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Prof. Liedl
30.10.2012
Übungsblatt 3 zu PN1
Übungen zur Vorlesung PN1
Übungsblatt 3
Besprechung am 06.11.2012
Aufgabe 1: Milchstraße
Die Milchstraße hat einen Durchmesser von d = 7 × 1017 km. Die Entfernung der Sonne
vom Mittelpunkt der Milchstraße beträgt e = 25 × 1016 km. Mit einem Teleskopfernrohr
kann man die äußersten Sonnen der Milchstraße betrachten.
Wie lange war das Licht von dort bis zur Erde unterwegs?
Lösung:
gegeben: e = 25 × 1016 km, d = 7 × 1017 km, v = c = 300000 km/s
gesucht: Zeit t in Jahren
s=e+r =e+
d
2
= 25 × 1016 km + 3, 5 × 1017 km = 60 × 1016 km
v = 300000km/s = 3 × 105 km/s
v=
s
t
→t=
s
v
=
60×1016 km
3×105 km/s
= 20 × 1011 s
t = 1a = 365 × 24 × 3600s
Zeit in Jahren: t =
200×1010 s
31,536×106 s
= 6, 342 × 104 Jahre = 63420Jahre
Das Licht vom Rande unserer Milchstraße ist 63420 Jahre unterwegs.
Aufgabe 2: Baywatch
Sie sind Rettungsschwimmer am Malibu Beach und sitzen in Ihrem Wachturm (Punkt
A, siehe Skizze). Plötzlich bemerken Sie, dass ein Kind im Meer (Punkt B) um Hilfe
ruft und Sie es so schnell wie möglich retten müssen. Am Strand erreichen Sie eine Geschwindigkeit v1 von 8,5 m/s, während Sie sich im Wasser nur mit einer Geschwindigkeit
v2 von 2 m/s bewegen können.
a) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P, an dem Sie ins Meer springen
müssen, um das Kind in der kürzest möglichen Zeit zu erreichen.
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Abbildung 0.1. Ausgangssituation am Malibu Beach. Die Koordinaten sind jeweils in
Metern angegeben.
Lösung:
x
t(x) =
+
v1
t0 (x) =
p
(40 − x)2 + 302
v2
1
(40 − x)
!
p
−
=0
2
2
v1 v2 · (40 − x) + 30
Jetzt entweder mit Mitternachts- oder pq-Formel das sinvolle x bestimmen:
p
x = 40 − 30
v22 · (v12 − v22 )
= 32, 7m
v12 − v22
ODER einen kürzeren und viel eleganteren Lösungsweg wählen:
t0 (x) =
1
(40 − x)
1
1
p
−
=
−
· sin α
2
2
v1 v2 · (40 − x) + 30
v1 v2
da
(40 − x)
Gegenkathete
p
=
= sin α.
Hypotenuse
(40 − x)2 + 302
Nun kann man α ausrechnen (womit Aufgabe b schon erledigt wäre) und über
den Tangens (wie in Aufgabe b, nun jedoch anstelle des α mit x als Unbekannte)
die Strecke x berechnen.
b) Berechnen Sie die Größe des Winkels α.
Lösung:
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tan(α) =
40 − x
= 0, 24 ⇒ α = tan−1 (0, 24) = 13, 6◦
30
c) Welche Koordinaten ergeben sich für P, falls v1 = v2 gilt?
Lösung:
Sind die Geschwindigkeiten v1 und v2 gleich groß, so ergibt sich P = A = (0/0).
Aufgabe 3: Bogenschießen
Ein Pfeil wird von der Sehne eines Bogens auf einer Strecke von 0,6m beschleunigt.
Er erreicht eine Geschwindigkeit von 60 m/s.
a) Wie schnell ist das in km/h?
Lösung:
m
60 =
s
60m
1000m/km
1s
60s/min×60min/h
=
60km × 3600
= 216km/h
1000 × 1h
b) Nach welcher Zeit trifft der Pfeil auf ein 30m entferntes Ziel? (Erdbeschleunigung
kann vernachlässigt werden)
Lösung:
v=
x
x
30m
⇒t= =
= 0, 5s
t
v
60m/s
c) Warum ist die Beschleunigung nicht konstant?
Lösung:
Die Beschleunigung ist nicht konstant, da sich die Kraft, die die Sehne auf den
Pfeil ausübt, ändert.
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d) Wie groß ist die mittlere, konstant angenommene Beschleunigung?
Lösung:
geg.: s = 0, 6 m, v = 60 m/s
ges.: a
v =a×t⇒t=
v2
v
⇒ t2 = 2
a
a
2
a × av2
a × t2
v2
s=
=
=
2
2
2a
⇒a=
(60m/s)2
3600m2/s2
3600m2 /s2
v2
=
=
=
= 3000m/s2
2s
2 × 0, 6m
1, 2m
1, 2m
Die mittlere Beschleunigung beträgt 3000m/s2 .
e) Wie lange dauert der Beschleunigungsvorgang?
Lösung:
geg.: v = 60 m/s, a = 3000m/s2
ges.: a
v =a×t⇒t=
v
60m/s
60
=
=
s = 0, 002s
a
3000m/s2
3000
Der Beschleunigungsvorgang dauert t = 0,02s.
Aufgabe 4: Hase
Ein Hase läuft über einen Parkplatz, auf den - seltsamerweise - ein Koordinatensystem gemalt wurde. Die Koordinaten, welche die Position des Hasen als Funktion der
Zeit angeben, werden durch
x = −0, 31t2 + 7, 2t + 28
und
y = 0, 22t2 − 9, 1t + 30
bestimmt, wobei t in Sekunden und x und y in Metern gemessen werden.
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a) Wie lautet der Ortsvektor ~r des Hasen zum Zeitpunkt t = 15s in der Einheitsvektorenschreibweise sowie als ein Betrag und ein Winkel?
Lösung:
~r(t) = x(t)~ex + y(t)~ey .
Zum Zeitpunkt t =15s sind die skalaren Komponenten gleich
x = (−0, 31)(15)2 + (7, 2)(15) + 28 = 66m
und
y = (0, 22)(15)2 − (9, 1)(15) + 30 = −57m.
⇒ ~r(t) = (66m)~ex − (57m)~ey .
Benutze:
r=
p
x2 + y 2 =
und
Θ = arctan
p
(66m)2 + (−57m)2 = 87m
y
−57m
= arctan
= −41◦
x
66m
b) Zeichnen Sie die Bahnkurve des Hasen von t = 0 bis t = 25s.
Lösung: