Manipulation am Funktionsgrahen

Manipulation am Funktionsgrahen
1. (a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f (x) = x3 − 4x.
(b) Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen in das Koordinatensystem
von (a):
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
f (x) = x3 − 4x + 2
f (x) = x3 − 4x − 3
f (x) = 21 (x3 − 4x)
f (x) = 2(x3 − 4x)
f (x) = (x − 1)3 − 4(x − 1)
f (x) = (x + 3)3 − 4(x + 3)
(c) Überprüfen Sie Ihre Zeichnungen mit einer geeigneten Software.
Lösung:
2. (a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f (x) = x3 + 4x2 + 4x.
(b) Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen in das Koordinatensystem
von (a):
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
f (x) = x3 + 4x2 + 4x + 2
f (x) = (x + 1)3 + 4(x + 1)2 + 4(x + 1)
f (x) = (x + 1)3 + 4(x + 1)2 + 4(x + 1) + 2
f (x) = (x − 2)3 + 4(x − 2)2 + 4(x − 2)
f (x) = (x − 2)3 + 4(x − 2)2 + 4(x − 2) − 3
f (x) = (x + 4)3 + 4(x + 4)2 + 4(x + 4)
f (x) = (x + 4)3 + 4(x + 4)2 + 4(x + 4) + 4
(c) Überprüfen Sie Ihre Zeichnungen mit einer geeigneten Software.
Lösung:
3. (a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f (x) = sin(x).
(b) Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen in das Koordinatensystem
von (a):
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
f (x) = sin(x) + 2
f (x) = sin(x + 21 π)
f (x) = sin(x + 21 π) + 2
f (x) = 2 · sin(x)
f (x) = 2 · sin(x + π)
f (x) = sin(2x)
f (x) = sin(2x) − 3
1
(c) Überprüfen Sie Ihre Zeichnungen mit einer geeigneten Software.
Lösung:
4. Gegeben ist die Funktion
x3
− x2
4
Wird der Graph von f an der y-Achse gespiegelt, dann vom Ursprung
aus mit dem
−2
verschoben,
Faktor 2 zentrisch gestreckt und schließlich um den Vektor ~v =
2
dann erhält man den Graphen von g. Wird Gf dagegen zuerst verschoben und dann
erst gespiegelt und gestreckt, dann erhalten wir den Graphen von h.
Berechnen Sie die Funktionsgleichungen von g und h und zeichnen Sie deren Graphen
in ein Koordinatensystem! Beweisen Sie, dass Gg durch eine Verschiebung aus Gh
hervorgeht!
f (x) =
Lösung:
x3
− x2
4
f an der y-Achse spiegeln
:
g1 (x)
=
−
g1 zentrisch strecken
:
g2 (x)
=
2 · g1
g2 verschieben
:
g(x)
=
−
f verschieben
:
h1 (x)
=
(x + 2)3
− (x + 2)2 + 2
4
h1 an der y-Achse spiegeln
:
h2 (x)
=
h2 zentrisch strecken
:
h(x)
=
=
x
2
=−
x3 x2
−
16
2
(x + 2)3 (x + 2)2
−
+2
16
2
(−x + 2)3
− (−x + 2)2 + 2
4
x
=
2 · h2
2
x
2
(− x2 + 2)3
−2 − +2 +4 =
2
2
(x − 4)3 (x − 4)2
−
+4
16
2
g(x − 6) + 2 = h(x)
=
2
−
5. Die Graphen der nebenstehenden Abbildung sind verschobene und gespiegelte Normalparabeln. Geben Sie jeweils die Funktionsgleichung an!
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...k
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−6
−4
3 4 ......
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−1
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h ......
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−3
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−4
Lösung: f (x) = x2 + 6 x + 7 g(x) = −x2 − 2 x + 4
h(x) = −x2 + 6 x − 6 k(x) = x2 − 8 x + 20
6. Die Graphen der nebenstehenden
Abbildung gehören zu quadratischen
Funktionen. Geben Sie jeweils die
Funktionsgleichung an!
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... h
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f .......
2 ............
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−6 .... −4
2..... .... .....4 5
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g ....... .... ......
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−5
Lösung: f (x) = − 21 x2 − 2 x + 2 g(x) = 4 x2 + 8 x
h(x) = 2 x2 − 12 x + 16
7. Die Graphen der folgenden Abbildung gehören zu allgemeinen Sinusfunktionen
f (x) = A · sin(kx + ϕ) + b
Geben Sie jeweils die Funktionsgleichung an!
3
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............................ 4 .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ........................................
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f ......
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2
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.... g
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1
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−2π .. −π
π
2π
3π
4π
5π
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−1
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. h
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−5
2
Lösung: f (x) = 2 sin
x−π +2
3
3
π 7
h(x) = sin 2 x −
−
2
2
2
g(x) = 3 sin
1
π
x−
2
4
−1
8. (a) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f (x) = (x−1)2 (x+ 2), g(x) = 2f (x),
h(x) = f (x) + 2 und k(x) = f (x − 3) und überprüfen Sie ihre Zeichnung mit
einer geeigneten Software.
(b) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f (x) = −2(x − 1)(x + 2)2 , g(x) =
−f (x), h(x) = f (x) − 5, k(x) = f (x + 2) und überprüfen Sie ihre Zeichnung
mit einer geeigneten Software.
(c) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f (x) = x2 (x − 2)(x − 1), g(x) =
−2f (x), h(x) = 2f (x) − 2 und k(x) = f (x − 3) + 1 und überprüfen Sie ihre
Zeichnung mit einer geeigneten Software.
Lösung:
9. (a) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f (x) = x2 , g(x) = 23 f (x), h(x) =
f (x) − 3 und k(x) = −f (x − 2) und überprüfen Sie ihre Zeichnung mit einer
geeigneten Software.
(b) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f (x) = x2 + 3x + 2, g(x) = −2f (x),
h(x) = 12 f (x) − 2, k(x) = f (x + 2) + 3 und überprüfen Sie ihre Zeichnung mit
einer geeigneten Software.
(c) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f (x) = x2 −6+5, g(x) = f (x−3)+2,
h(x) = 2f (x) − 3 und k(x) = 2f (x − 3) und überprüfen Sie ihre Zeichnung mit
einer geeigneten Software.
Lösung:
4
10. (a) Geben Sie die Gleichung einer Parabel an, deren Scheitel bei S(−3|5) liegt und
durch den Punkt P(−2|3) geht.
(b) Geben Sie die Gleichung der dazu um
i.
ii.
iii.
iv.
2
5
1
3
nach
nach
nach
nach
oben
unten
rechts
links
verschobenen Parabel an.
(c) Geben Sie die Gleichung der zur Parabel aus (a) mit dem Vektor
i. (6|9)
ii. (−2|5)
verschobenen Parabel an.
Lösung: (a) p(x) = −2(x + 3)2 + 5
(b) i. p(x) = −2(x + 3)2 + 7
ii. p(x) = −2(x + 3)2
iii. p(x) = −2(x + 2)2 + 5
iv. p(x) = −2(x + 6)2 + 5
(c) i. p(x) = −2(x − 3)2 + 14
ii. p(x) = −2(x + 5)2 + 10
11. Die Abbildung zeigt den Grafen der Funktion f mit der Gleichung
f (x) =
1 2
x (x + 5)(x + 9)
54
Beschreiben Sie, wie der ebenfalls dargestellte Graf der Funktion g aus dem Grafen
von f hervorgeht und entwickeln Sie schrittweise die Gleichung von g. Zeichnen Sie
beschriftete Hilfsfunktionen in die gegebene Abbildung. Überprüfen Sie die gefundene Gleichung durch die Berechnung der Werte g(3,5), g(6,5) und g(8).
5
y
8
g
f
4
−10
4
−3
8
x
Lösung: f spiegeln an der x-Achse → f1 (x) = −f (x)
f1 strecken mit Zentrum (0|0) in x-Richtung mit Faktor 21 und in y-Richtung mit Faktor
3
4 →
1
3
f2 (x) = − f (2x) = − x2 (2x + 5)(2x + 9)
4
18
f2 verschieben um 8 nach rechts und um 4 nach oben →
g(x) = f2 (x − 8) + 4 = −
1
(x − 8)2 (2(x − 8) + 5)(2(x − 8) + 9)
18
1
(x − 8)2 (2x − 11)(2x − 7) + 4
18
g(8) = 4
g(x) = −
g(3,5) = 4,
g(6,5) = 2,5,
6
y
8
g
f
4
−10
−3
f1
4
8
x
f2
12. Beschreiben Sie, wie der Graf der Funktion
3
π
f (x) = 2 · sin
+3
x−
4
4
aus dem Grafen der Funktion g(x) = sin x hervorgeht und zeichnen Sie beide Grafen.
π
3
x−
+3
Lösung: f (x) = 2 · sin
4
3
Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 34 – Verschiebung um π3 nach rechts – Streckung
in y-Richtung mit dem Faktor 2 – Verschiebung um 3 nach oben.
Oder:
Verschiebung um π4 nach rechts – Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 43 – Streckung
in y-Richtung mit dem Faktor 2 – Verschiebung um 3 nach oben.
13. Streckt man den Grafen der Funktion f (x) = sin x zuerst in x-Richtung mit dem
Faktor k = 23 und verschiebt ihn dann nach links um a = π4 , dann erhält man den
Grafen von g. Verschiebt man den Grafen von f zuerst um a nach links und streckt
ihn dann in x-Richtung mit dem Faktor k, dann erhält man den Grafen von h.
Schreiben Sie die Gleichungen von g und h hin. Wie weit und in welche Richtung
muss man den Grafen von g verschieben, um den Grafen von h zu erhalten?
π
3
3
3π
1
x+
(x + a) = sin
= sin x +
Lösung: g(x) = sin
k
2
4 7
2
8
π
3
3
π
1
x+
= sin
h(x) = sin x + a = sin x +
k
2
4
2
6
π
π
3
π
π
x+ −
=⇒ Verschiebung um
=g x−
h(x) = sin
nach rechts.
2
4 12
12
12
8