AB 013 Einführung in die Analysis Trigonometrische Funktionen K

AB 013
Einführung in die Analysis
Trigonometrische Funktionen
K. Helle
R. Serret
Aufgabe 1
a) Vergleiche die Graphen zu sin( x ) , sin(2 x ) und sin(
1
x) .
2
1
π
b) Wie geht der Graph zu y=1,5⋅sin   x− 1 aus dem zu y=sin  x  hervor?
2
4
Betrachte dazu nacheinander:
1
1
π
(1) y=sin  x 
(2) y=sin   x− 
2
2
4
1
π
1
π
(3) y=1,5⋅sin   x− 
(4) y=1,5⋅sin   x− 1
2
4
2
4
Beschreibe jeweils die Veränderungen im Vergleich zum vorherigen Graphen.
Information
Allgemeine Sinusfunktion
Ähnlich wie in Aufgabe 1 kann man bei jeder Funktion f, deren
Funktionsterm die Gestalt f  x =a⋅sin  b⋅ x−c d hat, vorgehen.
Solche Funktionen werden allgemeine Sinusfunktionen genannt, da
sie aus dem Graphen der Sinusfunktion hervorgehen. Diese
Funktionen dienen dazu, periodische Vorgänge in Natur und Technik
zu beschreiben. Bei der Modellierung der Vorgänge geht es darum,
aus Messwerten bzw. aus der Situation heraus die Koeffizienten
a, b, c, d ∈R möglichst so zu bestimmen, dass man mithilfe des
Modells auch Berechnungen durchführen kann.
Aufgabe 2
Unter der astronomischen Sonnenscheindauer versteht man die Zeitspanne zwischen
Sonnenaufgang und Sonnenuntergang. Der 50. Breitengrad verläuft z.B. durch Mainz.
Für Orte dieser geographischen Breite beträgt die astronomische Sonnenscheindauer
ungefähr:
Datum
Dauer
(in h)
22.6
16,2
22.7.
15,4
22.8.
13,8
22.9.
12,0
22.10.
10,2
22.11.
8,6
22.12.
7,8
22.1.
8,7
22.2.
10,3
22.3.
12,2
22.4.
13,9
22.5.
15,4
a) Bestimme eine allgemeine Sinusfunktion, welche die astronomische Sonnenscheindauer für Orte auf dem 50. Breitengrad gut annähert (mit/ohne TI).
b) Bestimme die astronomische Sonnenscheindauer am 10. Juli.
AB 013
Einführung in die Analysis
Trigonometrische Funktionen
K. Helle
R. Serret
Lösungen:
Aufgabe 1
a) sin( 2 x )  Halbierung der Periodenlänge / Streckung um Faktor
sin(
b)
1
in Richtung der x2
Achse
1
x )  Verdopplung der Periodenlänge / Streckung um Faktor 2 in Richtung der x2
Achse
1
 Verdopplung der Periodenlänge
2
π
 Verschiebung nach rechts
4
1,5  Streckung in Richtung y-Achse
+1  Verschiebung nach oben
Aufgabe 2
Anzahl
Kalendertage
Sonnenscheindauer
(in h)
22
53
81
112
142
173
203
234
264
294
324 355
8,7 10,3 12,2 13,9 15,4 16,2 15,4 13,8 12,0 10,2 8,6
7,8
a)
• Periode=365 Tage  b=
2π
365
• am Sommeranfang (22.6.) ist die Sonnenscheindauer maximal, am Winteranfang (22.12.)
minimal; beide Werte sind gleich weit von dem Wert entfernt, der für Frühlings- und
Herbstanfang angegeben ist; 16,2h-12,0h=12,0h-7,8h=4,2h  a=4,2 und d=12
• Beginn dieser periodischen Bewegung: 22.3. (Frühlingsanfang), also der 81. Tag des
Jahres c=81
• Ergibt sich insgesamt: f 1  x =4,2⋅sin 
2π
 x−8112
365
Der TI-Nspire liefert mit „Sinusoidal Regression“:
f 2  x =4,08122⋅sin  0,016382 x−1, 2455 11 ,825
b) Der 10. Juli ist der 191. Kalendertag und somit ergibt sich:
f 1 191=15 , 9831≈16 bzw. f 2  191=15 ,7084≈16