énoncé se traduisent par des expressions simples à résoudre. 8/ Calculer la norme d’un vecteur et conduire les calculs habituels de géométrie sur les longueurs. On démontrera ainsi des triangles ou quadrilatères particuliers, on appliquera le théorème de Pythagore et même les règles de trigonométrie. 9/ Démontrer un parallélisme ou un alignement en démontrant la colinéarité de deux vecteurs. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x → x0 − → A ce sujet, la condition de colinéarité des vecteurs − u ⎝ ⎠ et u0 ⎝ ⎠ est : y y0 → − → − u et u0 sont colinéaires si et seulement si xy 0 = x0 y. Elle est souvent malcommode à rédiger. On pourra aussi utiliser un concept qui n’est plus au programme mais qui permet¯ une rédaction plus aisée. On ¯ ¯ ¯ 0 ³ − ´ ¯x x ¯ → → ¯ et qui vaut xy 0 − x0 y. appelle déterminant de deux vecteurs le nombre note det − u , u0 ou noté encore ¯¯ ¯ ¯ y y0 ¯ 3 1.5 LES EXERCICES D’APPLICATION ¯ ¯ ¯ 0 ¯¯ ³ − ´ ¯ x x → → ¯ = xy 0 − x0 y et les vecteurs sont colinéaires si et seulement On calcule alors le déterminant det − u , u0 = ¯¯ ¯ ¯ y y0 ¯ si leur déterinant est nul. 1.5 Les exercices d’application 1.5.1 De géométrie vectorielle pure On peut considérer qu’à partir de l’exercice 6, ils sont un peu plus difficiles que ce qu’exige le programme de seconde. Noter qu’ils seront aussi résolus plus loin par les méthodes de géométrie analytiques. Vous pourrez alors choisir votre méthode préférée. Exercice 1 : compétences 1 et 2 : Placer un point et travailler sur le parallélogramme −−→ − −→ −−→ −−→ On considère un parallélogramme ABCD. Construire les points M, N et P du plan tels que BM = AB, N D = DC. P désigne le symétrique de N par rapport au point C. Quelle est la nature des quadrilatères AM CN et AM P C. Solution Exercice 1 : −−→ −− → BM = AB se construit directement. −−→ −−→ −−→ −−→ Pour placer N tel que N D = DC, il vaut mieux considérer que DN = CD de manière à "aller du point connu D ver le point inconnu N ”. B A N D C M P On voit bien sur la figure que les deux quadrilatères proposés sont des parallélogrammes. Il ne reste plus qu’à le démontrer. −−→ −−→ • Pour démontrer que AM CN est un parallélogramme, il suffit de prouver que AM = N C. −−→ −−→ − −→ −−→ −−→ − −→ −− → −− → Le point M étant défini par le vecteur BM , il est logique d’écrire AM = AB + BM ⇒ AM = AB + AB = 2AB −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ Le point N étant défini par le vecteur N D, il est logique d’écrire N C = N D + DC ⇒ N C = DC + DC = 2DC − − → −−→ −−→ −−→ − −→ Il ne reste plus qu’à remarquer que ABCD étant un parallélogramme, AB = DC donc AM = N C = 2AB −−→ −−→ • Pour démontrer que AM P C est un parallélogramme, il suffit de prouver que AM = CP .. −−→ −−→ −−→ −−→ On sait déjà que AM = N C, or, P étant le symétrique de N par rapport au point C, on a N C = CP . D’où le résultat. 4 1.5 LES EXERCICES D’APPLICATION Exercice 2 : compétence basique : ce qu’est un vecteur Observer la figure ci-contre et en déduire toutes les égalités vectorielles possibles. Quels sont les milieux de [AI] , [JF ] , [DG] , [HG] .Justifier les réponses par des égalités vectorielles B A H E J G I D F C Solution Exercice 2 : On constate que : −−→ −→ −→ −→ −−→ − → −→ −−→ −−→ −→ −−→ HA = DI = IG ; JA = EB = IJ = F I ; DC = EG ; JD = GF −→ −−→ −→ −→ −→ −→ − → −→ −−→ −−→ −→ BI = EF = JC ; BJ = EI = IC ; AI = JF = HD ; HJ = JD −→ −→ −→ − → − → −→ De plus, DI = IG ⇒ I milieu de [DG] ; JA = IJ ⇒ J milieu de [AI] et IJ = F I ⇒ I milieu de [F J] −−→ −→ HJ = JD ⇒ J milieu de [HD] . Exercice 3 : compétences 2 et 4 : Relation de Chasles et travail sur le parallélogramme ABC est un triangle B 0 et C 0 désignent respectivement les symétriques de B et C par rapport à A. − −→ → −→ → On pose − u = AB et − v = AC. −−→ −−→0 −−→ −−→ → → 1. Exprimer en fonction de − u et − v chacun des vecteurs suivants : B 0 A; AC ; BC; CB; 2. Quelle est la nature du quadrilatère BCB 0 C 0 ? −−→ −− −−→0 −→ → −−→ −−0−→0 Déterminer AB 0 + AB; CA + CA; BC + B C ; −−0−→0 CB. −−0−→0 −−→0 C B + CB Solution Exercice 3 : −−→ − −−→ −→ −→ 1. D’après les hypothèses, A est milieu de [BB 0 ] donc B 0 A = AB et A est milieu de [CC 0 ] donc C 0 A = AC −−0→ − −−→ −−→ −−→ − → → −→ → B A = AB = − u et AC 0 = − C 0 A = −AC donc AC 0 = −− v − −→ −→ Il faut ensuite faire apparaître grâce à la relation de Chasles les vecteurs attendus, c’est à dire AB et AC à partir des vecteurs étudiés. −−→ − −→ −→ −−→ −− → −→ −−→ −−→ → − −−→ −−→ → → → → Ainsi BC = BA + AC ⇒ BC = −AB + AC ⇒ BC = −− u +− v et CB = −BC = − (−− u −→ v u +− v ) ⇒ CB = − 5 1.5 LES EXERCICES D’APPLICATION −−−→ −−→ −−→ −−→ → −−→0 −−−→ −−→ −−−→ → u et AC = −− v Enfin C 0 B 0 = C 0 A0 + A0 B 0 ⇒ C 0 B 0 = −AC 0 − B 0 A avec, d’après ce qui précède : B 0 A = − −−−→ → − −−−→ −−→ On a donc C 0 B 0 = − v −→ u On remarque donc que C 0 B 0 = BC ce qui semble assez logique, d’après la symétrie de centre A. −−−→ −−→ 2. D’après la remarque ci-dessus, C 0 B 0 = BC donc BCB 0 C 0 est un parallélogramme. −−→0 − −−→ − −−→ −− −→ → − → − → → → AB + AB = −B 0 A − AB = − u −− u ⇒ AB 0 + AB = 0 propriété évidente dès la première ligne de l’exercice puisque A est milieu de [BB 0 ] −−→ −→ − −−→0 −→ −−→ −→ → − → CA + CA = −AC 0 − AC = − v −→ v ⇒ AC 0 + AC = 0 même remarque que ci-dessus. −−−→ −−→ −−−→ −−→ −−−→ − → On a vu que C 0 B 0 = BC donc en ajoutant B 0 C 0 à chaque membre de l’égalité, BC + B 0 C 0 = 0. −−−→ −−→ −−−→ −−→ −−→ −−−→ −−→ −−→ −−→ −− → Enfin, C 0 B 0 + CB 0 = BC + CB 0 puisque C 0 B 0 = BC donc d’après la relation de Chasles, C 0 B 0 + CB 0 = BB 0 = 2BA puisque A est milieu de [BB 0 ] −−−→ −−→ → On a donc C 0 B 0 + CB 0 = −2− u G G −v −u G G −v −u B' G G −u +v G −2u G −u G −v C G v G u G G −u +v A B C' Exercice 4 : compétences 4,5 et 6 : Relation de Chasles, placer un point, calculs sur les vecteurs −−→ −− → −−→ −−→ ABC est un triangle. Construire les points D et E tels que EB = BA et ED = 2BC Montrer que C est le milieu de [AD] Solution Exercice 4 : −−→ −− → −−→ − −→ EB = BA mais il est plus commode de placer BE = AB (donc B est le milieu de [EA]). On place en fait, à partir − −→ de B, le vecteur AB. −−→ −−→ −−→ −−→ ED = 2BC, on place donc le vecteur 2BC (deux fois plus long mais de même direction et de même sens que BC) 1.5 LES EXERCICES D’APPLICATION 6 D C A B E −−→ −→ Pour montrer que C est le milieu de [AD] , on va exprimer AD en fonction de AC. −−→ Ne connaissant D que par le vecteur ED, on va écrire : −−→ −→ −−→ −−→ −→ AD = AE + ED. On fait maintenant apparaître EB puisqu’on ne connaît rien de AE. −→ − −→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −− → −−→ −−→ Donc AE = AB + BE et en remplaçant dans AD = AE + ED, il vient AD = AB + BE + ED −−→ −−→ −−→ − −→ −− → −−→ Puis en remplaçant BE et ED par leurs expressions : AD = AB + AB + 2BC ³− − → −−→´ −−→ −→ −−→ − −→ −−→ −−→ Donc AD = 2 AB + 2BC ⇒ AD = 2 AB + BC donc AD = 2AC, et C est le milieu de [AD] Exercice 5 : compétences 6 : Placer un point ABC est un triangle. Construire les points M, N, P définis par : − → −−→ −−→ −− → 1 −→ −−→ −− → −→ −−→ 1 − BP = AB − AC AM = 2AB + 3AC AN = AB − 2BC 2 3 Solution Exercice 5 : −−→ − −→ −→ −−→ Construction de M tel que AM = 2AB + 3AC : On reporte, depuis le point A (à cause de AM dont l’origine est −− → −→ A) le vecteur 2AB, puis au bout du vecteur ainsi obtenu, le vecteur 3AC. − → −−→ −−→ −−→ 1 − Construction de N tel que AN = AB − 2BC : On reporte, depuis le point A (à cause de AN dont l’origine est 2 → −−→ 1 −− A) le vecteur AB, puis au bout du vecteur ainsi obtenu, le vecteur −2BC. 2 −−→ −− → 1 −→ −−→ Construction de P tel que BP = AB − AC : On reporte, depuis le point B (à cause de BP dont l’origine est B) 3 − −→ 1 −→ le vecteur AB, puis au bout du vecteur ainsi obtenu, le vecteur − AC. 3 Pour ce troisième point, dont "l’originalité" consiste à la définir à partir du point B alors que les vecteurs qui le − −→ 1 −→ constituent ont pour origine le point A, on peut aussi construire le vecteur AB − AC à partir du point A. On obtient 3 −→ le vecteur AR qu’il suffit de déplacer à partir de B comme l’indique la seconde figure. 7 1.5 LES EXERCICES D’APPLICATION M C A C B P A B R N Exercice 6 : P compétences 4 et 6 : Relation de Chasles, placer un point, calculs sur les vecteurs ABC est un triangle. Construire les points L, M, N définis par : −→ −→ − −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −− → → LA + 2LB = 0 4M A = 5M B 2N A − 3N B + 4N C = AB Solution Exercice 6 : Chacun des points à placer est défini à partir de deux points connus différents (A et B par exemple pour L). Cela rend le placement impossible. Dès lors la méthode consiste à utiliser la relation de Chaslaes pour faire disparaître l’un de ces deux vecteurs. −→ −→ − −→ −→ −→ −− → → • LA + 2LB = 0 . On va par exemple ne conserver qu ele vecteur LA en écrivant LB = LA + AB. ³−→ − − →´ − −→ −→ − −→ → → Ainsi LA + 2LB = 0 ⇔ LA + 2 LA + AB = 0 −→ −→ − − → − → ⇔ LA + 2LA + 2AB = 0 −→ −− → − → ⇔ 3LA + 2AB = 0 −→ − −→ ⇔ 3LA = −2AB −→ − → − → −→ 2 − 2− ⇔ LA = − AB ou plutôt AL = AB qui permet de placer facilement L 3 3 8 1.5 LES EXERCICES D’APPLICATION −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −− → • 4M A = 5M B. On va par exemple ne conserver qu ele vecteur M A en écrivant M B = M A + AB. ³−−→ − −−→ −−→ −−→ −→´ Ainsi 4M A = 5M B ⇔ 4M A = 5 M A + AB −−→ −−→ −− → ⇔ 4M A = 5M A + 5AB −−→ − −→ ⇔ −M A = 5AB −−→ − −→ ⇔ AM = 5AB qui permet de placer facilement M ³−−→ −→´ − ³−−→ − −→ − →´ −−→ −−→ −−→ − − → −−→ • 2N A − 3N B + 4N C = AB ⇔ 2N A − 3 N A + AB + 4 N A + AC = AB −−→ −−→ − − → −−→ −→ − −→ ⇔ 2N A − 3N A − 3AB + 4N A + 4AC = AB −−→ − −→ − −→ −→ ⇔ 3N A = AB + 3AB − 4AC −−→ − −→ −→ ⇔ 3N A = 4AB + 4CA ³ −−→ −→ − −→´ −−→ ⇔ 3N A = 4 CA + AB = 4CB −−→ 4 −−→ ⇔ AN = BC qui permet de placer facilement N + 3 N C L A Exercice 7 : B M compétences 4, 5 et 6 : Relation de Chasles, placer un point, calculs sur les vecteurs A, B, et C sont trois points non alignés. −−→ − −→ −→ −−→ − − → −→ 1. Placer avec soin les points E et D tels que CE = 3AB − 2AC et BD = 2AB − AC. Que constate-t-on ? 2. Démontrer la conjecture de la question précédente. Solution Exercice 7 : −−→ −− → −→ −−→ −− → −→ CE = 3AB + 2CA et BD = 2AB + CA C A B D E 9 1.5 LES EXERCICES D’APPLICATION −−→ − → On constate que les points D et E sont confondus, ce qu’on va démontrer en prouvant que DE = 0 . Pour faire apparaître les vecteurs connus qui définissent D et E, on est amené à écrire, en utilisant la relation de −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ Chasles : DE = DB + BC + CE donc DE = −BD + BC + CE ³ ´ ³ −−→ − − → −→ −−→ −− → −→´ On a donc DE = − 2AB + CA + BC + 3AB + 2CA −−→ − − → −→ −−→ −− → −→ −−→ − −→ −−→ −→ −→ On en déduit que DE = −2AB − CA + BC + 3AB + 2CA ⇒ DE = AB + BC + CA = AA. −−→ − → On a bien DE = 0 qui prouve que les deux points sont confondus. Exercice 8 : compétences 4 et 6 : Relation de Chasles, calculs sur les vecteurs ABC désigne un triangle. Soit I, J, K les milieux respectifs de [AB] , [BC] et [AC] . − → −→ −−→ − → 1. Montrer que AI + BJ + CK = 0 −→ −−→ −→ − → 2. Montrer que AJ + BK + CI = 0 Solution Exercice 8 : B I A J K C −→ −→ 1 −−→ −−→ 1 −→ − → 1− 1. I étant milieu de [AB] , on a AI = AB. On a de même BJ = BC et CK = CA 2 2 2 − → −→ −−→ 1 −− → 1 −−→ 1 −→ On en déduit facilement que AI + BJ + CK = AB + BC + CA 2 2 2 → −−→ −→´ 1 ³−− = AB + BC + CA 2 1 −→ = AA 2 − → −→ −−→ − → On a donc bien AI + BJ + CK = 0 2. On peut faire apparaître de vecteurs connus grâce à la relation de Chasles en écrivant : →´ → −→´ ³−−→ −−→´ ³−→ − −→ −−→ −→ ³−− AJ + BK + CI = AB + BJ + BC + CK + CA + AI − − → −−→ −→ −→ −−→ − → = AB + BC + CA + BJ + CK + AI en modifiant l’ordre des termes. −− → −−→ −→ −→ − → − −→ −−→ −→ − → −→ −−→ − → → Or AB+BC+CA = AA = 0 et BJ +CK+AI = 0 d’après ce qui précède. On a donc bien AJ + BK + CI = 0 10 1.5 LES EXERCICES D’APPLICATION Exercice 9 : compétences 2 et 4 : Relation de Chasles, travail sur le parallélogramme −− → −−→ −→ −→ Montrer que si les points A, B, C, D, E vérifient : AB + AD = AC + AE, alors BCDE est un parallélogramme. Solution Exercice 9 : −−→ −−→ Pour montrer que BCDE est un parallélogramme, il suffit de montrer que BC = ED −− → −−→ −→ −→ −−→ −→ −→ −− → −− → −→ En effet, AB + AD = AC + AE ⇒ AD − AE = AC− AB en retranchant AB et AE à chaque membre. −− → −−→ −→ −→ −→ −−→ − − → −→ Ainsi AB + AD = AC + AE ⇒ EA + AD = BA + AC −−→ −−→ ⇒ ED = BC en applicant la relation de Chasles. Exercice 10 : compétences 4, 6 et 7 : Relation de Chasles, placer un point, calculs sur les vecteurs, colinéarité A, B, et C sont trois points non alignés. On appelle I le milieu de [AC] −−→ −− → −−→ −−→ Soit les points D et F tels que : AD = 3AB BF = 2BC Montrer que (DF ) et (BI) sont parallèles. Solution Exercice 10 : Une figure peut aider au raisonnement ; mais elle n’est pas indispensable. −−→ −→ Pour montrer que deux droites sont parallèles, on peut montrer que deux vecteurs sont colinéaires. Ici DF et BI −−→ −−→ −−→ On fait apparaître dans DF , les vecteurs connus, c’est à dire BF et AD, à l’aide de la relation de Chasles. −−→ −−→ − −→ −−→ −−→ − − → −− → −−→ Ainsi DF = DA + AB + BF ⇒ DF = 3BA + AB + 2BC ³− −−→ −→ −−→´ ⇒ DF = 2 BA + BC . −−→ −−→ −−→ Or, I étant le milieu de [AC] , on peut savoir que pour tout point M du plan, M A + M C = 2M I. − −→ −−→ ³−→ − →´ ³−→ −→´ −→ − → −→ Sinon, on retrouve cette propriété avec le point B par : BA + BC = BI + IA + BI + IC = 2BI + IA + IC − → −→ − → Or, I est le milieu de [AC] donc IA + IC = 0 − − → −−→ −→ −−→ −−→ −→ On a donc bien BA + BC = 2BI et en remplaçant dans l’expression de DF ci-dessus : DF = 4BI Ce qui prouve que les vecteurs sont colinéaires donc les droites parallèles. Exercice 11 : compétences 4, 6 et 7 : Relation de Chasles, placer un point, calculs sur les vecteurs, colinéarité A, B, et C sont trois points non alignés. −−→ − −→ −→ Soit les points D et E tels que : AD = 2AB + AC −−→ 1 −−→ BE = BC 3 Montrer que les points A, D et E sont alignés Solution Exercice 11 : −−→ −→ Il suffit de démontrer que les vecteurs AD et AE sont colinéaires. −→ −−→ −→ −− → −−→ Pour cela, en partant de AE on fait apparaître BE par AE = AB+ BE −→ − − → 1 −−→ Donc AE = AB + BC 3 1.5 LES EXERCICES D’APPLICATION 11 − − → 1 ³−− → −→´ = AB + BA + AC 3 → 1 −→ − − → 1 −− = AB + BA + AC 3 3 − → 1 −→ 2− = AB + AC 3 3 ³ → −→´ −−→ − −→ −→ 1 −− = 2AB + AC . avec AD = 2AB + AC 3 −→ 1 −−→ On a donc AE = AD qui prouve que les vecteurs sont colinéaires donc les points alignés. 3 1.5.2 De géométrie analytique Exercice 12 : compétences 1, 2 : bases, coordonnées → − → −− − → −→ A, B, et C sont trois points non alignés. On pose i = AB et j = CA ³− → − →´ Justifier que i , j est une base ³− − −→ −→ − − −→ −→ → − →´ − Déterminer les coordonnées dans la base i , j de → u = 5AB +AC et → v = 2AB − 3AC Solution Exercice 12 : → − − → Les points A, B et C n’étant pas alignés, les veteurs i , j ne sont pas colinéaires et constituent une base du plan. ⎛ ⎞ 5 − − → − → − − → − → → − → − → − → → → ⎠ u = 5AB +AC ⇒ − u = 5AB −CA ⇒ − u = 5 i − j donc − u⎝ −1 ⎛ ⎞ 2 − − → − → − − → − → → − → − → − → → → v = 2AB − 3AC ⇒ − v = 2AB + 3CA ⇒ − v = 2 i + 3 j donc − v ⎝ ⎠ 3 Exercice 13 : compétences 1, 2, 3 : bases, coordonnées d’un vecteur et d’un point ABCD est un parallélogramme. E est le symétrique de A par rapport à D ³−− → −−→´ Justifier que AB, AD est une base −→ Déterminer les coordonnées dans cette base du vecteur AE ³ − −→ −−→´ En déduire les coordonnées du point E dans le repère A; AB, AD Solution Exercice 13 : − −→ −−→ ABCD étant un parallélogramme, les vecteurs AB et AD ne sont pas colinéaires et constituent une base du plan. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 − − → −−→ 0 On a évidemment dans cette base AB ⎝ ⎠ et AD ⎝ ⎠ 0 1 ⎧ ⎛ ⎞ −−→ −−→ ⎨ BC = AD −→ −− → −−→ −→ ⎝ 1 ⎠ De plus −→ − − → −−→ ⇒ AC = AB + AD et admet donc pour coordonnées AC ⎩ AC = AB + BC 1 1.5 LES EXERCICES D’APPLICATION 12 ⎛ ⎞ −→ −−→ −→ ⎝ 0 ⎠ E étant le symétrique de A par rapport à D on a AE = 2 AD donc AE 2 ³ − −→ −−→´ Et le point E a pour coordonnées (0; 2) dans le repère A; AB, AD (dont l’origine est A origine du vecteur et les vecteurs de base sont les mêmes). Exercice 14 : compétences 2, 5, 6 : coordonnées d’un vecteur et du milieu ³ − → − →´ Dans le plan muni du repère O; i , j on donne les points A (1; 1) , B (3; −1) , C (3; −1) et D (5; −5) 1. Donner les coordonnées des milieux I, J, K, L de [AB] , [BC] , [CD] , [DA] . 2. Démontrer que IJKL est un parallélogramme. 3. Déterminer les coordonnées du point E tel que ABCE soit un parallélogramme. Solution Exercice 14 : xA + xB yA + yB = 2 et yI = = 0. 2 2 3+3 −1 − 1 3+5 −1 − 5 5+1 Demême xJ = = 3 et yJ = = −1, xK = = 4 , yK = = −3 et xL = = 3 , 2 2 2 2 2 −5 + 1 yL = = −2 2 Ainsi I (2; 0) , J (3; −1) , K (4; −3) et L (3; −2) − → −−→ 2. Il suffit de montrer que IJ = LK. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 − 2 1 4 − 3 1 − → → −−→ ⎝ −→ ⎠ donc − ⎠ et LK ⎠ donc − ⎠ En effet IJ ⎝ IJ ⎝ LK ⎝ −1 − 0 −1 −3 − (−2) −1 1. Avec des notations évidentes, xI = Les vecteurs ont même coordonnées et sont donc égaux. − − → −−→ 3. Soit (x; y) les coordonnées de E. ABCE est un parallélogramme si et seulement si AB = EC ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − −→ −− →⎝ 3 − 1 ⎠ − −→ ⎝ 2 ⎠ −−→ ⎝ x − 3 ⎠ Or AB a pour coordonnées AB donc AB et EC −1 − 1 −2 y − (−1) ⎧ ⎧ ⎨ x−3=2 ⎨ x=5 L’égalité précédente se traduit donc par le système : ⇔ ⎩ y + 1 = −2 ⎩ y = −3 Ainsi, le point E tel que ABCE soit un parallélogramme a pour coordonnées (5; −3) . 1.5 LES EXERCICES D’APPLICATION Exercice 15 : 13 compétences 7, 9 : Choix d’un repère, condition de colinéarité ABC est un triangle. On donne les vecteurs : √ ¢ −− √ ¢ −−→ → ¡ → −−→ − − → ¡ → − v = 1 + 5 AB − 2BC u = 2AB + 1 − 5 BC et − − − Démontrer que → u et → v sont colinéaires. Solution Exercice 15 : ABC étant un triangle, les droites (AB) et (BC) ne sont pas parallèles. −− → −−→ Les vecteurs AB et BC ne sont donc pas colinéaires et constituent une base du plan. Cette base permettra d’écrie facilement les coordonnées de vecteurs qu’on est amené à étudier. ⎛ ⎞ √ ¡ ¢ 2 − − → − − → → → − u a pour coordonnées ⎝ u = 2AB + 1 − 5 BC se traduit par : − √ ⎠ dans cette base 1− 5 ⎛ √ ⎞ √ ¢ ¡ 5 1 + − − → − − → → → − ⎠ dans cette base v a pour coordonnées ⎝ v = 1 + 5 AB − 2BC se traduit par : − −2 Or 2 × (−2) = −4 √ ¢ ¡ √ ¢ ¡ et 1 − 5 × 1 + 5 = 1 − 5 = −4. La condition de colinéarité est vérifiée et les vecteurs sont colinéaires. √ ¢ ¡ √ ¢ ¡ On remarque tout de même qu la rédaction qui consiste à écrire2 × (−2) = −4 = 1 − 5 × 1 + 5 n’est quand même pas très satisfaisante. Le correcteur a un peu l’impression qu’on essaie de lui apprendre la table de multiplication par 2. C’est pourtant inévitable, .... Sauf si on utilise le concept (hors programme) de déterminant. ¯ √ ¯¯ ¯ ¯ √ ¢ ¡ √ ¢ ¡ 2 5¯ 1 + → → → → ¯ ⇒ det (− La rédaction est alors : det (− u,− v ) = ¯¯ u,− v ) = 2 × (−2) − 1 − 5 × 1 + 5 = 0 √ ¯ ¯ 1 − 5 −2 ¯ Le déterminant des vecteurs étant nul, ils sont colinéaires. A aucun moment on n’a été amené à écrire une banalité du style 2 × (−2) = −4 Exercice 16 : compétences 7, 4, 5 : Choix d’un repère, calcul de coordonnées d’un vecteur et d’un point Refaisons l’exercice 7 précédent par la géométrie analytique. On pourra ainsi comparer les deux méthodes. A, B, et C sont trois points non alignés. −−→ − −→ −→ −−→ − − → −→ 1. Placer avec soin les points E et D tels que CE = 3AB − 2AC et BD = 2AB − AC. Que constate-t-on ? 2. Démontrer la conjecture de la question précédente. Solution Exercice ³16 : − −→ −→´ ABC étant non alignés, AB, AC est une base du plan. ³ −− → −→´ Dans le repère A; AB, AC , A (0; 0) , B (1; 0) , C (0; 1) 14 1.5 LES EXERCICES D’APPLICATION ⎞ ⎛ ³ −− → −→´ −−→ −− → −→ −−→ ⎝ 3 ⎠ dans le repère A; AB, AC CE = 3AB − 2AC ⇒ CE −2 ⎛ ⎞ ³ − −−→ − −→ −→ −−→ ⎝ 2 ⎠ −→ −→´ et BD = 2AB − AC ⇒ BD dans le repère A; AB, AC −1 ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ −−→ xE − xC ⎠ −−→ xE − 0 ⎠ Or CE ⎝ ⇒ CE ⎝ yE − 1 yE − yC ⎧ ⎧ ⎞ ⎛ ⎨ x =3 ⎨ x =3 −−→ ⎝ 3 ⎠ E E donc Or CE ⇒ ⎩ y − 1 = −2 ⎩ y = −1 −2 E ⎛ −−→ De même BD ⎝ xD − xB E ⎞ ⎛ −−→ ⎝ ⎠ ⇒ BD xD − 1 ⎞ ⎠ yD − 0 yD − yB ⎧ ⎧ ⎞ ⎛ ⎨ x −1=2 ⎨ x =3 −−→ ⎝ 2 ⎠ D D donc Or BD ⇒ ⎩ y − 0 = −1 ⎩ y = −1 −1 D D Les points D et E ont mêmes coordonnées et sont donc confondus. Exercice 17 : compétences 7, 4, 5, 6, 9 : Choix d’un repère, calcul de coordonnées d’un vecteur et d’un point, colinéarité Refaisons l’exercice 10 précédent par la géométrie analytique. On pourra ainsi comparer les deux méthodes. A, B, et C sont trois points non alignés. On appelle I le milieu de [AC] −−→ −− → −−→ −−→ Soit les points D et F tels que : AD = 3AB BF = 2BC Montrer que (DF ) et (BI) sont parallèles. Solution Exercice 17 : ³ −− → −→´ Choisissons comme dans l’exercice précédent le repère A; AB, AC . On va calculer les coordonnées des vecteurs −−→ −→ DF et BI et montrer qu’ils sont colinéaires. µ ¶ 1 On a alors A (0; 0) , B (1; 0) , C (0; 1) et I 0; . 2 ⎛ ⎞ −1 −→ On en déduit que BI ⎝ 1 ⎠ . 2 ⎧ ⎛ ⎞ ⎨x =3 −−→ − − → −−→ ⎝ 3 ⎠ D donc donc D (3; 0) De plus AD = 3AB ⇒ AD ⎩y =0 0 D ⎛ −−→ −−→ −−→ BF = 2BC or BF ⎝ xF − xB yF − yB ⎞ ⎛ −→ ⎠⇒− BF ⎝ xF − 1 yF ⎞ ⎛ −→ ⎠ et 2− BC ⎝ 2 (xC − xB ) 2 (yC − yB ) ⎞ ⎛ −→ ⎠ ⇒ 2− BC ⎝ ⎧ ⎧ ⎨ x − 1 = −2 ⎨ x = −1 −−→ −−→ F F Ainsi BF = 2BC se traduit par ⇒ donc F (−1; 2) ⎩y =2 ⎩y =2 F F −2 2 ⎞ ⎠ 15 1.5 LES EXERCICES D’APPLICATION ⎛ −−→ On peut donc calculer les coordonnées de DF ⎝ −1 − 3 2−0 ⎞ ⎛ −→ ⎠ donc − DF ⎝ −4 2 ⎞ ⎠ −−→ −→ −−→ −→ Il reste à étudier la colinéarité des vecteurs DF et BI. On constate facilement que DF = 4BI d’où la colinéarité. Il est évident que lorsque la colinéarité saute aux yeux, l’utilisation de la condition vue en cours ou du déterminant est une perte de temps. ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ −→ ⎝ −1 ⎠ −−→ ⎝ −4 ⎠ 1 . On constate que (−1) × 2 = (−4) × = −2. D’où la colinéarité. Ici, cela donnerait : BI et DF 1 2 2 2 ¯ ¯ ³−→ −−→´ ¯¯ −1 −4 ¯¯ ¯ = (−1) × 2 − (−4) × 1 = 0 D’où la colinéarité. Ou encore : det BI, DF = ¯¯ 1 ¯ 2 ¯ 2 ¯ 2 Exercice 18 : compétences 7, 4, 5, 6 : Choix d’un repère, calcul de coordonnées d’un vecteur et d’un point Refaisons l’exercice 8 précédent par la géométrie analytique. On pourra ainsi comparer les deux méthodes. ABC désigne un triangle. Soit I, J, K les milieux respectifs de [AB] , [BC] et [AC] . − → −→ −−→ − → 1. Montrer que AI + BJ + CK = 0 −→ −−→ −→ − → 2. Montrer que AJ + BK + CI = 0 Solution Exercice 18 : ³−− → −→´ Comme précédemment, ABC étant non alignés, AB, AC est une base du plan. ³ −− → −→´ Dans le repère A; AB, AC , A (0; 0) , B (1; 0) , C (0; 1) µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 Les milieux on pour coordonnées : I ;0 , J ; et K 0; 2 2 2 2 On calcule alors facilement les coordonnées des vecteurs : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 − − 1 − →⎝ − 0 ⎠ − → ⎝ ⎠ −→ ⎜ 2 −→ ⎜ 2 ⎟ −−→ ⎝ 0 − 0 ⎠ −−→ ⎝ 0 ⎠ ⎟ 2 2 , BJ ⎝ AI donc AI donc CK ⎠ donc BJ ⎝ 1 ⎠ et CK 1 1 1 −1 − −0 0−0 0 2 2 2 2 Il suffit de calculer les coordonnées de la some de ces trois vecteurs, comme somme des coordonnées : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 − + 0 − → −→ −−→ ⎜ − → −→ −−→ 0 ⎟ AI + BJ + CK ⎝ 2 12 1 ⎠ donc AI + BJ + CK ⎝ ⎠ 0 0+ − 2 2 On vérifiera aisément la deuxième égalité vectorielle. 1.5 LES EXERCICES D’APPLICATION Exercice 19 : 16 compétences 4, 8 : calcul de coordonnées d’un vecteur , calculs de longueurs Refaisons l’exercice 8 précédent par la géométrie analytique. On pourra ainsi comparer les deux méthodes. ³ − → − →´ Dans le plan muni du repère orthonormal O; i , j on donne les points A (1; 1) , B (3; −1) , C (3; −1) et D (5; −5) On donne les points A (3; 1) , B (5; 3) , C (4; 4) et D (2; 2) Démontrer que ABCD est un rectangle Solution Exercice 19 : On va établir en premier que ABCD est un parallélogramme. Il suffira dans un deuxième temps de prouver : soit que ses diagonales font même longueur soit qu’il possède un angle droit Les deux méthodes seront conduites successivement. − − → −−→ 1. Montrons que ABCD est un parallélogramme en établissant que .AB = DC ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −− →⎝ 2 ⎠ −−→ ⎝ 2 ⎠ A (3; 1) , B (5; 3) ⇒.AB et C (4; 4) , D (2; 2) ⇒ DC d’où l’égalité annoncée. 2 2 ABCD est un parallélogramme 2. 1. En utilisant la longueur des diagonales : ⎛ ⎞ °−→° q √ −→ ⎝ −1 ⎠ ° ° AC ⇒ °AC ° = (−1)2 + 32 = 10 3 ⎞ ⎛ °−−→° q √ −−→ ⎝ −3 ⎠ ° ° 2 2 ⇒ °BD° = (−1) + (−3) = 10 BD −1 Les diagonales ont même longueur ; le parallélogramme est un rectangle. 2. 2. En trouvant un angle droit à l’aide de la réciproque du théorème de Pythagore ⎛ ⎞ °−− ° √ −− →⎝ 2 ⎠ ° →° √ AB ⇒ °AB ° = 22 + 22 = 8 2 ⎛ ⎞ °−−→° q √ −−→ ⎝ −1 ⎠ ° ° 2 BC ⇒ °BC ° = (−1) + 12 = 2 1 ⎞ ⎛ °−→° q √ −→ ⎝ −1 ⎠ ° ° ⇒ °AC ° = (−1)2 + 32 = 10 AC 3 ° ° °−→°2 °− ° ° ° ° −→°2 °−−→°2 On constate donc que °AC ° = °AB ° + °BC ° . Le triangle ABC est donc rectangle en B. \ = 90◦ et le parallélogramme est un rectangle ABC 17 1.5 LES EXERCICES D’APPLICATION Exercice 20 : compétences 7, 4, 5, 6 : Choix d’un repère, calcul de coordonnées d’un vecteur et d’un point, colinéarité Sur la fugure ci-dessous, ABCD est un carré et les triangles ABI et BJC sont équilatéraux D C I J B A Démontrer que les points D, I et J sont alignés Solution Exercice 20 : Plusieurs autres méthodes sont possibles. On choisra un repère (il s’impose). On écrira les coordonnées de tous −→ −→ les points de la figure dans ce repère, et on démontrera enfin que les vecteurs DI et DJ sont colinéaires. ³ − − → −−→´ ABCD étant un carré, un repère s’impose : A; AB, AD qui sera orthonormal. (c’est un repère car les vecteurs °−− ° ° ° ° →° °−−→° ne sont pas colinéaires, orthogonal car ABCD est un rectangle, et normal car dans le carré, °AB ° = °AD° . FDans ce repère, certains points ont de coordonnées évidentes : ⎛ ⎞ −→ − − → −−→ −→ 1 A (0; 0) , B (1; 0) , D (0; 1) et AC = AB + AD ⇒ AC ⎝ ⎠ et C (1; 1) . 1 FLes coordonnées des points I et J demandent un peu plus de travail. AIB étant équilatéral, le projeté ortogonal µ ¶ → −−→ 1 −− 1 H de I sur [AB] est le milieu de [AB] (puisque hauteur et médiane sont confondues). Ainsi AH = AB et H ;0 . 2 2 D L C I J A H B On montre de même facilement d’après le théorèmé de Pythagore dans le triangle AIH rectangle en H 18 1.5 LES EXERCICES D’APPLICATION 1 3 que HI 2 = AI 2 − AH 2 avec AI = AB et AH = AB. On en déduit facilement que HI 2 = AB 2 donc 2 4 √ √ 3 3 AB = AD . HI = 2 2 √ − → −−→ −→ −−→ −−→ −−→ 3 −−→ AD donc AI = AH + HI = AH + AK. Ainsi, si L est le projeté orthogonal de I sur (AD) , on a AK = 2 à √ ! √ −→ − → 1− 3 −−→ 3 1 AD et le point I a pour coordonnées I ; On a donc AI = AB + 2 2 2 2 FOn établira facilement en travaillant dans le triangle équilatéral BJC que J ⎛ à ! √ 3 1 1+ ; 2 2 ⎞ ⎛ √ ⎞ 1 3 − 0 − 0 1 + −→ ⎜ ⎟ −→ ⎜ ⎟ 2 Il n ereste plus qu’à calculer les coordonnées des vecteurs : DI ⎝ √2 ⎠ et DJ ⎝ ⎠ 3 1 −1 −1 2 2 ⎞ ⎛ √ ⎞ ⎛ 1 3 −→ ⎜ ⎟ −→ ⎜ 2 + 1 ⎟ et DJ Donc DI ⎝ √ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ 3 − −1 2 2 Ã√ ! Ã√ ! µ ¶ 1 1 −1 3 −1 3 3 La condition de colinéarité est vérifiée puisque × − = et +1 −1 = −1= 2 2 4 2 2 4 4 ¯ ¯ √ ¯ ¯ 1 ! Ã√ ! 3 µ ¶ Ã√ ³−→ −→´ ¯ + 1 ¯¯ 1 1 3 3 ¯√ 2 2 = × − Ou encore, det DI, DJ = ¯ − +1 − 1 = 0 donc les vecteurs sont 1 ¯¯ 2 ¯ 3 2 2 2 −1 − ¯ ¯ 2 2 colinéaires. −→ −→ Les vecteurs DI et DJ étant colinéaires, les points D, I et J sont alignés.
