Lycée Saint Sernin TOULOUSE ~ DC2 – 1S ~ Lundi 2 Mars 2015

Lycée Saint Sernin TOULOUSE
~ DC2 – 1S
~
Lundi 2 Mars 2015 ~ 51 Min.
Exercice 1 : (2 Pts. )
Soit la suite (un) définie pour n entier naturel par : un = n² - n.
1Prouver que pour tout entier n, on a : un+1 = un + 2n
2Montrer que la suite (un) est croissante.
Exercice 2 : (5 Pts. ) Soit la suite (vn) définie par v0 =4 et pour tout entier naturel n, vn+1 = 2vn – 3.
1Calculer v3 sans calculatrice.
2Voici un algorithme. Expliquer ce que fait cet algorithme en liaison
Saisir N
avec la suite (vn) .
Affecter 4 à la variable A
3Calculez v10 (méthode à votre convenance mais clairement explicitée.)
POUR I de 1 à N,
Affecter 2A-3 à la variable A
4En admettant que, pour tout entier naturel n, vn  4, montrer que
Fin POUR
la suite (vn) est croissante.
Afficher A.
5Déterminer à la calculatrice le plus petit entier n qui vérifie : pour tout
0
entier n, si n  n0 alors un > 10 . (On donnera quelques explications)
9
Exercice 3 : (3 Pts. Seule la justification est valorisée)
La courbe C’ ci-contre est la représentation graphique d’une fonction f ’,
fonction dérivée d’une fonction f , définie et dérivable sur , qu’on ne précise
pas.
Répondre par « vrai » ou « faux » puis justifier votre réponse.
1. Pour tout réel x inférieur ou égal à -1, on a f ’(x) positif.
2. La fonction f est croissante sur [0 ; 2].
3. La courbe de la fonction f admet une tangente horizontale au point
d’abscisse -1
1
Exercice 4 : (5 Pts. ) Soit la fonction définie sur * par f(x) = x + .
x
1Expliquer pourquoi f est dérivable sur tout intervalle de son ensemble
de définition.
2Pour x réel non nul, calculer f ’(x).
3Etudier le signe de f ’(x) pour x non nul, puis donner les variations de f sur son ensemble de définition.
4Déterminer les coordonnées des points de la courbe de la fonction f, où la tangente est parallèle à la
droite d d’équation y = 0,5 x + 4
Exercice 5 : (1,5 Pts. )
Vrai ou Faux ? Argument ou preuve !
Pour une parabole P qui représente une fonction polynôme du second degré, il existe deux points de P, différents,
où les tangentes sont parallèles. (Argumenter à partir d’un graphique ne suffit pas)
Exercice 6 : (3,5 Pts. 2+1,5 )
ABCD est un parallélogramme. La figure vous est donnée seulement pour aider votre raisonnement qui s’appuiera
exclusivement sur le calcul vectoriel (partie 1) ou algébrique (partie 2)
Partie 1 :
 

1Exprimer le vecteur DB à l’aide des seuls vecteurs AB et AD
 2  1 
2Le point E est défini par l’égalité vectorielle : DE  AB  AD .
3
3

 
Exprimer le vecteur CE à l’aide des seuls vecteurs AB et AD
3Peut-on en déduire le parallélisme des droites (EC) et (DB)
(justifier)
Partie 2
On se place maintenant dans le repère (A,B,D). Donner sans justification les coordonnées des points A,
B, C, et D.
a. Cherchez une équation de la droite (BD).
1 2 1 2
b. Les points B, D, et H(
;
) sont-ils alignés ?
2
2