Limites : exemples, contre

Limites : exemples, contre-exemples, difficultés
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Limites : exemples, contre-exemples, difficultés
I)
Vrai ou faux ?
(Questions possibles au bac pour une Restitution Organisée des Connaissances ou un
QCM)
1. Si une suite n’est pas majorée alors elle tend vers +∞
Faux : (−2)n
2. Si une suite n’est pas minorée alors elle tend vers −∞
Faux : (−2)n
3. Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞
1
Faux : 1 − , ou −e−n .
n
4. Si une suite tend vers +∞ alors elle n’est pas majorée
Vrai. par l’absurde. Si elle était majorée par M , alors il n’existerait aucun n tel que
un > M , ce qui contredirait la définition.
5. Si une suite tend vers +∞ alors elle est croissante
Faux : voir question 7 de la ROC suite croissante non majorée.
Contre-exemples : n + 2(−1)n , n + 2 cos(n).
Ce sont des suites qui oscillent mais qui restent supérieures à une suite qui tend
vers +∞.
Par exemple : n + 2(−1)n > n − 2, n + 2 cos(n) > n − 2
6. Toute suite bornée est convergente (c’est-à-dire possède une limite réelle).
Faux : (−1)n .
C’est une suite qui oscille sans se stabiliser.
7. Toute suite croissante non majorée tend vers +∞
Vrai : voir ROC.
II)
Opérations sur les limites : Vrai ou faux ?
(Questions possibles au bac pour une Restitution Organisée des Connaissances ou un
QCM)
1. Pour toutes suites u et v à valeurs strictement positives qui tendent vers +∞, la suite
un
de terme général
converge vers 1.
vn
∞
Faux : voir contre-exemples du cours sur la forme indéterminée
∞
u
a pour limite 0.
v
0
Faux : voir contre-exemples du cours sur la forme indéterminée
0
2. Si une suite u a pour limite 0, alors pour toute suite v la suite
3. Si une suite u a pour limite +∞, alors pour toute suite v la suite uv a pour limite +∞
ou −∞
Faux : voir contre-exemples du cours sur la forme indéterminée ∞ × 0
4. Si une suite u est divergente, alors la suite
1
a pour limite 0.
u
Faux : divergente ne veut pas forcément dire tend vers l’infini. Exemple (−1)n .
5. Si une suite u est convergente, alors la suite
Faux : forme
III)
1
est convergente.
u
1
0
Exemples
1. Fonction convergente (limite réelle en +∞), non monotone, et qui ne devient jamais
monotone jusqu’à +∞ (elle oscille constamment). Elle est comprise entre deux
autres fonctions monotones et qui ont la même limite.
Sur l’intervalle représenté, elle est majorée et minorée (et cela jusqu’à +∞)
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2. Fonction n’ayant pas de limite en +∞, et qui ne devient jamais définitivement
monotone. Elle n’est ni majorée ni minorée. Elle oscille constamment et l’amplitude
de ses oscillations devient aussi grande qu’on veut
5. Fonction n’ayant pas de limite en +∞, et qui ne devient jamais définitivement
monotone. Elle est minorée (par la droite horizontale) mais pas majorée. Elle oscille
constamment et l’amplitude de ses oscillations devient aussi grande qu’on veut
3. Fonction n’ayant pas de limite en +∞, et qui ne devient jamais définitivement monotone. Elle est majorée et minorée. Elle oscille constamment et l’amplitude de ses
oscillations est constante, ce qui fait qu’elle ne converge pas vers une valeur donnée.
4. Fonction ayant pour limite +∞ en +∞, et qui ne devient jamais définitivement
monotone. Elle n’est pas majorée. Elle oscille constamment, mais reste supérieure
à une fonction croissante qui tend vers +∞
6. Fonction ayant pour limite +∞ en +∞ (mais on ne peut pas le voir uniquement
d’après le dessin). Elle est croissante, minorée mais non majorée. Elle n’a pas
d’asymptote (même pas d’asymptote oblique). Quand on voit une courbe de ce
type, il est difficile de savoir simplement d’après le dessin quelle est sa limite (il
faut faire un calcul d’après
√ sa formule pour savoir si elle est majorée ou non). Ici,
c’est l’exemple f (x) = x.
Ce qui rend les choses peu visibles, c’est que sa dérivée est décroissante, ce qui fait
que la « vitesse de croissance » de la fonction est faible (mais cela ne suffit pas
non plus pour connaı̂tre exactement le comportement de la fonction).
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7. Fonction (en rouge) n’ayant pas de limite globale en un point a. Il y a une limite
à gauche (qui est égale à la valeur f (a) de la fonction) et une limite à droite qui
est différente.
•
a
Bien que la « courbe » soit formée de deux morceaux séparés, on considère quand
même qu’il s’agit d’une seule fonction (puisqu’à chaque abscisse correspond une
ordonnée unique).
f (x) = x si x 6 2
La définition de la fonction sur R est par exemple :
f (x) = x + 1 si x > 2
Cette fonction n’est pas continue en 2. Elle est continue à gauche en 2, mais pas à
droite.
8. Fonction dont la courbe contient des points de part et d’autre d’une droite
horizontale et pourtant qui ne coupe pas cette droite (bien que la fonction soit
définie pour toutes les abscisses). C’est possible parce que la fonction n’est pas
continue et que la courbe est formée de deux morceaux disjoints. C’est la même
5
fonction que dans l’exemple précédent, l’équation de la doite étant y =
2
•
IV)
Difficultés
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1. Une expression dans laquelle figure une fonction qui n’a pas de limite peut quand même
avoir une limite .
cos(x)
a pour limite 0 en +∞.
cos n’a pas de limite en +∞ et pourtant x 7→
x
2. Dans le calcul de la limite d’une expression , remplacer une sous-expression par sa limite
peut donner un résultat faux .
q
1 + x − 1 + 2x + 2x2
f (x) =
x2
Lorsque x tend vers 0 en restant > 0, l’expression encadrée tend vers 0. On pourrait
alors être tenté
√ de la remplacer purement et simplement par 0 et de calculer la limite
x
1
1+x− 1+0
= 2 = .
de
2
x
x
x
La nouvelle fonction aurait alors pour limite +∞.
Mais ce n’est pas la limite de la fonction initiale. Pour la calculer, on utilise la
quantité conjuguée :
1 + 2x + x2 − (1 + 2x + 2x2 )
−x2
√
√
f (x) =
=
=
x2 (1 + 1 + 2x + 2x2 )
x2 (1 + 1 + 2x + 2x2 )
−1
√
=
1 + 1 + 2x + 2x2
1
La limite est −
2
• Mais pourtant il y a des théorèmes sur les opérations : la limite d’une somme
est bien la somme des limites, la limite d’une racine estqbien la racine de la limite,
etc. ! D’ailleurs quand on calcule la limite de 1 + x − 1 + 2x + 2x2 , on a bien
le droit de remplacer 2x + 2x2 par 0 !
Ces formulations (limite d’une somme, etc.) ne sont pas toujours valides. On ne peut
les appliquer que pour une expression où n’apparaı̂t aucune forme indéterminée. Or
0
ici, les théorèmes sur les opérations conduisent à la forme indéterminée « », et
0
donc on ne peut pas les appliquer. D’autre part, ces théorèmes ne disent pas qu’on
peut se contenter de remplacer seulement une sous-expression par sa limite, et de
continuer le calcul après.
3. Dans le calcul de la limite d’une expression , remplacer une sous-expression par sa limite
peut donner un résultat faux . Autre exemple
n
1
Lorsqu’on veut calculer la limite de un = 1 +
lorsque n tend vers +∞, on
n
1
pourrait être tenté de remplacer par sa limite 0. On calculerait alors la limite de
n
1n = 1, qui serait une suite constante de limite 1. Mais la limite n’est pas 1.
• Pourquoi cela ? Essentiellement parce qu’on ne peut pas faire comme s’il y avait
deux n différents (l’un dans la parenthèse et l’autre dans l’exposant), et comme si
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l’un tendait d’abord vers +∞ et que pendant ce temps-là l’autre attendait sagement
son tour pour tendre vers +∞. C’est le même n, et si l’un varie, l’autre aussi,
simultanément. Il peut alors y avoir des phénomènes de compensation (tout dépend
avec quelles vitesses comparées les différentes expressions tendent vers leurs limites).
√
• On peut montrer que, pour n > 1, on a un > e > 1, 5, ce qui prouve que la
limite ne peut pas être 1.
Indication : démontrer que 1 + x − ex/2 > 0 pour 0 6 x 6 1 (pour cela, étudier les
1
variations de la fonction). Ensuite, écrire 1 + x > ex/2 , poser x = , élever à la
n
puissance n.
4. Une fonction peut être majorée par une autre qui tend vers 0 sans tendre elle-même
vers 0 , et même sans avoir de limite
un = (−1)n − 2 < 0 n’a pas de limite (une fonction majorée n’a pas forcément de
limite)
1
1
Pour n > 1 : un = −1 + < . Et pourtant la limite de u est −1 et pas 0 (un
n
n
majorant quelconque n’est pas forcément le plus petit majorant).
Pour pouvoir conclure, il faudrait par exemple pouvoir appliquer le théorème des
gendarmes, mais alors il faudrait connaı̂tre un encadrement de un .
5. Pour montrer qu’une fonction est majorée par M , il ne suffit pas de montrer qu’elle
est majorée par une autre qui tend vers M .
1
1
1
<
pour x > 0,
tend vers M = 0 lorsque x tend vers +∞, et pourtant
2x
x
x
1
1
1
> M . En fait les deux fonctions sont décroissantes et 0 <
<
2x
2x
x
6. Une fonction rationnelle peut ne pas avoir même limite que le rapport de ses termes
de plus haut degré .
Piège : tout dépend vers quoi tend la variable. Le théorème des termes de plus haut
degré n’est valide que lorsque la variable tend vers +∞ ou −∞.
7. Pour prouver que f (x) > 0 pour tout x > a , sachant que f (a) > 0 , il ne suffit pas
de démontrer que la limite de f en +∞ est > 0 .
Une limite ne renseigne pas sur toutes les valeurs de f (x) pour tous les x de l’intervalle ]a; +∞[, seulement pour les « très grandes valeurs » de x. Avant ces très
grandes valeurs, il peut se passer n’importe quoi.
20 sin(x)
Exemple : f (x) = 1 +
et a = 3. La fonction s’annule plusieurs fois et est
x
3π
parfois négative, par exemple pour x =
.
2
Et pourtant f (a) > 1 et la limite en +∞ est 1 (et il ne faudrait surtout pas en
conclure que f est décroissante, ce n’est pas le cas : elle oscille constamment).
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a