Probe-Klausur zur Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
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Probe-Klausur zur Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
15. Januar 2008 Universität Siegen Fachbereich Mathematik Dr. M. Stiemer, M. Sc. I. Cherlenyak Probe-Klausur zur Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen Bearbeitungszeit: 2 Stunden. Hilfsmittel: ein eigenhändig beidseitig beschriebener DIN-A-4 Zettel. Alle Behauptungen müssen begründet werden. Zum Bestehen sind 10 Punkte erforderlich. Aufgabe 1 Lösen Sie das Anfangswertproblem 2 y 0 + xy + ex y 3 = 0 , y(0) = 1/2 . 4 Punkte Aufgabe 2 Bestimmen Sie explizit – das heißt, nach y aufgelöst – die allgemeine Lösung von 2 x − e−y + yx2 y 0 = 0 . Hinweis: Es gibt einen Eulerschen Multiplikator, der nur von y abhängt. 4 Punkte Aufgabe 3 Lösen Sie das Anfangswertproblem y 0 = 2y + x + 1 , y(0) = 2 , und berechnen Sie, ausgehend von der Startfunktion y (0) ∈ C(R) , y (0) (x) = 2 für x ∈ R , die ersten beiden Picard-Iterierten y (1) , y (2) . 4 Punkte Aufgabe 4 Beweisen Sie, dass der Operator T : C([0, 1]) → C([0, 1]) , Z x (T y)(x) = 1 + e−t sin y(t) dt , x ∈ [0, 1] , 0 kontrahierend bezüglich der Maximumsnorm || · ||∞ auf C([0, 1]) ist. Formulieren Sie ein Anfangswertproblem für eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung, das äquivalent zur Fixpunktgleichung T y = y ist. 4 Punkte Aufgabe 5 Bestimmen Sie ein (reelles) Fundamentalsystem für das Differentialgleichungssystem −1 0 1 y 0 = −1 0 −1 y . −1 1 −2 Geben Sie die Lösung an, die y(0) = (1, 0, 1)> erfüllt. 4 Punkte