Première S - Fonction inverse de u

Fonctions
I) Fonction
1) Définition
Soit une fonction définie sur un ensemble D et non nulle sur D ( c’est à
dire que pour tout  D on a
).
est définie pour tout ∊ D par :
La fonction
↦
Exemples
1°) Si est la fonction
4
2 sur D =
\ { 2 } alors (
2°) Si
1 sur D =
\ { – 1 ; 1 }
est la fonction
alors (
)( )
)( )
2) Etude
Soit une fonction définie sur un ensemble D, non nulle sur D et
monotone sur l’intervalle I (I ⊂ D).
La fonction
possède sur I le sens de variation contraire de celui de la
fonction .
• 1er cas :
Supposons la fonction
Pour tout nombre
croissante sur I :
et deI, si étant non nulle sur I,
alors
est définie sur I
La fonction inverse étant strictement décroissante on a :
, c'est-à-dire :
Ce qui prouve que la fonction
est décroissante sur I.
• 2emecas :
Supposons la fonction
Pour tout nombre
décroissante sur I :
et deI, si ≤ alors
étant non nulle sur I,
est définie sur I
La fonction inverse étant strictement décroissante on a:
, c'est-à-dire :
Ce qui prouve que la fonction
est croissante sur I.
On dit que les fonctions et
ont des variations contraires sur I.
3) Exemples
1°) Etude de la fonction
La fonction
définie par
est de la forme a) La fonction
1
avec
=
définie pour tout
est définie sur l’ensemble où 4– 2 par
4– 2
0soit sur D = \ { 2 }
b) La fonction est strictement décroissante sur les deux intervalles ] - ∞ ; 2 [ et
] 2 ; + ∞ [ composant D donc est strictement croissante sur chacun de ces
intervalles
c) Courbes :
2°) Etude de la fonction
La fonction
définie par
est de la forme 1
=
avec définie pour tout
a) La fonction est définie sur l’ensemble où
D =] -∞ ; - 1 [ ] – 1 ; 1 [  ] 1 ; + ∞[
1
par
=
1
0 soit sur
b) La fonction ( fonction trinôme) est strictement décroissante sur les intervalles
] -∞ ; - 1 [ et ] -1 ; 0 ] donc est strictement croissante sur ces intervalles.
La fonction (fonction trinôme) est strictement croissante sur les intervalles
[0 ; 1[ et ] 1 ; + ∞ [) donc est strictement décroissante sur ces intervalles.
c) Courbes :
Exemple plus complexe utilisant plusieurs fiches de cours différentes
Etude de la fonction f définie par
La fonction
est de la forme =
| |
avec définie pour tout
par
| |
4
a) La fonction n’est définie que sur l’ensemble où | | 4 0 soit
D=[-4;4]
La fonction est définie sur l’ensemble où
≠ 0 soit ≠- 4 et ≠ 4 donc
finalement est définie sur l’intervalle ] – 4 ; 4 [
b) La fonction est strictement croissante sur l’intervalle]-4 ; 0] puisqu’elle varie
comme la fonction définie par
= | | 4
(voir les fiches de cours fonctions racine carrée de , valeur absolue, + et
donc est strictement décroissante sur cet intervalle.
)
c) La fonction est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 4[ puisqu’elle varie
comme la fonction définie par
=-| | 4 (voir les fiches de cours fonctions
valeur absolue,
+ et u) donc est strictement décroissante sur cet intervalle.
d) Courbes :
Les deux droites verticales en
pointillées indiquent que les
réels -4 et 4 n’ont pas d’image
par