Exercice B4 - XMaths

Exercice B4
La fonction f est définie par
f(x) =
|x2 - 1|
1°) La fonction polynôme x ֏ x2 - 1 est définie sur IR.
La fonction valeur absolue est définie sur IR.
La fonction racine carrée est définie sur [0 ; +∞[.
Pour tout réel x on a |x2 - 1| ³ 0 donc
Donc la fonction f est définie sur IR.
|x2 - 1| existe.
2°) On trace avec une calculatrice ou un ordinateur , la représentation graphique de f.
3°) Pour étudier la dérivabilité de f en 1, calculons
f(1 + h) - f(1) =
h
|(1 + h)2 - 1| - 0 =
h
• Pour h > 0 on peut écrire
|1 + 2h + h2 - 1| =
h
f(1 + h) - f(1) =
h
|h2 + 2h |
h
|h2 + 2h | =
h2
h2 + 2h
h2
=
1+2
h
Lorsque h tend vers 0 par valeurs positives, 2 tend vers +∞ , donc 1 + 2 tend vers +∞
h
h
et par conséquent
• Pour h < 0 on peut écrire
1+2
h
tend vers +∞
f(1 + h) - f(1) =h
|h2 + 2h | = h2
h2 + 2h
h2
=-
1+2
h
Lorsque h tend vers 0 par valeurs négatives, 2 tend vers -∞ , donc 1 + 2 tend vers +∞
h
h
et par conséquent -
1+2
h
tend vers -∞
La limite de f(1 + h) - f(1) quand h tend vers 0 n'est pas un nombre réel.
h
Donc f n'est pas dérivable en 1.
On peut démontrer de même que f n'est pas dérivable en -1 en utilisant f(-1 + h) - f(-1)
h
http://xmaths.free.fr/
1èreS − Étude de fonction − Exercices
page 1 / 2
4°) Étudions la dérivabilité de f en 0.
|h2 - 1| - 1 = ( |h2 - 1| - 1)( |h2 - 1| + 1) = |h2 - 1| - 1
h
h( |h2 - 1| + 1)
h( |h2 - 1| + 1)
2
Sachant que h est proche de 0, h - 1 est proche de -1, donc négatif. On a donc |h2 - 1| = 1 - h2
2
-h2
-h
Donc f(0 + h) - f(0) = 1 - h - 1 =
=
h
2
2
h( 1 - h + 1) h( 1 - h + 1)
1 - h2 + 1
f(0 + h) - f(0) =
h
Lorsque h tend vers 0,
1 - h2 tend vers 1, donc
1 - h2 + 1 tend vers 2 .
-h
Donc
tend vers 0 puisque h tend vers 0
1 - h2 + 1
On a donc lim f(0 + h) - f(0) = 0
h→0
h
On en déduit que f est dérivable en 0 et que f'(0) = 0 .
Donc la courbe a une tangente parallèle à (Ox) en son point d'abscisse 0.
5°) On peut écrire f(x) - x = |x2 - 1| - x
Puisque x tend vers +∞, on peut supposer x2 - 1 ³ 0,
donc
On a
2
2
2
2
x2 - 1 - x = ( x - 1 - x )( x - 1 + x ) = x - 1 - x =
x2 - 1 + x
x2 - 1 + x
f(x) - x =
lim
x→+∞
x2
- 1 = +∞
et
lim x = +∞
x→+∞
donc
lim
x→+∞
x2
-1
x2
-1 +x
- 1 + x = +∞
-1
= 0 c'est-à-dire
lim f(x) - x = 0
x→+∞
x2 - 1 + x
On en déduit que : la courbe a pour asymptote oblique la droite d'équation y = x au voisinage de +∞ .
Par conséquent
lim
x→+∞
En démontrant que
lim f(x) + x = 0, on peut démontrer que la courbe a pour asymptote oblique la
x→-∞
droite d'équation y = -x au voisinage de -∞ .
http://xmaths.free.fr/
1èreS − Étude de fonction − Exercices
page 2 / 2