Fonctions composées EXOS CORRIGES

Cours et exercices de mathématiques
M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr
FONCTIONS COMPOSEES – EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1.
On considère les fonctions suivantes : f1 : x → x 2 , f 2 : x → x et g1 : x → x − 4
Donner l’ensemble de définition et l'expression des fonctions composées suivantes :
1) g1 D f1
2) f1 D g1
3) g1 D f 2
4) f 2 D g1
5) f1 D f1
Déterminer deux fonctions u et v telles que f = v D u
1) f ( x) = ( x − 3)
2) f ( x ) =
2
1
x
3) f ( x ) = 3 x − 1
Ecrire g comme composée de trois fonctions : g ( x ) =
f1 D g1 D f 2
π

4) f ( x ) = sin  3x − 
2

1
x +3
2
Exercice n°2.
Ecrire les expressions correspondant aux montages suivants, c’est-à-dire le résultat obtenu en entrant x dans le montage
×7
−2
1) 
→ 
→
×3
(.)²
×( −2)
+3
3) 
→ 
→ 
→
−2
×7
2) 

→ 
→
1
(.)
+5
→ 
→ 
→
4) 
Exercice n°3.
Soit f la fonction définie sur ]−∞;3] par f ( x) = 2 + 3 − x et g la fonction définie sur [ 2;+∞[ par g ( x) = − x 2 + 4 x − 1
1) Montrer que pour tout x ∈ [ 2; +∞[ , ( f D g )( x) = x
2) Montrer que pour tout x ∈ ]−∞;3] , ( g D f )( x) = x
3) Est-ce que, dans cet exemple, g D f = f D g ?
Exercice n°4.
Soit f et g deux fonctions définies sur \ par f ( x) = 3x − 5 et g ( x) =
2 x2 + 1
.
x2 + 1
1) Démontrez que pour tout réel x, on a 1 ≤ g ( x) < 2
2) Démontrez que la fonction g D f est bornée sur \ (c’est-à-dire qu’il existe un minorant m et un majorant M tels que
pour tout réel x, on ait, m ≤ ( g D f )( x) ≤ M
3) Démontrez que pour tout x ∈ \ , on a −2 ≤ ( f D g )( x ) < 1
Exercice n°5.
Deux fonctions f et g définies sur l’intervalle [-4, 6] sont
représentées ci-contre.
Etudier le sens de variation de g D f
Exercice n°6.
On considère les fonctions suivantes : f : x → x 2 + 4 et g : x → x − 4
1) Soit I = ]−∞;0] . Déterminer f ( I )
2) Soit J = [5; +∞[ . Déterminer g ( J )
Exercice n°7.
Déterminer deux fonctions f et g telles que h soit la composée de f suivie de g, puis étudier le sens de variation de h.
1) h( x) = ( 2 x + 4 )
2
2) h( x) = ( 5 − 2x )
2
3) h( x) = 7 − x 2
Exercice n°8.
Soit f ( x) =
x
en n ∈ `* . Exprimer ( f D f D f D ..... D f ) ( x) en fonction de x et de n.
x +1
n fois f
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4) h( x) =
1
x+4
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CORRECTION
Exercice n°1
1) Puisque f1 et g1 sont définies sur \ , il est sûr que g1 D f1 sera définie sur \ , et pour tout x ∈ \ ,
( )
g1 D f1 ( x ) = g1 ( f1 ( x ) ) = g1 x 2 = x 2 − 4
2) Puisque f1 et g1 sont définies sur \ , il est sûr que f1 D g1 sera définie sur \ , et pour tout x ∈ \ ,
f1 D g1 ( x ) = f1 ( g1 ( x ) ) = f1 ( x − 4 ) = ( x − 4 )
2
On constate qu’en général g1 D f1 ≠ f1 D g1
3) f 2 est définie sur [ 0; +∞[ et g1 est définie sur \ , donc g1 D f 2 sera définie sur [ 0; +∞[ , et pour tout x ∈ [ 0; +∞[ ,
g1 D f 2 ( x ) = g1 ( f 2 ( x ) ) = g1
( x)=
x −4
4) f 2 est définie sur [ 0;+∞[ et g1 est définie sur \ . f 2 D g1 sera donc définie pour toutes les valeurs de x pour lesquelles
g1 ( x ) ∈ [ 0; +∞[ (pour que le calcul de f 2 ( g1 ( x ) ) soit possible).
Or g1 ( x ) ∈ [ 0; +∞[ ⇔ g1 ( x ) ≥ 0 ⇔ x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 ⇔ x ∈ [ 4; +∞[
Donc f 2 D g1 est définie sur [ 4;+∞[ , et pour tout x ∈ [ 4; +∞[ , f 2 D g1 ( x ) = f 2 ( g1 ( x ) ) = f 2 ( x − 4 ) = x − 4 .
Encore une fois, on constate g1 D f 2 ≠ f 2 D g1
( ) ( )
5) Puisque f1 est définie sur \ , f1 D f1 le sera aussi, et pour tout x ∈ \ , f1 D f1 ( x ) = f1 ( f1 ( x ) ) = f1 x 2 = x 2
2
= x4
6) Puisque f 2 est définie sur [ 0; +∞[ , et puisque f1 et g1 sont définies sur \ , le calcul de f1 D g1 D f 2 ( x ) ne sera
possible que si x ∈ [ 0; +∞[ , et pour tout x ∈ [ 0; +∞[ ,
(
)
( ( x )) = f (
f1 D g1 D f 2 ( x ) = f1 g1 ( f 2 ( x ) ) = f1 g1
1
) (
x −4 =
x −4
)
2
La décomposition de f à l’aide de deux fonctions u et v peut, en général, être effectuée de plusieurs manières.
1) Pour f ( x) = ( x − 3) , on peut poser u ( x) = x − 3 et v( x) = x 2
2
2) Pour f ( x ) =
1
, on peut poser u ( x) = x et v( x) =
1
x
x
3) Pour f ( x ) = 3 x − 1 , on peut poser u ( x) = 3x − 1 et v( x) = x , mais on peut aussi poser u ( x ) = 3 x et v( x) = x − 1
π
π

et v( x) = sin ( x ) , mais on peut aussi poser u ( x ) = 3 x et
4) Pour f ( x ) = sin  3x −  , on peut poser u ( x) = 3 x −
2
2

π

v( x) = sin  x − 
2

On peut écrire, par exemple, g = w D v D u , avec u ( x) = x 2 + 3 , v( x) = x et w( x) =
1
x
Exercice n°2
Ecrire les expressions correspondant aux montages suivants, c’est-à-dire le résultat obtenu en entrant x dans le montage
×7
−2
→ 7 x 
→7x − 2
Montage n°1 : x 
(.)²
×( −2)
−2
×7
Montage n°2 : x 
→ x − 2 
→ 7 ( x − 2 ) = 7 x − 14
+3
→ x 2 
→ −2 x 2 
→ −2 x 2 + 3
Montage n°3 : x 
1
(.)
×3
+5
Montage n°4 : 3 
→ 3 x 
→ 3 x + 5 
→
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1
3x + 5
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Exercice n°3
Soit f la fonction définie sur ]−∞;3] par f ( x) = 2 + 3 − x et g la fonction définie sur [ 2;+∞[ par g ( x) = − x 2 + 4 x − 1
1) Pour tout x ∈ [ 2; +∞[ ,
(
)
( f D g )( x) = f ( g ( x ) ) = 2 + 3 − g ( x ) = 2 + 3 − − x 2 + 4 x − 1 = 2 + x 2 − 4 x + 4 = 2 +
( x − 2)
2
= 2+ x−2
Mais puisque x ∈ [ 2; +∞[ , x ≥ 2 ⇔ x − 2 ≥ 0 donc x − 2 = x − 2 , et ainsi ( f D g )( x) = 2 + x − 2 = 2 + x − 2 = x
2) Pour tout x ∈ ]−∞;3] ,
( g D f )( x) = g ( f ( x ) ) = − ( f ( x ) ) + 4 f ( x ) − 1
2
(
= − 2+ 3− x
)
2
(
)
+ 4 2 + 3 − x −1
= −  4 + 4 3 − x +

(
3− x
)  + 8 + 4
2
3 − x −1
= −4 − 4 3 − x − ( 3 − x ) + 8 + 4 3 − x − 1 = −4 − ( 3 − x ) + 8 − 1 = x
3) Puisque les deux ensembles de définitions de g D f et f D g son différents, on ne peut pas conclure que g D f = f D g .
En revanche, pour tout x ∈ [ 2;3] , g D f ( x ) = f D g ( x )
Exercice n°4
Soit f et g deux fonctions définies sur \ par f ( x) = 3x − 5 et g ( x) =
2 x2 + 1
.
x2 + 1
2x2 + 1
2 x2 + 1 2 x2 + 2
2
2
, donc g ( x) < 2 .
1
2
+
1
<
2
+
2
⇔
< 2
≥
,
et
x
x
x2 + 1
x2 + 1
x +1
2
2 f ( x) +1
< 2 , c’est-à-dire 1 ≤ ( g D f )( x) < 2
2) Pour tout réel x, f ( x) ∈ \ , donc d’après la question 1), on aura 1 ≤
2
f ( x) +1
1) Pour tout x ∈ \ , 2 x 2 + 1 ≥ x 2 + 1 > 0 , donc
3) Pour tout réel x, 1 ≤ g ( x) < 2 . Puisque f est strictement croissante sur \ , on peut donc écrire que pour tout réel x,
f (1) ≤ f ( g ( x) ) < f ( 2 ) , c’est-à-dire −2 ≤ ( f D g )( x ) < 1
Exercice n°5
[ −2;2]
Sur le graphique, on « lit » que f est strictement croissante sur [ −4; −2] , strictement décroissante sur
et enfin strictement croissante sur [ −2;6] . Enfin, on lit que g est strictement croissante sur [ −4;4] et strictement
décroissante sur [ 4;6] .
Sur l’intervalle [ −4; −2] , f est strictement croissante, et pour tout x ∈ [ −4; −2] , f ( x ) ∈ [ 2;4] , intervalle sur lequel g est
strictement croissante. La composée g D f sera donc strictement croissante sur [ −4; −2] .
Sur l’intervalle [ −2;2] , f est strictement décroissante, et pour tout x ∈ [ −2;2] , f ( x ) ∈ [ −2;4] , intervalle sur lequel g est
strictement croissante. La composée g D f sera donc strictement décroissante sur [ −2;2] .
Sur l’intervalle [ 2;4] , f est strictement croissante, et pour tout x ∈ [ 2;4] , f ( x ) ∈ [ −2;0] , intervalle sur lequel g est
strictement croissante. La composée g D f sera donc strictement croissante sur [ 2;4] .
Sur l’intervalle [ 4;6] , f est strictement croissante, et pour tout x ∈ [ 4;6] , f ( x ) ∈ [ 0;4] , intervalle sur lequel g est
strictement croissante. La composée g D f sera donc strictement croissante sur [ 4;6] .
Exercice n°6
1) Soit x ∈ I = ]−∞;0] , alors
x ≤ 0 ⇒ x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 4 ≥ 4 , c’est-à-dire
f ( I ) = [ 4; +∞[
f ( x ) ∈ [ 4; +∞[ . On conclut donc que
2) Soit x ∈ J = [5; +∞[ , alors x ≤ 5 ⇒ x − 4 ≤ 1 , c’est-à-dire g ( x ) ∈ ]−∞;1] . On conclut donc que g ( J ) = ]−∞;1]
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Exercice n°7
1) On décompose h = g D f avec f ( x) = 2 x + 4 qui est strictement croissante sur \ et g ( x) = x 2 qui est strictement
décroissante sur ]−∞;0] et strictement croissante sur [ 0; +∞[
Puisque g s’applique à f ( x) = 2 x + 4 , il faut distinguer les deux cas f ( x) ≤ 0 et f ( x) ≥ 0 .
Ainsi :
- Sur ]−∞; −2] , f est strictement croissante, et pour tout x ∈ ]−∞; −2] , f ( x) = 2 x + 4 ≤ 0 , c’est-à-dire f ( x) ∈ ]−∞;0] ,
intervalle sur lequel g est strictement décroissante. Par composition, on conclut que g D f est strictement décroissante sur
]−∞; −2] .
- Sur [ 2; +∞[ , f est strictement croissante, et pour tout
x ∈ [ 2; +∞[ , f ( x) = 2 x + 4 ≥ 0 , c’est-à-dire f ( x) ∈ [ 0; +∞[ ,
intervalle sur lequel g est strictement croissante. Par composition, on conclut que g D f est strictement croissante sur
[ 2; +∞[ .
2) On décompose h = g D f avec f ( x) = −2 x + 5 qui est strictement décroissante sur \ et g ( x) = x 2 qui est
strictement décroissante sur ]−∞;0] et strictement croissante sur [ 0; +∞[
Puisque g s’applique à f ( x) = −2 x + 5 , il faut distinguer les deux cas f ( x) ≤ 0 et f ( x) ≥ 0 .
Ainsi :
5
5


f ( x) = −2 x + 5 ≥ 0 , c’est-à-dire




f ( x) ∈ [ 0; +∞[ , intervalle sur lequel g est strictement croissante. Par composition, on conclut que g D f est strictement
- Sur  −∞;  , f est strictement décroissante, et pour tout x ∈  −∞;  ,
2
2
5



5

5

- Sur  ; +∞  , f est strictement décroissante, et pour tout x ∈  ; +∞  , f ( x) = −2 x + 5 ≤ 0 , c’est-à-dire
2

2

f ( x) ∈ ]−∞;0] , intervalle sur lequel g est strictement décroissante. Par composition, on conclut que g D f est
décroissante sur  −∞;  .
2
5

strictement croissante sur  ; +∞  .
2

3) On décompose h = g D f avec f ( x) = x 2 qui est strictement décroissante sur ]−∞;0] et strictement croissante sur
[0; +∞[
et g ( x) = −7 x + 1 qui est strictement décroissante sur \ .
Ainsi :
- Sur ]−∞;0] , f est strictement décroissante, et pour tout x ∈ ]−∞;0] , f ( x) ∈ ]−∞; +∞[ (c’est une évidence !), intervalle
sur lequel g est strictement décroissante. Par composition, on conclut que g D f est strictement croissante sur ]−∞;0] .
- Sur [ 0; +∞[ , f est strictement croissante, et pour tout x ∈ [ 0; +∞[ , f ( x) ∈ ]−∞; +∞[ (c’est une évidence !), intervalle
sur lequel g est strictement décroissante. Par composition, on conclut que g D f est strictementdé croissante sur [ 0; +∞[ .
4) On décompose h = g D f avec f ( x) = x + 4 qui est strictement croissante sur \ , et g ( x) =
décroissante sur ]−∞;0[ et ]0; +∞[ .
1
qui est strictement
x
Ainsi :
- Sur ]−∞; −4[ , f est strictement croissante, et pour tout x ∈ ]−∞; −4[ , f ( x) ∈ ]−∞;0[ , intervalle sur lequel g est
strictement décroissante. Par composition, on conclut que g D f est strictement décroissante sur ]−∞; −4[ .
- Sur ]−4; +∞[ , f est strictement croissante, et pour tout x ∈ ]−4; +∞[ , f ( x) ∈ ]0; +∞[ , intervalle sur lequel g est
strictement décroissante. Par composition, on conclut que g D f est strictement décroissante sur ]−4; +∞[ .
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Exercice n°8
x
Soit f ( x) =
en n ∈ `* . Exprimer ( f D f D f D ..... D f ) ( x) en fonction de x et de n.
x +1
n fois f
Pour x ≠ −1 , on commence par calculer
x
x
x
f ( x)
x
x +1
x +1
= x +1 =
= x +1 =
×
( f D f ) ( x) =
x
x
x + 1 2x + 1 x + 1 2x + 1
f ( x) +1
+1
+
x +1
x +1 x +1
x +1
x
=
2x + 1
puis
( f D f D f ) ( x) = f D ( f D f ) ( x) = f ( ( f D f ) ( x) )
x
x
x
2x + 1
x
2x + 1
=
= 2x + 1 =
= 2x + 1 =
×
2
1
3
1
x
x
x
+
x
+
2 x + 1 3x + 1
( f D f ) ( x) + 1
+1
+
2x + 1
2x + 1 2x + 1 2x + 1
x
=
3x + 1
( f D f ) ( x)
On conjecture ainsi que pour tout n ∈ `* et pour tout x ≠ −
1
x
, on a ( f D f D f D ..... D f )( x) =
.
nx + 1
n
n fois f
Démontrons cette propriété par récurrence sur n.
Notons, pour n ∈ `* , P ( n ) la propriété « pour tout x ≠ −
1
x
, ( f D f D f D ..... D f )( x) =
.»
nx
+
1
n
n fois f
Initalisation : La propriété P (1) est vraie par définition
Hérédité : On suppose la propriété P ( n ) vraie pour un certain entier n.
Alors,
( f D f D f D ..... D f ) ( x)


n fois f
( f D f D f D ..... D f )( x) = f  ( f D f D f D ..... D f ) ( x)  =
 ( f D f D f D ..... D f ) ( x) + 1
 n +1 fois f
n fois f

 n fois f
D’après l’hypothèse de récurrence,
x
( f D f D f D ..... D f )( x) = nx + 1
x
n +1 fois f
+1
nx + 1
x
x
x
nx + 1
nx + 1
=
= nx + 1 =
×
x
nx + 1 ( n + 1) x + 1 nx + 1 ( n + 1) x + 1
+
nx + 1 nx + 1
nx + 1
x
=
1
+
n
( ) x +1
Cette dernière égalité est la propriété P ( n + 1) .
Ainsi P ( n ) ⇒ P ( n + 1) , ce qui achève la phase d’hérédite, et la démonstration par récurrence.
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