Première S - Dérivées et opérations

Dérivées et opérations
Préalable :
Dans toute la suite et sont deux fonctions dérivables sur l’ensemble D
(D étant un intervalle ou une réunion d’intervalles) et est un nombre réel.
I) Somme de deux fonctions
définie par La fonction
sa dérivée est définie par =
’
=
est dérivable sur D et
’
’
.
Démonstration :
Calculons le taux de variation de la fonction
0 tel que
D
Pour tout =
+ pour
=
D
+
Les fonctions et étant dérivables en , lorsque tend vers 0 le premier quotient tend
vers ’
et le deuxième quotient vers ’ Le taux de variation de la fonction tend vers ’
+ ’
Pour tout
 D la fonction dérivée de la fonction + est bien ’+ ’
Exemples
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1°)
=
+
sur
On obtient ’
2°)
=1+
=
On obtient
– 3 pour
’
=
réel,
–
≠0
II) Produit d’une fonction par un réel
La fonction
définie par =
’
sa dérivée est définie par
=
est dérivable sur D et
’
.
Démonstration :
Calculons le taux de variation de la fonction
Pour tout 0 tel que
D
=
pour
D
=
Or la fonction
étant dérivable en a, lorsque tend vers 0 le quotient tend vers ’
Le taux de variation de la fonction tend vers ’
Pour tout
 D la fonction dérivée de la fonction
est bien ’.
Exemples
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1°)
2°)
3°)
=7
sur
On obtient
’
=
pour
On obtient
’
’
réel,
= 21
≠0
=
3√
=5
On obtient
=7x
sur ] 0 ; +  [
= 10 – 3
√
= 10
√
.
III) Fonction polynôme
1) Définition
Une fonction définie sur est une fonction polynôme si
comme une somme de termes de la forme
avec  et
peut s’écrire
 .
2) Dérivée
Une fonction polynôme est dérivable sur
Ceci est une conséquence des résultats du I) et du II)
Exemples :
Calculer les dérivées des fonctions polynômes suivantes sur
1°)
=
3
5
On obtient
2°)
:
=
’
5
=
On obtient ’
5
=
IV) Produit de deux fonctions
La fonction
=
définie par sa dérivée est définie par ’
est dérivable sur D et
= ’
’
Démonstration :
Calculons le taux de variation de la fonction
Pour tout 0 tel que
D
pour
D
=
En soustrayant et ajoutant
au numérateur ce taux de variation s’écrit :
Ou encore :
+
=
+
Les fonctions
et
étant dérivables en , lorsque
tend vers ’
vers
et
En admettant que lorsque
’
tend vers 0,
+
tend vers 0,
tend vers
tend vers ’
Donc le taux de variation de la fonction tend vers ’
Pour tout
 D la fonction dérivée de la fonction
’
+
est bien ’ +
’
’
Exemples
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1°)
=
sur ] 0 ; +  [
√
En posant =
et
On obtient
2°)
=(
’
=3
=
’
3
En posant =√
√ +
1 2
5
3
1 et =
3 et ’
On obtient ’
on a
=4
=2
’
√
=
sur
1
et ’
=
√
√
=2
5
1
on a
5
+
=(
On peut développer cette expression si c’est nécessaire.
V) Inverse d’une fonction
définie par La fonction
des réels où
( ) =
’
= 0 ( D  {
=
l
est dérivable sur l’ensemble D privé
≠ 0 }) et sa dérivée est définie par:
Démonstration :
Calculons le taux de variation de la fonction
Pour tout 0 tel que
=
=
x
D{ l
pour
≠ 0 }
≠ 0 }
=
D{ l
=
=
La fonction
étant dérivable en , lorsque
tend vers ’
En admettant que lorsque
tend vers 0,
tend vers
alors
 D { l
tend vers
²
Le taux de variation de la fonction
Pour tout
tend vers 0,
tend vers
′
2
≠ 0} la fonction dérivée de la fonction
est bien
Exemples
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1°)
sur
=
En posant 7 on a
=
On obtient ’
2°)
=
√
En posant =2
’
=
sur ] 0 ; +∞ [
on a
=√
On obtient ’
=
=
’
√
=
√
√
VI) Quotient de deux fonctions
La fonction
définie par
=
est dérivable sur l’ensemble D
privé
des réels où
=
= 0 ( D  {
’
≠ 0 }) et sa dérivée est définie par :
Démonstration :
Le résultat s’obtient à l’aide des résultats du V) et VI) en écrivant :
=
x
En effet avec cette écriture :
=
x
+
=
x
x
+
x(
)=
x
=
= 3 et ’
=5
D’où le résultat annoncé.
Exemples
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1°)
sur ] -∞ ;
=
En posant =3
1 et
On obtient ’
2°)
En posant =2
On obtient ’
=
=5
;+∞[
3
on a
’
=
=
=
[]
sur ] -∞ ;
1 et
3
[∪]
=3
;+∞[
1 on a
=
′
=
’
=4
3 et ’
=3
VII) Tableau récapitulatif
Si et sont deux fonctions dérivables sur l’ensemble D
réunion d’intervalles) et λ est un nombre réel on a :
Fonction
Dérivable sur
(D étant un intervalle ou une
Dérivée
D
’
D
’
’
D
’
D{ ≠ 0 }
D{ ≠ 0 }
’
′
′