Limites d`une fonction : définitions et théorèmes de comparaison

Vestiges d'une terminale S – Limites d'une fonction : définitions et théorèmes de comparaison
Pour une fonction, il existe quatre familles de limites. Ces notions assez intuitives
peuvent être définies de manière stricte et rigoureuse. Pour chaque grande catégorie de
limites, nous ne définirons qu'un cas particulier et nous laisserons au lecteur le soin d'en
déduire les autres caractérisations.
Dans le présent document, on appelle (C) la courbe représentant la fonction f.
Limite infinie à l'infini
Dire que la fonction f tend vers +∞ lorsque x tend
vers +∞ signifie pratiquement que lorsque x s'en
va vers +∞ , f(x) devient de plus en plus grand
sans que rien ne puisse l'arrêter.
Autrement dit, quelque soit le niveau M que l'on se
fixe, il existe un moment x 0 à partir duquel la
courbe (C) sera toujours au-dessus de ce niveau M.
A partir de cela, on établit la définition suivante :
M
(C)
x0
Au lieu de s'envoler vers +∞ , f ( x ) peut plonger vers −∞ . La définition est alors :
lim f ( x ) = −∞ ⇔ Pour tout réel M, il existe un instant x 0 à partir duquel f ( x ) ≤ M
x →+∞
Limite finie à l'infini
l +ε
l
l −ε
(C)
x0
duquel la distance entre f(x) et l est inférieure à ε.
Définition d'une limite finie à l'infini
Dire que la fonction f tend vers l lorsque x tend vers +∞ signifie que quelque soit le réel
positif ε que l'on se fixe, il existe un moment x 0 à partir duquel on a :
l − ε ≤ f (x) ≤ l + ε ou encore f (x) ∈ [ l − ε; l + ε] ou encore f ( x ) − l ≤ ε
Trois caractérisations équivalentes
M
(C)
a
x0
Définition d'une limite finie en un point a
Dire que la fonction f tend vers +∞ lorsque x tend vers a par la gauche signifie que
quelque soit le réel M que l'on se fixe, il existe un moment x 0 tel que sur l'intervalle
Définition d'une limite infinie à l'infini
Dire que la fonction f tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ signifie que
quelque soit le réel M que l'on se fixe, il existe un moment x 0 à partir duquel f (x) ≥ M .
Dire que la fonction f tend vers le réel l lorsque x
tend vers +∞ signifie pratiquement que lorsque
x s'en va vers +∞ , f(x) se rapproche de plus en
plus de l sans que rien ne puisse s'opposer à cela.
Autrement dit, quelque soit la tolérance ε que
l'on se fixe, il existe un moment x 0 à partir
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Limite infinie en un point
Dire que la fonction f tend vers +∞ lorsque x
tend vers a par la gauche signifie que plus x se
rapproche de a, plus f(x) devient grand et que rien
ne peut s'y opposer.
Autrement dit, quelque soit le niveau M que l'on
se fixe, il existe un moment x 0 à partir duquel et
jusqu'à a, la courbe (C) est toujours au-dessus du
niveau M.
x 0 ; a , on ait f (x) ≥ M .
Une limite +∞ à droite de a se définit de la manière suivante :
lim f ( x ) = +∞ ⇔ Pour tout réel M, il existe un x 0 tel que sur a;x 0  on a f ( x ) ≥ M
+
x →a
Limite finie en un point
Dire que la fonction f tend vers l lorsque x
tend vers a par la gauche signifie que plus x
se rapproche de a, plus f(x) devient proche
de l et que rien ne s'oppose à ceci.
Autrement dit, quelque soit la tolérance ε
que l'on se fixe, il existe un moment x 0 à
partir duquel et jusqu'à a, la distance entre
f(x) et l est inférieure à ε.
l +ε
l
l −ε
(C)
x0
a
Définition d'une limite finie en un point a
Dire que la fonction f tend vers l lorsque x tend vers a par la gauche signifie que quelque
soit le réel positif ε que l'on se fixe, il existe un moment x 0 tel que sur l'intervalle
x 0 ; a , on ait :
l − ε ≤ f (x) ≤ l + ε ou encore f (x) ∈ [ l − ε; l + ε] ou encore f ( x ) − l ≤ ε
Trois caractérisations équivalentes
Note : ces moments x 0 à partir desquels on a telle ou telle inégalité dépendent des
niveaux M ou des tolérances ε que l'on se fixe.
Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)
Vestiges d'une terminale S – Limites d'une fonction : définitions et théorèmes de comparaison
Les théorèmes de comparaison
Limite à l'infini d'une fonction minorée par une consoeur tendant vers l'infini
 lim g ( x ) = +∞
 x →+∞
Si  A partir d'un certain moment x , f ( x ) ≥ g ( x ) alors lim f ( x ) = +∞
0
x →+∞
 La fonction f est minorée par g

La preuve de ce théorème
Pour établir ce théorème à peu près évident, nous allons nous appuyer sur la définition
d'une limite infinie lorsque x tend vers +∞ : nous allons montrer que quelque soit le
niveau M que l'on se fixe, à partir d'un certain moment, la fonction f est toujours audessus de ce niveau M.
Soit M un réel quelconque.
Comme la fonction g tend vers +∞ lorsque x s'en va vers +∞ alors à partir d'un certain
moment x1 , on a : g ( x ) ≥ M .
On appelle x 2 le plus grand des deux réels x 0 et x1 .
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La preuve de ce théorème
Pour ce faire, nous allons utiliser la définition de la limite finie en un point
Soit ε un réel positif quelconque. C'est notre fameuse tolérance.
Comme lorsque x tend vers +∞ , g ( x ) et h ( x ) tendent vers le réel ℓ alors :
•
Il existe un moment x1 à partir duquel ℓ − ε ≤ g ( x ) ≤ ℓ + ε
•
Il existe un moment x 2 à partir duquel ℓ − ε ≤ h ( x ) ≤ ℓ + ε
Appelons x 3 le plus grand des trois réels x 0 , x1 et x 2 .
l +ε
l
l −ε
f
g
h
x0
x1 = x 3
x2
Dans le présent cas...
A partir de ce moment x 3 , nous avons :
M
ℓ − ε ≤ g(x)
On est au − delà de x1
g
≤ f (x) ≤
h (x) ≤ ℓ + ε
On est au-delà de x 2
Conclusion : quelque soit la tolérance ε choisie, à partir de l'instant x 3 , f ( x ) est
f
x0
toujours coincé entre ℓ − ε et ℓ + ε . Donc lorsque x tend vers +∞ , f ( x ) tend vers ℓ .
x1 = x 2
Dans le cas présent
A partir de cet instant x 2 , nous avons : f ( x ) ≥ g ( x ) et g ( x ) ≥ M . Donc f ( x ) ≥ M .
Car on est
au-delà de x 0
Car on est
au-delà de x1
Conclusion : quelque soit le réel M que l'on se fixe, à partir de l'instant x 2 , f ( x ) est
toujours supérieur au niveau M. Donc la fonction f s'envole vers +∞ .
De même, on établit qu'à l'infini, toute fonction majorée par une autre qui plonge vers
−∞ a aussi pour limite −∞ .
Corollaire du théorème des gendarmes
 lim g ( x ) = 0
 x →+∞
Si  A partir d'un certain moment x , f ( x ) − ℓ ≤ g ( x ) alors lim f ( x ) = ℓ
0
x →+∞
 La distance entre f ( x ) et ℓ est inférieure à g( x )

La preuve de ce corollaire
A partir du moment x 0 , on a : f ( x ) − ℓ ≤ g ( x ) ⇔ ℓ − g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ ℓ + g ( x )
Histoire de distance et de valeur absolue...
Théorème des gendarmes : limite d'une fonction encadrée à l'infini
 lim g ( x ) = lim h ( x ) = ℓ
x →+∞
 x →+∞
Si  A partir d'un certain moment x , g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) alors lim f ( x ) = ℓ
0
x →+∞
 f est encadrée par les fonctions g et h

Comme lorsque x tend vers +∞ , g ( x ) tend vers 0 alors les fonctions ℓ − g ( x ) et
ℓ + g ( x ) tendent vers ℓ .
Conclusion : à partir du moment x 0 , f est encadrée par deux fonctions qui tendent vers
ℓ . Le théorème des gendarmes peut s'appliquer...
Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)