Séquence 11 : Fonction carrée Trinôme du second degré

Séquence 11 : Fonction carrée
Trinôme du second degré
I.
La fonction carrée
Définition : La fonction définie sur ℝ, qui à tout réel
On la note
associe son carré
Propriété (admise): La fonction carrée est décroissante sur
, est appelée la fonction carrée.
et croissante sur
Tableau de variation de la fonction carrée :
Variations
de
0
Définition : Dans un repère orthogonal d’origine O, la représentation graphique de la fonction carrée est
appelée parabole de sommet O.
Représentation graphique :
Propriété : Dans un repère orthogonal, la parabole
rapport à l’axe des ordonnées.
Démonstration :
ℝ, le point
est le point
de coordonnées –
II.
représentant la fonction carrée est symétrique par
de coordonnées
. Or
donc
. Son symétrique par rapport à l’axe
.
Trinôme du second degré
1. La fonction :
Sens de variation de :
Propriété (admise) : Considérons la fonction :
 Si
, alors la fonction est décroissante sur
 Si
, alors la fonction est croissante sur
avec
.
et croissante sur
et décroissante sur
Représentation graphique de :
Définition : Considérons la fonction :
avec
. Dans un repère orthonormé, la
représentation graphique de est une parabole
de sommet
, . admet donc un extremum de
coordonnées , tel que
.
On admet que cette parabole a pour axe de symétrie la droite passant parle sommet et parallèle à l’axe
des ordonnées.
Tableau de variation de
Cas 1 : Si
:
Cas 2 : Si
La parabole est tournée « vers le haut ».
La parabole est tournée « vers le bas »
Remarque : la parabole admet un axe de symétrie qui passe par
,
ou
,
2. Fonction polynôme de degré 2
Définition : On dit qu’un fonction est un polynôme de degré 2 si
nombres réels tel que
, et tel que pour tout réel :
développée de
.
Remarque : On admet que
peut aussi s’écrire sous la forme
nombres réels. Il s’agit de la forme canonique de
.
Exemple :
ℝ,
Cette fonction est de la forme :
ℝ
avec
,
et
.
C’est donc une parabole de sommet
.
Comme
alors la parabole est tournée vers le bas.
Ainsi, est croissante sur
et décroissante sur
Le tableau de variation de est :
2
Comme
alors le point
La forme développée de
est
Enfin
et
ainsi
peut s'écrire
ℝ
C'est la forme factorisée de
.
ℝ
.
est définie sur ℝ et s’il existe des
. Il s’agit de la forme
où
et
sont des