Fonctions de référence. I Fonction valeur absolue II Fonctions u + k
Transcription
Fonctions de référence. I Fonction valeur absolue II Fonctions u + k
Cours 1S I Fonctions de référence. Fonction valeur absolue Définition 1 (Valeur absolue d’un réel). La valeur absolue de x, notée |x|, est la distance entre x et zéro. Ainsi : • |x| = x si x est positif ; • |x| = −x si x est négatif. Propriété 1. Si A et B sont deux points d’abscisses respectives a et b sur la droite des réels, alors AB = |a − b| = |b − a|. II y = |x| 1 0 1 Fonctions u + k et ku Définition 2 (Fonction u + k). Soit u une fonction définie sur un ensemble D et k un réel. La fonction notée u + k est la fonction définie sur D par x 7−→ u (x) + k. Propriété 1. Dans un plan muni d’un repère (O;~ı ; ~ ), la courbe C u+k est l’image de la courbe Cu par la translation de vecteur k~. Définition 3 (Fonction ku). Soit u une fonction définie sur un ensemble D et k un réel. La fonction notée ku est la fonction définie sur D par x 7−→ k × u (x). III Sens de variation d’une fonction Définition 4. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est : • croissante sur I lorsque pour tous les réels a et b dans I : a < b =⇒ • strictement croissante : a < b =⇒ • décroissante : a < b =⇒ : a < b =⇒ • strictement décroissante • monotone sur I lorsque f est croissante sur I ou décroissante sur I. f (a) 6 f (b) f (a) < f (b) f (a) > f (b) f (a) > f (b) Méthode : Déterminer le sens de variation d’une fonction. Énoncé : Prouver que la fonction carré est croissante sur [0; +∞[. Preuve : Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) = x2 . Soit a et b dans [0; +∞[ avec a < b. On veut comparer f (a) et f (b) pour cela on étudie le signe de leur différence : f (a) − f (b) = a2 − b2 = (a + b)(a − b) < 0. | {z } | {z } >0 <0 Comme a > 0 et b > 0, on a (a + b) > 0. Comme a < b, on a (a − b) < 0. Ainsi (a + b)(a − b) < 0, soit a2 − b2 < 0 et donc a2 < b2 . On a prouvé que pour tous a et b dans [0; +∞[ on a l’implication : a < b =⇒ f (a) < f (b). Ainsi f est bien strictement croissante sur [0; +∞[. Propriété 2. Soit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un nombre réel. • La fonction u + k a le même sens de variation que u sur I. • La fonction ku a le même sens de variation que u sur I si k > 0 et de sens contraire si k < 0. IV Fonction racine carrée Définition 5. La fonction racine carrée est la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = √ x. Propriété 2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[. Autres formulations : √ • plus x est grand, plus x est grand. • Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées. • Dans une inégalité avec des nombres positifs, on peut prendre la racine carrée des deux membres sans en changer √ le sens. Exemple : Je dis que : 1 < √ 2 < 2.√ √ Preuve : 1 < 2 < 4, donc : 1 < 2 < 4 y 1+ 0 1 + 1 x Cours 1S Fonctions de référence. √ Démonstration. Posons f (x) = x. Soit a et b deux réels tels que 0 6 a < b. Comparons f (a) et f (b) en étudiant le signe de leur différence : √ √ √ √ √ 2 √ 2 √ (Astuce !) ( a − b)( a + b) √ a − b a−b √ √ = √ √ . = f (a) − f (b) = a − b = √ √ a + b a + b a+ b √ √ a − b < 0 et a + b > 0 donc f (a) − f (b) < 0 donc f (a) < f (b). Propriété 3 (Positions relatives de √ courbes). • ∀x ∈ [0 ; 1] : √x2 6 x 6 x • ∀x ∈ [1 ; +∞[ : x 6 x 6 x2 . y = x2 Démonstration. 1er cas : On suppose que 0 6 x 6 1. On muliplie chaque membre par x : x2 6 x. + La fonction racine √ √ √ carrée est croissante sur R donc x 6 1 donc x 6 1. √ √ On multiplie chaque membre par x : x6 x 2nd cas : On suppose que 1 6 x On muliplie chaque membre par x : x 6 x2 . La fonction racine carrée est √ √ √ croissante sur [0 ; +∞[ donc 1 6 x donc 1 6 x. √ √ On muliplie chaque membre par x : x 6 x. y=x y= √ x 1+ 0 + 1 Propriété 4. Si u est une fonction monotone et positive sur un intervalle I, alors la fonction même sens de variation que u sur I. √ u a le Démonstration. Dans le cas où u est croissante sur I. Soit a et b deux réels de I tels que a < b. u étant croissante sur I, u(a) p < u(b). De p plus, u (a) > 0 et u(b) √> 0 et la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[ donc u (a) 6 u(b). Ainsi, la fonction u est croissante sur I. La démonstration est analogue lorsque u est décroissante sur I. √ Propriété 5. Pour tout réel x, on a : x2 = |x|. — Devoir en temps libre — En s’inspirant des démonstrations du cours 1 On note f la fonction inverse définie sur R∗ =] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par f (x) = . x 1. Démontrez que f est strictement décroissante sur chacun des intervalles ] − ∞; 0[ et ]0; +∞[. Exercice no 1 2. Soit u une fonction strictement positive et décroissante sur un intervalle I. 1 1 est croissante sur I. Prouvez que la fonction h = définie sur I par h(x) = u u(x) 3. Si maintenant u est une fonction strictement positive et croissante sur l’intervalle I, dire sans 1 démonstration quel sera le sens de variation de h = sur I. u 4. Complétez l’énoncé de la propriété dont on a démontré un cas et qui commence par : Soit u une fonction strictement positive (ou strictement négative) et monotone. . . Application. Différentes composées. Exercice no 2 On donne ci-dessous le tableau de variation d’une fonction u. Déterminez les tableaux de variation des fonctions ci-dessous sur [−2; 3] en utilisant les propriétés vues en cours et à l’exercice précédent. .seriaidémretni noitairav ed xuaelbat sed eriaf ed elitu ertê arruop lI −2 0 0 ❅ u(x) ❅ ❘ ❅ −1 x 1. f (x) = −3u(x) + 2. 1 2. g(x) = . u(x) + 1 p 3. h(x) = −2 u(x) + 1. 2 3 4 ✒