Gebrochen-rationale Funktionen (Übungsaufgabe)

Gebrochen-rationale Funktionen
Welcher Term gehört zu welcher Graphik?
Beigefügt ist der Computerausdruck der Graphen von acht gebrochen-rationalen Funktionen ( A) bis H) ). (Hinweis:
Beachten Sie, dass die Achsenmaßstäbe z.T. unterschiedlich sind und dass durch das geringe Auflösungsvermögen
kleine Ungenauigkeiten auftreten können!) Nachfolgend sind die auftretenden Funktionsterme aufgeführt:
1&x
x 2%1
;
1&x
x 2&1
;
1&x
x2
;
1&x
( x % 1 )2
;
1&x
( x & 1 )2
;
x 2%1
1&x
;
x2
1&x
;
( x & 1 )2
1&x
Aufgaben:1
a)
Ordnen Sie die Terme den entsprechenden Graphen zu und begründen Sie stichwortartig ihre Entscheidung. In
Ihrer Argumentation sollten die Begriffe: Definitionsmenge ( -lücke(n) ), Nullstelle(n), asymptotisches Verhalten, Pol(e) mit (ohne) Vorzeichenwechsel, stetige Ergänzbarkeit etc. vorkommen, wenn sie von Bedeutung sind.
Es sollen keine expliziten Rechnungen durchgeführt werden!
b)
Geben Sie die Funktionsgleichung der ersten beiden Ableitungen von f mit f ( x ) '
c)
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der (schrägen) Asymptotenfunktion af derjenigen Funktion, die zu dem
x2
Term
gehört. Zeichnen Sie den Graphen von af in die zugehörige Darstellung ein!
1&x
d)
Der Graph der Funktion zum Term
1&x
an. Bestimmen Sie die
x 2%1
relativen Extremwerte von f und überprüfen Sie eine notwendige Bedingung für die Existenz von Wendestellen
dieser Funktion. Tragen Sie Ihre Ergebnisse in den zugehörigen Graphen ein!
1&x
schließt mit der x-Achse eine sich von 1 bis ins Unendliche erx2
streckende Fläche ein. Zeigen Sie, dass man dieser Fläche keine Flächenmaßzahl zuordnen kann, dass es aber
möglich ist, dem bei Rotation um die x-Achse dieser Fläche entstehenden Volumen eine Volumenmaßzahl
zuzuordnen. Bestimmen Sie diese Volumenmaßzahl!
A)
B)
1
Dieses Problem wurde vor vielen Jahren als Abituraufgabe gestellt. Als Arbeitszeit (es wurde viel erläuternder Text erwartet) waren
75 Minuten veranschlagt.
Gebrochen-rationale Funktionen
Welcher Term gehört zu welcher Graphik?
C)
D)
E)
F)
G)
H)