Modèle mathématique.

TERMINALE ES
Corrigé du BAC BLANC
de MATHÉMATIQUES
4 pts
Exercice 1
1–b
2–a
3–c
4–b
5 pts
Exercice 2
Partie A
1) cn + 1 = 1,05 cn car 1,05 correspond au coefficient multiplicateur représentant l’augmentation de 5 %.
0,5 pt
2) La suite (cn) est donc géométrique de raison 1,05 et de premier terme c0 = 600, donc cn = 600  (1,05)n.
0,75 pt
3) À l’aide de la calculatrice, on obtient c22  1755 et c23  1843.
Donc il faut minimum 23 ans pour que le capital ait au moins triplé.
0,75 pt
Partie B
1) d1 = 1,05  600 + 150 = 780.
d2 = 1,05  780 + 150 = 969.
d3 = 1,05  969 + 150 = 1167,45.
0,25 pt
2) L’augmentation de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1,05.
Puis on ajoute 150 au nouveau capital obtenu, donc dn + 1 = 1,05 dn + 150.
0,5 pt
3) Soit vn = dn + 3000.
a) v0 = d0 + 3000 = 3600 et v1 = d1 + 3000 = 3780 ;
0,25 pt
b) vn + 1 = dn + 1 + 3000 = 1,05 dn + 150 + 3000 = 1,05 dn + 3150 = 1,05 (dn + 3000) = 1,05 vn.
On a donc vn + 1 = 1,05 vn donc la suite (vn) est géométrique de raison q = 1,05.
0,5 pt
c) On obtient alors vn = v0  (1,05)n, c’est-à-dire vn = 3600  (1,05)n.
0,5 pt
4) On a vn = dn + 3000 donc dn = vn – 3000, donc dn = 3600  (1,05)n – 3000.
0,25 pt
5) À l’aide de la calculatrice, on obtient d5  1595 et d6  1824.
Donc il faut minimum 6 ans pour que le capital ait au moins triplé.
0,75 pt
5 pts
Exercice 3
1) a)
= 0,7.
b)
= 0,4 et
0,25 pt
= 0,1.
0,5 pt
2) La situation est représentée par l’arbre pondéré ci-contre :
0,4
0,7
0,6
0,1
0,3
0,5 pt
0,9
0,7  0,4 = 0,28.
3) a)
b)
4)
5)
et
constituent une partition de l’univers, donc
0,90.
0,28 et
0,7  0,31 = 0,217.
Il n’y a pas égalité donc les évènements T et B ne sont pas indépendants.
0,5 pt
0,28 + 0,3  0,1 = 0,31.
0,5 pt
0,5 pt
0,5 pt
6)
0,7 + 0,31 – 0,28 = 0,73.
Donc 73 % de la population pratique le tri sélectif ou consomme des produits bio (ou font les deux).
7) a) S  {0, 10, 20, 30}.
0,5 pt
0,25 pt
0,3  0,9 = 0,27;
0,3  0,1 = 0,03;
0,7  0,6 = 0,42;
0,7  0,4 = 0,28;
b)
0,5 pt
c) E(S) = 0  0,27 + 10  0,03 + 20  0,42 + 30  0,28 = 17,1.
Les ménages de cette ville vont donc être récompensés à hauteur d’un montant moyen de 17,10 euros.
0,5 pt
6 pts
Exercice 4
Partie A
1) f (e 2) = (3e 2 – e 2) ln (e 2) + 10 = 2 e 2  2 + 10 = 4 e 2 + 10  39,56 à 0,01 près.
2) f = uv + 10 donc f ’= u’v + uv’ avec u(x) = (3e 2 – x) donc u’(x) = – 1 et v(x) = ln x donc v’(x) =
On obtient : f ’(x) = – ln x +
0,75 pt
1
.
x
3e 2 – x
3e 2
= – ln x +
– 1.
x
x
0,75 pt
3) a) f ’est strictement décroissante et f ’(e 2) = 0 donc f ’(x) > 0 pour x  ]0 ; e 2[ et f ’(x) < 0 pour x  ]e 2 ; 20].
b) f ’ est strictement décroissante sur ]0 ; 20], ce qui revient à dire que f est concave sur ]0 ; 20].
c) D’après la question a (qui donne le signe de f ’), on peut dire que f est strictement croissante sur ]0 ; e 2[
et f est strictement décroissante sur ]e 2 ; 20].
x
0
e2
f (e 2)
0,5 pt
0,5 pt
0,75 pt
20
f (x)
f (20)
4) a) Sur l’intervalle [0,6 ; 0,7], la fonction f est continue et strictement croissante.
De plus f(0,6)  –1,02 < 0 et f(0,7)  2,34 > 0.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique  de [0,6 ; 0,7] tel que f() = 0.
À l’aide de la calculatrice, on obtient f (0,628)  – 0,02 et f (0,629)  0,014,
Donc la valeur approchée par excès de  à 0,001 près est 0,629.
1 pt
b) D’une part, f est strictement croissante sur ]0 ; e 2[. Or  < e 2, donc f est strictement croissante sur ]0 ; ].
Comme f () = 0, on peut affirmer que f (x) < 0 pour x  ]0 ; [ et que f (x) > 0 sur ] ; e 2].
D’autre part, f est strictement décroissante sur ]e 2 ; 20] et f (20)  16,5 > 0, donc f (x) > 0 pour x  [e 2 ; 20].
0,5 pt
Partie B
1) Le bénéfice est donné par la fonction f, or f (x) est positif à partir de x =   0,629.
Donc il faut fabriquer au minimum 629 DVD pour obtenir un bénéfice positif.
0,5 pt
2) La fonction f atteint son maximum en x = e 2  7,389 donc c’est en produisant 7389 DVD que le bénéfice est maximal.
Et comme f (e 2)  39,556 on peut dire que ce bénéfice maximal est d’environ 39560 euros, à 10 euros près.
0,75 pt