Fourier-Sinus

Fourier-Sinus-Reihen
M. Gruber
SS 2012
1 Fouriers Idee
Die Funktionen sin x; sin2x; sin3x; : : : sind orthogonal:
Z
sin mx sin px dx =
8
<
:
fur m = p
0 fur m 6= p
:
Mit den Funktionen sin x; sin2x; sin3x; : : : als Basis kann man Funktionenreihen bilden:
f (x) = b1 sin x + b2 sin2x + : : : =
X
1k
bk sin kx :
Es kommen ungerade 2-periodische Funktionen f heraus (\ungerade" steht fur die Eigenschaft
f ( x) = x). Man nennt diese Funktionenreihen Fourier-Sinus-Reihen.
Fouriers Idee war, \beliebige" ungerade 2-periodische Funktionen f als Fourier-Sinus-Reihen
zu schreiben. Die richtigen Koezienten bk fand er mit dem Ansatz
bk =
1
Z
f (x)sin kx dx:
Der Ansatz nutzt die Orthogonaliat der Funktionen sin x; sin2x; : : :. Die zur Integration verwendete Funktion sin kx loscht namlich die sin lx-Anteile von f aus, sofern l 6= k ist, und holt
genau den sin kx-Anteil (mit einem Faktor ) aus dem f heraus.
Da beide Funktionen unter dem Integral, f und sin kx, ungerade sind, ist deren Produkt eine
gerade Funktion. Daher reicht es auch, wenn man nur uber den halben Integrationsweg integriert
und das Resultat dafur verdoppelt:
bk =
2
Z
0
f (x)sin kx dx:
1
2 Ein erstes Beispiel
Die erste Funktion, an der wir die Fourier-Idee demonstrieren, ist der Rechteck-Sinus (square
wave) SW.
Beispiel.
[Str07], 4.1, Example 1
SW(x) = sgn(sin x):
Berechnung der Fourierkoezienten von SW:
bk =
Z
SW(x)sin kx dx
= 2 0 sin kx dx (es ist SW (x) = 1 fur 0 < x < )
2
0
Z
x=
= ( k cos kx)
x=0
= 2 k1 2 [k ungerade]
= k4 [k ungerade]:
2
1
Die Fourier-Sinus-Reihe zu SW ist also
X
k 1
4
k
[k ungerade] sin kx:
Gibbs-Phänomen
In der Praxis bricht man die Summation bei einem endlichen Wert fur k ab. Man begnugt sich
mit einem Fourier-Sinus-Polynom. In Abb.2 ist das Fourier-Sinus-Polynom bei Summation
uber 1 k 15 dargestellt. Man bemerkt ein U berschwingen des Fourierpolynoms in der Nahe
der Sprungstellen von SW, das Gibbs-Phanomen. Es tritt typischerweise bei der Approximation
von Funktionen mit Sprungen auf und stellt eine unvermeidliche Eigenart des Fourier-Ansatzes
dar.
Literatur
[Str07] Gilbert Strang.
edition, 2007.
Computational Science and Engineering.
2
Wellesley-Cambridge Press, rst
1.0
0.5
-4
-2
2
4
- 0.5
-1.0
Abbildung 1: Rechteck-Sinus SW
1.0
0.5
-4
-2
2
4
- 0.5
-1.0
Abbildung 2: SW und approximierendes Fourierpolynom (Summation uber 1 k 15)
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